プランマーモデル

プラマーモデルまたはプラマー球は、球状星団の観測に適合させるためにHCプラマーによって最初に使用された密度法則です。^{[ 1 ]}現在では、恒星系のN体シミュレーションのおもちゃのモデルとしてよく使用されています。

モデルの説明

プラマーモデルの密度則

プラマーの3次元密度プロファイルは次のように与えられる。 ここで、はクラスターの全質量、aはプラマー半径であり、クラスターコアの大きさを決定する 尺度パラメータである。対応するポテンシャルは次のように与えられる。 ここで、Gはニュートンの重力定数である。速度分散は次のように与えられる。 $${\displaystyle \rho _{P}(r)={\frac {3M_{0}}{4\pi a^{3}}}\left(1+{\frac {r^{2}}{a^{2}}}\right)^{-{5}/{2}}={\frac {3M_{0}a^{2}}{4\pi (a^{2}+r^{2})^{{5}/{2}}}},}$$ ${\displaystyle M_{0}}$ $${\displaystyle \Phi _{P}(r)=-{\frac {GM_{0}}{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}},}$$ $${\displaystyle \sigma _{P}^{2}(r)={\frac {GM_{0}}{6{\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}}.}$$

等方性分布関数は 、 の場合 となり、それ以外の場合は となります。ここでは特定のエネルギーです。 $${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {24{\sqrt {2}}}{7\pi ^{3}}}{\frac {a^{2}}{G^{5}M_{0}^{4}}}(-E({\vec {x}},{\vec {v}}))^{7/2},}$$ ${\displaystyle E<0}$ ${\displaystyle f({\vec {x}},{\vec {v}})=0}$ ${\textstyle E({\vec {x}},{\vec {v}})={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi _{P}(r)}$

プロパティ

半径内に囲まれた質量は次のように与えられる。 ${\displaystyle r}$ $${\displaystyle M(<r)=4\pi \int _{0}^{r}r'^{2}\rho _{P}(r')\,dr'=M_{0}{\frac {r^{3}}{(r^{2}+a^{2})^{3/2}}}.}$$

プラマーモデルの他の多くの特性については、Herwig Dejongheの包括的な論文で説明されています。^{[ 2 ]}

表面密度が中心値の半分に低下するコア半径は である。^{[ 3 ]}${\displaystyle r_{c}}$ ${\textstyle r_{c}=a{\sqrt {{\sqrt {2}}-1}}\approx 0.64a}$

半質量半径は${\displaystyle r_{h}=\left({\frac {1}{0.5^{2/3}}}-1\right)^{-0.5}a\approx 1.3a.}$

ビリアル半径は です。 ${\displaystyle r_{V}={\frac {16}{3\pi }}a\approx 1.7a}$

2D 表面密度は次のようになります。 したがって、2D 投影質量プロファイルは次のようになります。 $${\displaystyle \Sigma (R)=\int _{-\infty }^{\infty }\rho (r(z))dz=2\int _{0}^{\infty }{\frac {3a^{2}M_{0}dz}{4\pi (a^{2}+z^{2}+R^{2})^{5/2}}}={\frac {M_{0}a^{2}}{\pi (a^{2}+R^{2})^{2}}},}$$ $${\displaystyle M(R)=2\pi \int _{0}^{R}\Sigma (R')\,R'dR'=M_{0}{\frac {R^{2}}{a^{2}+R^{2}}}.}$$

天文学では、2D 投影された質量プロファイルが全質量の半分になる半径である 2D 半質量半径を定義すると便利です。 ${\displaystyle M(R_{1/2})=M_{0}/2}$

Plummer プロファイルの場合: 。 ${\displaystyle R_{1/2}=a}$

どの地点でも脱出速度は $${\displaystyle v_{\rm {esc}}(r)={\sqrt {-2\Phi (r)}}={\sqrt {12}}\,\sigma (r),}$$

束縛軌道の場合、軌道の半径方向の転換点は特定のエネルギー によって特徴付けられ、特定の角運動量は3次方程式の正の根で与えられます。 ここで、となるため。この方程式は について3つの実根を持ちます。2つは正で1つは負です。これは となるためで、 は同じエネルギーの円軌道の特定の角運動量です。ここで は3次方程式 の判別式の1つの実根から計算できます。この方程式自体も別の3次方程式であり、下線部のパラメータは、、、およびとして定義されるヘノン単位 で無次元です。 ${\textstyle E={\frac {1}{2}}v^{2}+\Phi (r)}$ ${\displaystyle L=|{\vec {r}}\times {\vec {v}}|}$ $${\displaystyle R^{3}+{\frac {GM_{0}}{E}}R^{2}-\left({\frac {L^{2}}{2E}}+a^{2}\right)R-{\frac {GM_{0}a^{2}}{E}}=0,}$$ ${\displaystyle R={\sqrt {r^{2}+a^{2}}}}$ ${\displaystyle r={\sqrt {R^{2}-a^{2}}}}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle L<L_{c}(E)}$ ${\displaystyle L_{c}(E)}$ ${\displaystyle L_{c}}$ $${\displaystyle {\underline {E}}\,{\underline {L}}_{c}^{3}+\left(6{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{2}+{\frac {1}{2}}\right){\underline {L}}_{c}^{2}+\left(12{\underline {E}}^{3}{\underline {a}}^{4}+20{\underline {E}}{\underline {a}}^{2}\right){\underline {L}}_{c}+\left(8{\underline {E}}^{4}{\underline {a}}^{6}-16{\underline {E}}^{2}{\underline {a}}^{4}+8{\underline {a}}^{2}\right)=0,}$$ ${\displaystyle {\underline {E}}=Er_{V}/(GM_{0})}$ ${\displaystyle {\underline {L}}_{c}=L_{c}/{\sqrt {GMr_{V}}}}$ ${\displaystyle {\underline {a}}=a/r_{V}=3\pi /16}$

アプリケーション

プラマーモデルは星団の観測された密度プロファイルを最もよく表していますが、大きな半径（）での密度の急激な低下はこれらのシステムを適切に説明していません。 ${\displaystyle \rho \rightarrow r^{-5}}$

中心付近の密度の挙動は、中心密度が分散する傾向を示す楕円銀河の観測結果と一致しません。

プラマー球はモンテカルロモデルとして容易に実現できるため、モデルの現実性に欠けるにもかかわらず、N体実験者のお気に入りの選択肢となっている。 ^{[ 4 ]}

参考文献

1. Plummer, HC (1911)「球状星団の分布の問題について」 Mon. Not. R. Astron. Soc. 71 , 460.
2. Dejonghe, H. (1987),「​​異方性プラマーモデルの完全に解析的なファミリー」 Mon. Not. R. Astron. Soc. 224 , 13.
3. Sloane, N. J. A. (編). 「数列 A154747 (単位レムニスケート曲線の弧 (x^2 + y^2)^2 = x^2 - y^2 の第一象限における二等分点の半径ベクトル sqrt(sqrt(2) - 1) の十進展開)」 .オンライン整数数列百科事典. OEIS Foundation.
4. Aarseth, SJ, Henon, M. and Wielen, R. (1974),星団ダイナミクスの研究における数値解析法の比較.天文学と天体物理学37 183.