ポアソン分布

ポアソン分布
確率質量関数 横軸はインデックスk 、つまり出現回数です。λは期待出現率です。縦軸はλが与えられた場合のk回の出現確率です。この関数はkが整数値の場合のみ定義されます。接続線は目視のためのガイドとしてのみ使用されます。
累積分布関数 横軸はインデックスk、つまり出現回数です。ポアソン分布に従う変数は整数値のみをとるため、CDFはkの整数値で不連続となり、それ以外の場合は平坦になります。
表記	${\displaystyle \operatorname {Pois} (\lambda )}$
パラメータ	${\displaystyle \lambda \in (0,\infty )}$ （出現率）
サポート	${\displaystyle k\in \mathbb {N} _{0}}$ （ 0から始まる自然数）
PMF	${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}}$
CDF	${\displaystyle {\frac {\Gamma (\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}{\lfloor k\rfloor !}},}$ またはまたは${\displaystyle e^{-\lambda }\sum _{j=0}^{\lfloor k\rfloor }{\frac {\lambda ^{j}}{j!}},}$ ${\displaystyle Q(\lfloor k+1\rfloor ,\lambda )}$ （ただし、は上側不完全ガンマ関数、は床関数、は正規化ガンマ関数）${\displaystyle k\geq 0,}$ ${\displaystyle \Gamma (x,y)}$ ${\displaystyle \lfloor k\rfloor }$ ${\displaystyle Q}$
平均	${\displaystyle \lambda }$
中央値	${\displaystyle \approx \left\lfloor \lambda +{\frac {1}{3}}-{\frac {1}{50\lambda }}\right\rfloor }$
最頻値	${\displaystyle \left\lceil \lambda \right\rceil -1,\left\lfloor \lambda \right\rfloor }$
分散	${\displaystyle \lambda }$
歪度	${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {\lambda }}}}$
過剰尖度	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$
エントロピー	${\displaystyle \lambda {\Bigl [}1-\log(\lambda ){\Bigr ]}+e^{-\lambda }\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {\lambda ^{k}\log(k!)}{k!}}}$   または大きい場合${\displaystyle \lambda }$   ${\displaystyle {\begin{aligned}\approx {\frac {1}{2}}\log \left(2\pi e\lambda \right)-{\frac {1}{12\lambda }}-{\frac {1}{24\lambda ^{2}}}\\-{\frac {19}{360\lambda ^{3}}}+{\mathcal {O}}\left({\frac {1}{\lambda ^{4}}}\right)\end{aligned}}}$
MGF	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(e^{t}-1\right)\right]}$
CF	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(e^{it}-1\right)\right]}$
PGF	${\displaystyle \exp \left[\lambda \left(z-1\right)\right]}$
フィッシャー情報量	${\displaystyle {\frac {1}{\lambda }}}$

確率論と統計学において、ポアソン分布（/ ˈ p w ɑː s ɒ n /）は、一定の時間間隔内に、指定された数のイベントが、最後のイベントからの時間とは無関係に、既知の一定の平均率で発生する確率を表す離散確率分布です。 ^[1]時間以外の種類の間隔や、1より大きい次元（たとえば、指定された面積または体積内のイベントの数）でのイベントの数にも使用できます。ポアソン分布は、フランスの数学者シメオン・ドニ・ポアソンにちなんで名付けられました。離散安定分布で重要な役割を果たします。

与えられた区間にλ個のイベントが発生すると期待されるポアソン分布の下では、同じ区間にk個のイベントが発生する確率は^{[2] ：60}です。 例えば、1日中いつでも1分あたり平均λ = 3件のコールを受けるコールセンターを考えてみましょう。任意の2つの互いに素な時間間隔におけるコールの受信数が独立している場合、任意の1分間に受信されるコール 数kはポアソン確率分布に従います。k = 1～4件のコールを受信する確率は約0.77ですが、0件または5件以上のコールを受信する確率は約0.23です。 $${\displaystyle {\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}.}$$

