アラゴスポット
直径 5.8 mm の円形障害物の影に映った Arago スポットの写真。

光学において、アラゴ点、ポアソン点[ 1 ] [ 2 ]またはフレネル点[ 3 ]は、フレネル回折により円形の物体の影の中心に現れる明るい点である。[ 4 ] [ 5 ] [ 6 ] [ 7 ]この点は光の波動性の発見に重要な役割を果たし、光が波として振る舞うことを示す一般的な方法である。

基本的な実験装置には、照射されたピンホールや発散レーザービームなどの点光源が必要です。装置の寸法はフレネル回折の要件を満たす必要があります。つまり、フレネル数は 以下の式 を満たす必要があります。 F＝d2ℓλ≳1、{\displaystyle F={\frac {d^{2}}{\ell \lambda }}\gtrsim 1,}

  • dは円形物体の直径であり、
  • ℓは物体とスクリーンの間の距離であり、
  • λは光源の波長です。

最後に、円形の物体の端は十分に滑らかでなければなりません。

これらの条件が組み合わさることで、日常生活で輝点に遭遇しない理由が説明されます。しかし、今日利用可能なレーザー光源があれば、アラゴ点実験を行うことはそれほど難しくありません。[ 8 ]

天文学では、アラゴ斑はニュートン式望遠鏡で星の焦点が強くぼけた像でも観測されます。この場合、星は無限遠においてほぼ理想的な点光源となり、望遠鏡の 副鏡が円形の障害物となります。

干渉エッジ波によるアラゴスポットの形成

光が円形の障害物に当たると、ホイヘンスの原理によれば、障害物の平面上のすべての点が新たな点光源として作用する。障害物の円周上の点から影の中心に向かう光は、全く同じ距離を進むため、物体の近くを通過するすべての光は同位相でスクリーンに到達し、建設的に干渉する。その結果、影の中心に明るい点が生じるが、幾何光学と光の粒子理論によれば、そこには光は全く存在しないはずである。[ 9 ]

歴史

19世紀初頭、光は単純に直線に沿って伝播するのではないという考えが広まりました。トーマス・ヤングは1807年に二重スリット実験を発表しました[ 10 ]。最初のアラゴ点実験はその10年後に行われ、光が粒子か波かという疑問に対する決定的な実験となりました。これはまさに「十字架の実験」の一例です。

当時、アイザック・ニュートンの光粒子説を支持する人は多く、その中には理論家シメオン・ドニ・ポアソンもいた。[ 11 ] 1818年、フランス科学アカデミーは光の性質を説明するコンペを開催し、ポアソンは審査員の一人であった。土木技師のオーギュスタン＝ジャン・フレネルは、新たな光波説を提出してこのコンペに参加した。[ 12 ]

ポアソンはフレネルの理論を詳細に研究し、光の粒子説の支持者として、その誤りを証明する方法を模索した。ポアソンは、フレネルの理論の帰結として、光の粒子説によれば完全な暗闇となるはずの円形の障害物の影の中に、軸上の明るい点が存在すると主張した際に、欠陥を発見したと考えた。この予測は波動説の不合理な帰結とみなされ、その予測の失敗はフレネルの理論を否定する強力な論拠となるはずであった。

しかし、委員会の委員長であるドミニク＝フランソワ＝ジャン・アラゴは、実際に実験を行うことを決意した。彼は2mmの金属円盤をワックスでガラス板に貼り付けた。[ 13 ]彼は予測された点を観測することに成功し、フレネルの予測を裏付けた。[ 14 ] : 109 [ 15 ] : 375 [ 16 ]

アラゴは後に[ 17 ]、この現象（後に「ポアソン斑」または「アラゴ斑」として知られる）がすでに1世紀前にデリスル[ 18 ]とマラルディ[ 19 ]によって観察されていたことを指摘した。

アラゴの実験結果は波動理論を支持する圧倒的な証拠であったが、1世紀後、量子力学の誕生（アルベルト・アインシュタインの「驚異の年」論文の1つで初めて示唆）と相まって、光（およびあらゆる物質とエネルギー）は粒子としても波としても記述する必要がある（粒子波動二重性）ことが理解されるようになった。しかし、電磁波に関連付けられている粒子である光子は、波動理論の台頭とアラゴの強力な実証以前に支配的だった粒子理論で考えられていた粒子とは何の共通点もない。1920年代後半に量子論が登場する前は、光の波動性だけが回折や干渉などの現象を説明できた。今日では、ディラックの量子理論で予測されているように、単一光子によって引き起こされる輝点のモザイク状の蓄積を通して回折パターンが現れることが知られている。光強度が増加すると、モザイク回折パターンの輝点はより速く集まる。対照的に、波動理論は、光の強度に応じて全体的な明るさが増加する、拡張された連続パターンの形成を予測します。

