ポアンカレ図

動的システムの時系列プロット

ポアンカレ図は、アンリ・ポアンカレにちなんで名付けられたグラフィカル表現で、時系列内の連続するデータポイント間の関係を視覚化して時系列のパターンや不規則性を検出し、動的システムの安定性に関する情報を明らかにし、周期軌道、カオス運動、分岐への洞察を提供します。システムの長期的な挙動を制御および予測する役割を果たしており、さまざまな科学および工学分野で欠かせないツールとなっています。リターンマップとしても知られています。^[1]^[2]ポアンカレ図は、データセットを高次元の状態空間に埋め込むことで、カオスとランダム性を区別するために使用できます。

次のような時系列が与えられたとする。

x_{t},x_{t+1},x_{t+2},\ldots ,N

最も単純な形式のポアンカレマップでは、最初に散布図の位置に点をプロットし、次にをプロットし、さらにをプロットします。 $(x_{t},x_{t+1})$ $(x_{t+1},x_{t+2})$ $(x_{t+2},x_{t+3})$

ロジスティックマップの例

反復（離散時間）写像の場合、ポアンカレ写像は、ある時間ステップから次の時間ステップへとシステムの値を写像する関数を表します。ロジスティック写像の場合、ポアンカレプロットは関数に対応する形状を表します。 $x_{n+1}=rx_{n}(1-x_{n})$ $f(x)=rx(1-x)$

心電図検査への応用

心電図（ ECG）は、心臓によって生じる胸部の電圧変化を波形に表したものです。正常な人の心臓の収縮は、洞房結節から発生する電気刺激によって引き起こされます。ECGは通常、P波、Q波、R波、S波、T波と呼ばれる一連の波で構成されています。P波は心房の脱分極、QRS波は心室の脱分極、T波は心室の再分極を表します。連続する2つのR波の間隔（RR間隔）は、心拍数の尺度となります。

通常、心拍数はわずかに変化します。深呼吸をすると心拍数は上がり、深く息を吐くと心拍数は下がります。（心拍数が上がるとRR間隔は短くなり、心拍数が下がるとRR間隔は長くなります。）RRタコグラフは、RR間隔の数値と時間をグラフ化したものです。

RRタコグラフィの分野では、ポアンカレプロットは、x軸にRR( n )、 y軸にRR( n +1)（次のRR間隔）を取ったグラフであり、つまり、一連の間隔を取り、各間隔を次の間隔に対してプロットするものである。^[3] ポアンカレプロットは、心拍変動やその他の非線形動的システムにおける振動の存在を検出するための標準的な視覚化手法として使用されている。心電図検査の分野では、健康な心拍数は通常、身体の調節機構（具体的には、自律神経系）によって厳密に制御されている。いくつかの研究論文^[4]^[5]は、心臓関連の疾患や異常を検出する上でのECG信号ベースのポアンカレプロットの可能性を示している。

プロットの様々な特性を定量化することができます。例えば、SD1値とSD2値は、それぞれ同一線に垂直な方向と、同一線に沿って測定された点の標準偏差です。SD2は長期的な変動を表し、SD1とSD2の比が測定されることがよくあります。これらの寸法を持つ楕円がプロットにフィッティングされることが多く、この楕円の面積も測定できます。

参照

再帰プロット
ポアンカレ地図
心拍変動(HRV) は、ポアンカレ図を使用して心臓の機能を評価します。
心拍時系列からマルチスケールポアンカレプロットを構築するための PhysioNet ツール。