ポアソン分布の根拠となる典型的な例は、一定の観測期間中の放射性崩壊イベントの数です。 ^[3]

歴史

この分布は、シメオン・ドニ・ポアソン（1781–1840）によって初めて導入され、確率論とともに著書『刑事事件と民事事件の確率に関する研究』（1837年）で発表されました。^{[4] : 205-207}この著作は、特定の国における冤罪の数について、特定の確率変数 Nに焦点を当てて理論化しました。この変数Nは、特に、与えられた長さの時間間隔中に発生する離散的な発生（「イベント」または「到着」と呼ばれることもあります）の数を数えます。この結果は、1711年にアブラハム・ド・モアヴルによって『冤罪における確率的事象』 （De Mensura Sortis seu; de Probabilitate Eventuum in Ludis a Casu Fortuito Pendentibus）ですでに示されていました^{[5] : 219  [6] : 14-15  [7] : 193  [8] : 157}これはスティグラーの法則の例であり、一部の著者はポアソン分布はド・モアブルの名を冠すべきだと主張するようになりました。^{[9] [10]}

1860年、サイモン・ニューカムはポアソン分布を単位空間にある星の数に当てはめました。^{[11] 1898年には}、ラディスラウス・ボルトキエヴィチ によってさらなる実用化が行われました。ボルトキエヴィチは、プロイセン軍の兵士が馬に蹴られて誤って死亡する頻度がポアソン分布によってうまくモデル化できることを示しました。^{[12] : 23-25}

定義

確率質量関数

離散確率変数 Xは、次式で与えられる確率質量関数を持つとき、パラメータ付きポアソン分布に従うという。^{[2] : 60} ここで ${\displaystyle \lambda >0}$ $${\displaystyle f(k;\lambda )=\Pr(X{=}k)={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}},}$$

• kは発生回数（）${\displaystyle k=0,1,2,\ldots }$
• eはオイラー数（）${\displaystyle e=2.71828\ldots }$
• k ! = k ( k- 1) ··· (3)(2)(1)は階乗です。

正の実数 λは、 Xの期待値とその分散に等しい。^[13] $${\displaystyle \lambda =\operatorname {E} (X)=\operatorname {Var} (X).}$$

ポアソン分布は、多数の可能性のある事象（それぞれがまれ）を持つシステムに適用できます。一定の時間間隔中に発生するそのような事象の数は、適切な状況下では、ポアソン分布に従う乱数です。

平均イベント数の代わりに、イベントが発生する平均速度が与えられている場合、この式を適応させることができます。そして、次のようになります。 ^[14]${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle \lambda =rt,}$ $${\displaystyle P(k{\text{ events in interval }}t)={\frac {(rt)^{k}e^{-rt}}{k!}}.}$$

例

歩道にチューインガムがあります。1枚のタイルに貼られたガムの数は、ほぼポアソン分布に従います

ポアソン分布は、次のような事象をモデル化するために役立つ場合があります。

• 1年間に地球に衝突する直径1メートルを超える隕石の数。
• 特定の時間間隔で検出器に当たるレーザー光子の数。
• 試験で低い点と高い点を取った学生の数。
• 材料の欠陥や転位の位置。

宇宙におけるランダムな点の発生例としては、小惑星が地球に衝突した場所（2次元）、材料の欠陥の位置（3次元）、森林の木の位置（2次元）などがあります。^[15]

仮定と妥当性

以下の仮定が成り立つ場合、ポアソン分布は適切なモデルです。

• kは非負の整数で、ある間隔内に事象が発生する回数です。
• 1つの事象の発生は、2番目の事象の確率に影響を与えません。
• 事象が発生する平均率は、どの発生とも無関係です。
• 2つの事象がまったく同じ瞬間に発生することはありません

