点有限集合

数学において、位相空間の部分集合の集合または族は 、そのすべての点が^{[1] [2]}の有限個の要素にのみ存在するとき、点有限であるという。${\displaystyle {\mathcal {U}}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {U}}.}$

メタコンパクト空間とは、すべての開被覆が点有限な開細分化を許容する位相空間である。位相空間の部分集合の局所有限集合もすべて点有限である。すべての開被覆が局所有限な開細分化を許容する位相空間は、パラコンパクト空間と呼ばれる。したがって、すべてのパラコンパクト空間はメタコンパクトである。^[2]

デュドネの定理

定理— ^{[3] [4]}位相空間が正規であるためには、 の各点有限開被覆が縮小を持つ必要がある。つまり、が集合 でインデックス付けされた開被覆である場合、同じ集合 でインデックス付けされた開被覆が存在し、各 に対してが成り立つ必要がある。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \{U_{i}\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle \{V_{i}\mid i\in I\}}$ ${\displaystyle I}$ ${\displaystyle {\overline {V_{i}}}\subset U_{i}}$ ${\displaystyle i\in I}$

オリジナルの証明ではゾルンの補題が使われていますが、ウィラードは超限再帰を使っています。

参考文献

1. ウィラード2012、145–152頁。
2. ウィラード、スティーブン（2012）、一般位相幾何学、ドーバー数学書籍、クーリエ・ドーバー出版、pp.  145– 152、ISBN 9780486131788、OCLC  829161886。
3. Dieudonné、Jean (1944)、「Une généralisation des espaces Compacts」、Journal de Mathématiques Pures et Appliquées、Neuvième Série、23 : 65–76、ISSN  0021-7824、MR  0013297、定理6。
4. ウィラード2012、定理15.10。

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