参考文献

^ イェール大学フラクタル幾何学コースノート
^ 心血管データの時系列解析で使用される用語集
^ Heikki V. Huikuri; Timo H. Mäkikallio; Chung-Kang Peng; Ary L. Goldberger; Ulrik Hintze; Mogens Møller (2000年1月4日). 「急性心筋梗塞後の左室機能低下患者におけるRR間隔ダイナミクスと死亡率のフラクタル相関特性」Circulation . 101 (1): 47– 53. doi : 10.1161/01.CIR.101.1.47 . ISSN 1524-4539. PMID 10618303。24時間携帯型心電図記録から得られる心拍数（HR）変動の時間領域および周波数領域測定値を解析することで、急性心筋梗塞後の患者の予後情報が得られる。1–4 近年、複雑なHRダイナミクスを定量化し、従来のHR変動測定値を補完するために、非線形システム理論（「カオス理論とフラクタル」）に基づく多くの新しい手法が開発されている。5–12 新しいフラクタル解析手法は、左室機能障害患者に関する臨床的に有用な情報を既に提供しているが、13–15 大規模研究における予後予測力は証明されていない。本研究では、急性心筋梗塞（MI）および左室機能低下患者集団における死亡予測における、HR変動の様々なフラクタル解析手法の有用性を評価しました。死亡予測は、デンマークにおけるドフェチリド投与による不整脈および死亡率の調査（DIAMOND-MI）試験に参加した急性心筋梗塞生存者を対象に評価しました。また、RR間隔ダイナミクスのこれらの新しいフラクタル指標が、不整脈性または非不整脈性の心臓死を特異的に予測できるかどうかも検証しました。
^ メリロ、パオロ;イッツォ、ラファエレ。オリコ、エイダ。スカラ、パオロ;アタナシオ、マルセラ。ミラ、マルコ。デ・ルーカ、ニコラ。ペッキア、レアンドロ (2015-03-20)。「心拍数変動分析を使用した心血管イベントおよび脳血管イベントの自動予測」。プロスワン。10 (3) e0118504。ビブコード:2015PLoSO..1018504M。土井：10.1371/journal.pone.0118504。ISSN 1932-6203。PMC 4368686。PMID 25793605。
^ 「HRV信号からのポアンカレプロットと回帰プロットベースの特徴を用いた突然心臓死の早期検出 | PDFをリクエスト」ResearchGate . 2018年11月12日閲覧。

[1] イェール大学フラクタル幾何学コースノート

[2] 心血管データの時系列解析で使用される用語集

[3] Heikki V. Huikuri; Timo H. Mäkikallio; Chung-Kang Peng; Ary L. Goldberger; Ulrik Hintze; Mogens Møller (2000年1月4日). 「急性心筋梗塞後の左室機能低下患者におけるRR間隔ダイナミクスと死亡率のフラクタル相関特性」Circulation . 101 (1): 47– 53. doi : 10.1161/01.CIR.101.1.47 . ISSN 1524-4539. PMID 10618303。24時間携帯型心電図記録から得られる心拍数（HR）変動の時間領域および周波数領域測定値を解析することで、急性心筋梗塞後の患者の予後情報が得られる。1–4 近年、複雑なHRダイナミクスを定量化し、従来のHR変動測定値を補完するために、非線形システム理論（「カオス理論とフラクタル」）に基づく多くの新しい手法が開発されている。5–12 新しいフラクタル解析手法は、左室機能障害患者に関する臨床的に有用な情報を既に提供しているが、13–15 大規模研究における予後予測力は証明されていない。本研究では、急性心筋梗塞（MI）および左室機能低下患者集団における死亡予測における、HR変動の様々なフラクタル解析手法の有用性を評価しました。死亡予測は、デンマークにおけるドフェチリド投与による不整脈および死亡率の調査（DIAMOND-MI）試験に参加した急性心筋梗塞生存者を対象に評価しました。また、RR間隔ダイナミクスのこれらの新しいフラクタル指標が、不整脈性または非不整脈性の心臓死を特異的に予測できるかどうかも検証しました。

[4] メリロ、パオロ;イッツォ、ラファエレ。オリコ、エイダ。スカラ、パオロ;アタナシオ、マルセラ。ミラ、マルコ。デ・ルーカ、ニコラ。ペッキア、レアンドロ (2015-03-20)。「心拍数変動分析を使用した心血管イベントおよび脳血管イベントの自動予測」。プロスワン。10 (3) e0118504。ビブコード:2015PLoSO..1018504M。土井：10.1371/journal.pone.0118504。ISSN 1932-6203。PMC 4368686。PMID 25793605。

[5] 「HRV信号からのポアンカレプロットと回帰プロットベースの特徴を用いた突然心臓死の早期検出 | PDFをリクエスト」ResearchGate . 2018年11月12日閲覧。