これらの条件が真であれば、kはポアソン確率変数であり、kの分布はポアソン分布になります。

ポアソン分布は二項分布の極限でもあり、各試行の成功確率は（期待値、試行回数）であり、 が一定に保たれる 極限で^{[16] [17]}（関連分布を参照）です。 ポアソン分布は、 初期条件を持つ 微分方程式^{[18] [19] [20]}から導出され、 で評価されることもあります。${\displaystyle p={\frac {\lambda }{n}}}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n\to \infty }$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\dbinom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{k}\,\left(1-{\frac {\lambda }{n}}\right)^{n-k}={\frac {\lambda ^{k}}{k!}}\,e^{-\lambda }}$$ $${\displaystyle {\frac {d\,P_{k}(t)}{dt}}=\lambda \,{\Big (}P_{k-1}(t)-P_{k}(t){\Big )}}$$ ${\displaystyle P_{k}(0)=\delta _{k0}}$ ${\displaystyle t=1}$

ポアソン分布の確率の例

ある河川では、氾濫洪水は平均して100年に1回発生します。ポアソンモデルが適切であると仮定して、100年間にk = 0、1、2、3、4、5、または6回の 氾濫洪水が発生する確率を計算します。 平均発生率は100年に1回の氾濫洪水であるため、λ = 1です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}P(k{\text{ overflow floods in 100 years}})&={\frac {\lambda ^{k}e^{-\lambda }}{k!}}={\frac {1^{k}e^{-1}}{k!}}\\P(k=0{\text{ overflow floods in 100 years}})&={\frac {1^{0}e^{-1}}{0!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368\\P(k=1{\text{ overflow flood in 100 years}})&={\frac {1^{1}e^{-1}}{1!}}={\frac {e^{-1}}{1}}\approx 0.368\\P(k=2{\text{ overflow floods in 100 years}})&={\frac {1^{2}e^{-1}}{2!}}={\frac {e^{-1}}{2}}\approx 0.184\end{aligned}}}$$

k P ( 100年間でk回の氾濫洪水) 0 0.368 1 0.368 2 0.184 3 0.061 4 0.015 5 0.003 6 0.0005 100年間に0～6回の氾濫が発生する確率。

この例では、ワールドカップサッカーの試合における平均ゴール数は約2.5であり、ポアソンモデルが適切であると報告されています。[21] 平均イベント率は1試合あたり2.5ゴールであるため、λ = 2.5です。 $${\displaystyle {\begin{aligned}P(k{\text{ goals in a match}})&={\frac {2.5^{k}e^{-2.5}}{k!}}\\P(k=0{\text{ goals in a match}})&={\frac {2.5^{0}e^{-2.5}}{0!}}={\frac {e^{-2.5}}{1}}\approx 0.082\\P(k=1{\text{ goal in a match}})&={\frac {2.5^{1}e^{-2.5}}{1!}}={\frac {2.5e^{-2.5}}{1}}\approx 0.205\\P(k=2{\text{ goals in a match}})&={\frac {2.5^{2}e^{-2.5}}{2!}}={\frac {6.25e^{-2.5}}{2}}\approx 0.257\end{aligned}}}$$

k P (ワールドカップサッカーの試合におけるk点の得点) 0 0.082 1 0.205 2 0.257 3 0.213 4 0.133 5 0.067 6 0.028 7 0.010 試合で0～7点の得点が発生する確率。

ポアソン分布の仮定に違反する例

1分間に学生会館に到着する学生数は、到着率が一定ではなく（授業中は到着率が低く、授業時間外は到着率が高い）、個々の学生の到着が独立していない（学生は集団で来る傾向がある）ため、ポアソン分布に従わない可能性があります。到着率が一定でない場合は、混合ポアソン分布としてモデル化でき、個々の学生ではなく集団の到着は複合ポアソン過程としてモデル化できます。

