ポアソン極限定理

ポアソン分布（黒線）と二項分布（n = 10（赤丸）、n = 20（青丸）、n = 1000 （緑丸））の比較。いずれの分布も平均は5です。横軸は事象数 kを示しています。nが大きくなるにつれて、ポアソン分布は同じ平均を持つ二項分布の近似値としてより近似するようになります。

確率論において、稀事象の法則、あるいはポアソン極限定理は、ある条件下ではポアソン分布が二項分布の近似として使用できることを述べています。 ^{[ 1 ]}この定理はシメオン・ドニ・ポアソン（1781–1840）にちなんで名付けられました。この定理の一般化は ル・カムの定理です。

定理

が有限極限に収束するようなにおける実数列であるとする。このとき、 ${\displaystyle p_{n}}$ ${\displaystyle [0,1]}$ ${\displaystyle np_{n}}$ ${\displaystyle \lambda}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty}{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{nk}=e^{-\lambda}{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}}$

最初の証明

仮定する（ケースは簡単だ）。すると ${\displaystyle \lambda >0}$ ${\displaystyle \lambda =0}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\lim \limits _{n\rightarrow \infty}{n \choose k}p_{n}^{k}(1-p_{n})^{nk}&=\lim _{n\to \infty}{\frac {n(n-1)(n-2)\dots (n-k+1)}{k!}}\left({\frac {\lambda}{n}}(1+o(1))\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda}{n}}(1+o(1))\right)^{nk}\\&=\lim _{n\to \infty}{\frac {n^{k}+O\left(n^{k-1}\right)}{k!}}}{\frac {\lambda ^{k}}{n^{k}}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{-k}\\&=\lim _{n\to \infty }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}.\end{aligned}}}$

以来

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1-{\frac {\lambda }{n}}(1+o(1))\right)^{n}=e^{-\lambda }}$

これにより

${\displaystyle {n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.}}$

代替証明

スターリング近似を使用すると、次のように書くことができます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&={\frac {n!}{(nk)!k!}}p^{k}(1-p)^{nk}\\&\simeq {\frac {{\sqrt {2\pin}}\left({\frac {n}{e}}\right)^{n}}{{\sqrt {2\pi \left(nk\right)}}\left({\frac {nk}{e}}\right)^{nk}k!}}p^{k}(1-p)^{nk}\\&={\sqrt {\frac {n}{nk}}}{\frac {n^{n}e^{-k}}{\left(nk\right)^{nk}k!}}p^{k}(1-p)^{nk}.\end{aligned}}}$

賃貸と： ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle np=\lambda}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&\simeq {\frac {n^{n}\,p^{k}(1-p)^{nk}e^{-k}}{\left(nk\right)^{nk}k!}}\\&={\frac {n^{n}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}e^{-k}}{n^{nk}\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{nk}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{nk}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{nk}k!}}\\&\simeq {\frac {\lambda ^{k}\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n}e^{-k}}{\left(1-{\frac {k}{n}}\right)^{n}k!}}.\end{aligned}}}$

なので、次のようになります。 ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \left(1-{\frac {x}{n}}\right)^{n}\to e^{-x}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{n \choose k}p^{k}(1-p)^{nk}&\simeq {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }e^{-k}}{e^{-k}k!}}\\&={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}\end{整列}}}$

通常の生成関数

二項分布の 通常の生成関数を使用して定理を証明することもできます。

${\displaystyle G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)\equiv \sum _{k=0}^{N}\left[{\binom {N}{k}}p^{k}(1-p)^{Nk}\right]x^{k}={\Big [}1+(x-1)p{\Big ]}^{N}}$

二項定理により、積を一定に保ちながら極限をとると、次の式が得られます 。${\displaystyle N\rightarrow\infty}$ ${\displaystyle pN\equiv \lambda }$

${\displaystyle \lim _{N\rightarrow \infty }G_{\operatorname {bin} }(x;p,N)=\lim _{N\rightarrow \infty }\left[1+{\frac {\lambda (x-1)}{N}}\right]^{N}=\mathrm {e} ^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }\left[{\frac {\mathrm {e} ^{-\lambda }\lambda ^{k}}{k!}}\right]x^{k}}$

これはポアソン分布のOGFです。（2番目の等式は指数関数の定義により成立します。）

参照

• ド・モアブル・ラプラスの定理
• ル・カムの定理

参考文献

1. Papoulis, Athanasios ; Pillai, S. Unnikrishna .確率、ランダム変数、および確率過程（第4版）。