理論

P 0にある球状の点源から点 P 1における波の振幅を計算するための表記法。

フレネルの波動理論の核心はホイヘンス・フレネル原理である。これは、波面上の遮蔽されていない点はすべて二次球面波の発生源となり、スクリーン上の点における光場Eの振幅は、それらの相対位相を考慮したすべての二次波の重ね合わせによって与えられるというものである。[ 20 ]これは、スクリーン上の点P 1における場が面積分で与えられることを意味する。 ここで、二次波が後方に伝播しないことを保証する 傾斜係数は 次 のように与えられ、あなた（P1）＝あe私けr0r0∫Se私けr1r1K（χ）dS、{\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kr_{0}}}{r_{0}}}\int _{S}{\frac {e^{\mathbf {i} kr_{1}}}{r_{1}}}K(\chi )\,dS,}K（χ）{\displaystyle K(\chi )}K（χ）＝私2λ（1+コス⁡（χ））{\displaystyle K(\chi )={\frac {\mathbf {i} }{2\lambda }}(1+\cos(\chi ))}

  • Aは源波の振幅である
  • け＝2πλ{\textstyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}}波数​
  • Sは障害物のない表面です。

積分の外側にある最初の項は、距離r 0にある原波からの振動を表します。同様に、積分の内側にある項は、距離r 1にある二次ウェーブレットからの振動を表します。

この積分を用いて円形障害物の背後の強度を導出するためには、実験パラメータが近接場回折領域の要件を満たしていることを仮定する必要がある（円形障害物の大きさは波長に比べて大きく、距離g = P 0 Cおよびb = CP 1に比べて小さい）。極座標系に移ると、半径aの円形物体の積分が得られる（例えばBorn and Wolf [ 15 ]を参照）。 あなた（P1）＝−私λあe私け（グラム+b）グラムb2π∫1つの∞e私け12（1グラム+1b）r2rdr。{\displaystyle U(P_{1})=-{\frac {\mathbf {i}}{\lambda }}{\frac {Ae^{\mathbf {i} k(g+b)}}{gb}}2\pi \int _{a}^{\infty }e^{\mathbf {i} k{\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)r^{2}}r\,dr.}

小さな円形の障害物の影の中心の軸上の強度は、障害物がない場合の強度に収束します。

この積分は数値的に解くことができる（下記参照）。gが大きく、bが小さく、角度が無視できない場合、軸上の場合（P 1 が影の中心にある場合）の積分は次のように書ける（ゾンマーフェルト[ 21 ]参照）。 χ{\displaystyle \chi }あなた（P1）＝あe私けグラムグラムbb2+1つの2e私けb2+1つの2。{\displaystyle U(P_{1})={\frac {Ae^{\mathbf {i} kg}}{g}}{\frac {b}{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}e^{\mathbf {i} k{\sqrt {b^{2}+a^{2}}}}.}

光源強度 は電界振幅の2乗であり、スクリーンにおける強度 である。したがって、軸上強度は距離bの関数として次のように表される。 私0＝|1グラムあe私けグラム|2{\textstyle I_{0}=\left|{\frac {1}{g}}Ae^{\mathbf {i} kg}\right|^{2}}私＝|あなた（P1）|2{\displaystyle I=\left|U(P_{1})\right|^{2}}私＝b2b2+1つの2私0。{\displaystyle I={\frac {b^{2}}{b^{2}+a^{2}}}I_{0}.}

これは、円形障害物の直径よりもはるかに大きい距離bにおける軸上強度が光源強度と同じであることを示しています。これは、円形物体が全く存在しないかのように見えます。しかし、距離bが大きくなると、輝点の大きさ（以下のシミュレーションで連続画像でb/a を増加させた場合に見られるように）が大きくなり、輝点の識別が容易になります。