ある国で年間に発生するマグニチュード5の地震の数は、1つの大きな地震が同様のマグニチュードの余震の確率を高める場合、ポアソン分布に従わない可能性があります。

少なくとも1つのイベントが保証されている例はポアソン分布ではありませんが、ゼロ切断ポアソン分布を使用してモデル化できます。

ポアソンモデルによって予測されるよりもイベントが0の区間の数が多い計数分布は、ゼロインフレモデルを使用してモデル化できます。

特性

記述統計

• ポアソン分布の確率変数の期待値はλです。
• ポアソン分布の確率変数の分散もλです。
• 変動係数は、分散指数が1であるのに対し、分散指数は1です^{。[8] ：163}${\textstyle \lambda ^{-1/2},}$
• 平均値からの平均絶対偏差は^{[8] ：163 です} $${\displaystyle \operatorname {E} [\ |X-\lambda |\ ]={\frac {2\lambda ^{\lfloor \lambda \rfloor +1}e^{-\lambda }}{\lfloor \lambda \rfloor !}}.}$$
• 整数でないλを持つポアソン分布の確率変数の最頻値は、 λ以下の最大の整数 に等しくなります。これはfloor ( λ )とも表記されます。λが正の整数の場合、最頻値はλとλ - 1です。${\displaystyle \lfloor \lambda \rfloor ,}$
• ポアソン分布のすべてのキュムラントは期待値λに等しくなります 。ポアソン分布のn次階乗モーメントはλ ⁿです
• ポアソン過程の期待値は、強度と露出の積（より一般的には「強度関数」の時間または空間での積分として表現され、「露出」と呼ばれることもある）に分解されることがある。^[22]

中央値

分布の中央値( )の境界は既知であり、鋭い：^[23]${\displaystyle \nu }$ $${\displaystyle \lambda -\ln 2\leq \nu <\lambda +{\frac {1}{3}}.}$$

高次モーメント

ポアソン分布の高次非中心モーメント m _kは、 λのタッチャード多項式です。 ここで、中括弧 { } は第二種スターリング数を表します。^{[24] [1] : 6}言い換えれば、 期待値をλ = 1に設定すると、ドビンスキーの公式は、 n次モーメントがサイズnの集合の分割数に等しいことを意味します。 $${\displaystyle m_{k}=\sum _{i=0}^{k}\lambda ^{i}{\begin{Bmatrix}k\\i\end{Bmatrix}},}$$ $${\displaystyle E[X]=\lambda ,\quad E[X(X-1)]=\lambda ^{2},\quad E[X(X-1)(X-2)]=\lambda ^{3},\cdots }$$

単純な上限は次のとおりです。^[25] $${\displaystyle m_{k}=E[X^{k}]\leq \left({\frac {k}{\log(k/\lambda +1)}}\right)^{k}\leq \lambda ^{k}\exp \left({\frac {k^{2}}{2\lambda }}\right).}$$

ポアソン分布に従う確率変数の和

が独立である場合、^{[26] : 65}逆はライコフの定理であり、2つの独立した確率変数の和がポアソン分布する場合、それらの2つの独立した確率変数のそれぞれもポアソン分布するというものです。^{[27] [28]}${\displaystyle X_{i}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{i})}$ ${\displaystyle i=1,\dotsc ,n}$ ${\textstyle \sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \operatorname {Pois} \left(\sum _{i=1}^{n}\lambda _{i}\right).}$

最大エントロピー

これは、平均とを持つ一般化二項分布の集合の中で最大エントロピー分布です。^[29]ここで、一般化二項分布は、N個の独立だが同一に分布しないベルヌーイ変数の和の分布として定義されます。 ${\displaystyle B_{n}(\lambda )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle n\to \infty }$

