ポッホハマー輪郭

ポッホハンマー曲線は、ある点の周りを時計回りに回り、次に別の点の周りを時計回りに回り、次に最初の点の周りを反時計回りに回り、さらに2番目の点の周りを反時計回りに回ります。この場合、正確な位置や曲率などは重要ではなく、2つの特別な点の周りの巻き順が重要です。

数学において、カミーユ・ジョーダン ( 1887 ) ^{[ 1 ]}とレオ・ポッホハマー ( 1890 )によって導入されたポッホハマー路は、複素平面上で 2 点が除去された路であり、路の積分に用いられる。AとBが 2 点の周りのループであり、どちらも固定点Pから始まる場合、ポッホハマー路は交換子ABA ⁻¹ B ⁻¹となる。ここで、上付き文字の −1 は、反対方向の経路を表す。2 点を 0 と 1 とし、固定基点P をそれらの間の実軸上に置くと、例えば、 Pから始まり、点 1 を反時計回りに周回してPに戻り、次に 0 を反時計回りに周回してPに戻り、その後 1 と 0 を時計回りに周回してPに戻る経路が考えられる。複素平面（またはリーマン球面）上の2点をループさせた補集合の基点Pを持つ基本群において、路の類は実交換子となる。路積分を行う際に、基点をPから別の選択肢Qに移動しても結果に変化はない。なぜなら、 PからQへの積分とその逆の積分が打ち消し合うからである。

ゼロと相同だがゼロと同型ではない

この曲線は、二重穿孔平面内では零点と相同だが、零点とホモトピックではない。この曲線は、二重穿孔平面内では一点に縮められないにもかかわらず、任意の点の周りの巻数は0である。

ポッホハマー サイクルはゼロに相同です。つまり、緑の領域の境界から赤の領域の境界を引いたものです。

アプリケーション

ベータ関数はオイラー積分 で与えられる

${\displaystyle \displaystyle \mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{0}^{1}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt}$

ただし、 αとβの実部は正であり、これはポッホハマー曲線C上の積分に変換することができる。

${\displaystyle \displaystyle (1-e^{2\pi i\alpha })(1-e^{2\pi i\beta })\mathrm {B} (\alpha ,\beta )=\int _{C}t^{\alpha -1}(1-t)^{\beta -1}\,dt.}$

αとβのあらゆる値に対して、周回積分は収束するため、ベータ関数の解析接続を与える。同様の手法を超幾何関数のオイラー積分に適用することで、その解析接続を与えることができる。

注記

1. ジョーダン（1887年）、243～244ページ

参考文献

• Jordan, C. (1887)、Cours d'analyse、Tome III、Gauthier-Villars
• Pochhammer, L. (1890)、「Zur Theorie der Euler'schen Integrale」、Mathematische Annalen、35 (4): 495–526、doi : 10.1007/bf02122658
• ウィテカー、ET、ワトソン、GN（1963）、現代分析講座、ケンブリッジ大学出版局、ISBN 978-0-521-58807-2