回折像の計算

スクリーン上に見える完全な回折像を計算するには、前節の面積分を考慮する必要があります。光源とスクリーン上の任意の点を結ぶ直線が円形物体の中心を通らないため、円対称性はもはや利用できません。開口関数は物体面の透明な部分では1、そうでない場合は0（つまり、光源とスクリーン上の点を結ぶ直線が遮蔽する円形物体を通過する場合は0）であり、解くべき積分は次のように与えられます。 グラム（r、θ）{\displaystyle g(r,\theta )}あなた（P1）∝∫02π∫0∞グラム（r、θ）e私πρ2λ（1グラム+1b）ρdρdθ。{\displaystyle U(P_{1})\propto \int _{0}^{2\pi }\int _{0}^{\infty }g(r,\theta )e^{{\frac {\mathbf {i} \pi \rho ^{2}}{\lambda }}\left({\frac {1}{g}}+{\frac {1}{b}}\right)}\rho \,d\rho \,d\theta .}

台形則やシンプソン則を用いた積分の数値計算は効率的ではなく、特にフレネル数が大きい構成では数値的に不安定になる。しかし、積分の放射状部分を解いて、方位角についての積分だけが数値的に実行されるようにすることは可能である。[ 22 ]特定の角度については、直線P 0 P 1と円形の物体面との交点を原点とする光線の線積分を解く必要がある。方位角がで物体面の透明部分を通過する特定の光線の寄与は、からまで次のようになる。 θ1{\displaystyle \theta _{1}}r＝s{\displaystyle r=s}r＝t{\displaystyle r=t}R（θ1）∝eπ2私s2−eπ2私t2。{\displaystyle R(\theta _{1})\propto e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} s^{2}}-e^{{\frac {\pi }{2}}\mathbf {i} t^{2}}.}

したがって、各角度について、光線と円形物体との交点を計算し、 0から までの特定の角度における寄与を合計する必要があります。この計算結果を以下の画像に示します。 I(θ1){\displaystyle I(\theta _{1})}2π{\displaystyle 2\pi }

これらの画像は、直径4mm、2mm、1mmの円盤の影に映るアラゴ斑のシミュレーションであり、各円盤の1m後方から撮影されています。円盤は、各円盤の1m前方の点から発散する波長633nmの光で照射されています。各画像の幅は16mmです。

アラゴスポットは、電磁場のポインティングベクトルを平均化して数値的に計算された平均エネルギー流の線を使って視覚化することもできる。 [ 23 ] [ 24 ] : 575

半径R = 5 μm = 10λの円形障害物の後ろにおける波長λ = 0.5 μmの単色光の強度の数値シミュレーション。[ 23 ]

実験的な側面

強度と大きさ

アラゴスポット実験。点光源が円形の物体を照らし、スクリーンに影を落とす。影の中心には回折により明るい点が現れ、幾何光学の予測とは矛盾する。

理想的な点光源の場合、アラゴスポットの強度は、乱されていない波面の強度に等しくなります。アラゴスポットの強度ピークの幅のみが、光源、円形物体、スクリーン間の距離、および光源の波長と円形物体の直径に依存します。つまり、円形物体とスクリーン間の距離を広げるか、円形物体の直径を小さくすることで、 光源の波長の減少を補うことができます。

スクリーン上の横方向の強度分布は、実際には光軸に近く、平面波源（無限遠の点光源）を使用した場合、第一種ゼロ次ベッセル関数の2乗の形をとる： [ 25 ] ここで U(P1,r)∝J02(πrdλb){\displaystyle U(P_{1},r)\propto J_{0}^{2}\left({\frac {\pi rd}{\lambda b}}\right)}

  • rはスクリーン上の点P 1から光軸までの距離である。
  • dは円形物体の直径である
  • λは波長である
  • bは円形の物体とスクリーン間の距離です。

次の画像は、上記のシミュレートされた Arago スポット画像の放射状の強度分布を示しています。

これら 3 つのグラフの赤い線は上記のシミュレーション画像に対応しており、緑の線は上記の 2 乗ベッセル関数に対応するパラメータを適用して計算されたものです。

有限な音源サイズと空間コヒーレンス

従来の光源からの円形の影の中でアラゴスポットを観測することが難しい主な理由は、そのような光源が点光源の悪い近似であるためです。波源が有限の大きさSを持つ場合、円形物体がレンズのように作用するのと同じように、アラゴスポットの広がりはSb / gで与えられます。 [ 20 ]同時に、アラゴスポットの強度は、擾乱されていない波面の強度に対して減少します。相対強度を、強度を擾乱されていない波面の強度で割ったものとして定義すると、直径 w の拡張された円形光源の相対強度は、次の式を使用して正確に表すことができます。[ 26 ] ここで、およびは第一種ベッセル関数です。は影を落とす円盤の半径、波長、および光源と円盤間の距離です。大きな光源の場合、次の漸近近似が適用されます。[ 26 ]Irel{\displaystyle I_{\text{rel}}}Irel(w)=J02(wRπgλ)+J12(wRπgλ){\displaystyle I_{\text{rel}}(w)=J_{0}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)+J_{1}^{2}\left({\frac {wR\pi }{g\lambda }}\right)}J0{\displaystyle J_{0}}J1{\displaystyle J_{1}}R{\displaystyle R}λ{\displaystyle \lambda }g{\displaystyle g}Irel(w)≈2gλπ2wR{\displaystyle I_{\text{rel}}(w)\approx {\frac {2g\lambda }{\pi ^{2}wR}}}

円形からの逸脱

円形の物体の断面が円形からわずかにずれている場合（ただし、小さなスケールでは鋭いエッジが残っている場合）、点光源のアラゴスポットの形状は変化します。特に、物体の断面が楕円体の場合、アラゴスポットは縮閉線の形状になります。[ 27 ]これは、光源が理想的な点光源に近い場合にのみ当てはまることに注意してください。拡張光源の場合、アラゴスポットはわずかにしか影響を受けません。これは、アラゴスポットを点広がり関数として解釈できるためです。したがって、拡張光源の画像は、点広がり関数との畳み込みによって白っぽくなるだけで、全体的な強度は低下しません。

円形物体の表面粗さ

アラゴ斑点は、理想的な円形断面からの小さな偏差に非常に敏感です。つまり、円形物体のわずかな表面粗さが、明るい斑点を完全に打ち消す可能性があるということです。これは、直径4mmの円板（g = b = 1m）からのアラゴ斑点のシミュレーションである以下の3つの図に示されています。

シミュレーションには、振幅がそれぞれ10μm、50μm、100μmの円形の規則的な正弦波波形が含まれています。100μmのエッジ波形により、中央の明るい点がほぼ完全に除去されていることに注意してください。

この効果は、フレネルゾーンの概念を用いることで最もよく理解できます。障害物のエッジ上の点から放射状に伝播する電磁波は、フレネルゾーンに対するエッジ点の位置と位相が一致する寄与を提供します。障害物の半径の変動がエッジ近傍のフレネルゾーンの幅よりもはるかに小さい場合、放射状セグメントからの寄与はほぼ同位相となり、建設的に干渉します。しかし、エッジのランダムな凹凸の振幅が隣接するフレネルゾーンの幅と同等かそれ以上の場合、放射状セグメントからの寄与は同位相ではなくなり、互いに打ち消し合い、アラゴスポットの強度を低下させます。

隣接フレネルゾーンはおおよそ次のように与えられる: [ 28 ]Δr≈r2+λgbg+b−r.{\displaystyle \Delta r\approx {\sqrt {r^{2}+\lambda {\frac {gb}{g+b}}}}-r.}

理想的なアラゴスポットに近づくためには、エッジの波打ち幅はこの幅の10%以下に抑える必要があります。上記の直径4mmのディスクを用いたシミュレーションでは、隣接するフレネルゾーンの幅は約77μmです。

物質波を伴うアラゴスポット

2009年には、重水素分子（中性物質波の一例）の超音速膨張ビームを用いたアラゴスポット実験が実証されました。 [ 28 ]物質粒子が波のように振舞うことは量子力学から知られています。粒子の波動性は、実際にはド・ブロイの仮説[ 29 ]やデイヴィソンとゲルマーの実験[ 30 ]にまで遡ります。物質波を構成する電子のアラゴスポットは、透過型電子顕微鏡で一定の大きさの円形構造を調べることで 観察できます。

大きな分子のアラゴスポットを観測し、その波動性を証明することは、現在の研究のテーマである。[ 28 ]

その他のアプリケーション

波動の挙動を実証する以外にも、アラゴスポットにはいくつかの用途があります。例えば、アライメントシステムにおける直線基準としてアラゴスポットを使用するというアイデアがあります。[ 31 ]もう1つのアイデアは、スポットのビーム収差に対する感度を利用してレーザービームの収差を調べることです。[ 25 ] 最後に、アラゴスコープは宇宙望遠鏡の回折限界解像度を劇的に向上させる方法として提案されています。[ 32 ] [ 33 ]

参照

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