その他の特性

• ポアソン分布は無限に割り切れる確率分布である。^{[30] : 233  [8] : 164}
• からへの有向カルバック・ライブラー距離は次のように与えられる。${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$ ${\displaystyle P_{0}=\operatorname {Pois} (\lambda _{0})}$ $${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(P\parallel P_{0})=\lambda _{0}-\lambda +\lambda \log {\frac {\lambda }{\lambda _{0}}}.}$$
• が整数の場合、および^{[31] [検証失敗–議論を参照]}を満たします。${\displaystyle \lambda \geq 1}$ ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ ${\displaystyle \Pr(Y\geq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}}$ ${\displaystyle \Pr(Y\leq E[Y])\geq {\frac {1}{2}}.}$
• ポアソン確率変数の裾の確率の境界は、チェルノフ境界の議論を用いて導くことができます。^{[32] : 97-98}${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}P(X\geq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x>\lambda ,\\[1ex]P(X\leq x)&\leq {\frac {\left(e\lambda \right)^{x}e^{-\lambda }}{x^{x}}},&{\text{ for }}x<\lambda .\end{aligned}}}$$
• 上裾の確率は、次のように（少なくとも2倍）厳しくすることができます。^[33]ここで はからのカルバック・ライブラー・ダイバージェンスです。$${\displaystyle P(X\geq x)\leq {\frac {e^{-\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}{\max {(2,{\sqrt {4\pi \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}}})}},{\text{ for }}x>\lambda ,}$$ ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q\parallel P)}$ ${\displaystyle Q=\operatorname {Pois} (x)}$ ${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$
• ポアソン確率変数の分布関数と標準正規分布関数を関連付ける不等式は次のとおりです。^[34]${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ ${\displaystyle \Phi (x)}$

$${\displaystyle \Phi {\left(\operatorname {sign} (k-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}}\right)}<P(X\leq k)<\Phi {\left(\operatorname {sign} (k+1-\lambda ){\sqrt {2\operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}}\right)},{\text{ for }}k>0,}$$ ここで、は からのカルバック・ライブラー・ダイバージェンスであり、は から のカルバック・ライブラー・ダイバージェンスです。 ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{-}\parallel P)}$ ${\displaystyle Q_{-}=\operatorname {Pois} (k)}$ ${\displaystyle P=\operatorname {Pois} (\lambda )}$ ${\displaystyle \operatorname {D} _{\text{KL}}(Q_{+}\parallel P)}$ ${\displaystyle Q_{+}=\operatorname {Pois} (k+1)}$ ${\displaystyle P}$

ポアソンレース

とを独立した確率変数とすると、次の式が得られます 。${\displaystyle X\sim \operatorname {Pois} (\lambda )}$ ${\displaystyle Y\sim \operatorname {Pois} (\mu )}$ ${\displaystyle \lambda <\mu ,}$ $${\displaystyle {\frac {e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}{(\lambda +\mu )^{2}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{2{\sqrt {\lambda \mu }}}}-{\frac {e^{-(\lambda +\mu )}}{4\lambda \mu }}\leq P(X-Y\geq 0)\leq e^{-({\sqrt {\mu }}-{\sqrt {\lambda }})^{2}}}$$

上限は標準的なチェルノフ境界を用いて証明されます

下限は、が となる確率であることに注意することで証明できます。ここで、 は によって下方に有界であり、は相対エントロピーです（詳細は二項分布の裾の境界に関する項目を参照してください）。さらに に注目し、無条件確率の下限を計算すると、結果が得られます。詳細はKamathら^[35]の付録に記載されています。${\displaystyle P(X-Y\geq 0\mid X+Y=i)}$ ${\textstyle Z\geq {\frac {i}{2}},}$ ${\textstyle Z\sim \operatorname {Bin} \left(i,{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right),}$ ${\textstyle {\frac {1}{(i+1)^{2}}}e^{-iD\left(0.5\|{\frac {\lambda }{\lambda +\mu }}\right)},}$ ${\displaystyle D}$ ${\displaystyle X+Y\sim \operatorname {Pois} (\lambda +\mu ),}$

関連分布

無限小時間ステップを持つ二項分布として

ポアソン分布は、試行回数が無限大になり、成功の期待回数が一定のままである場合の、二項分布の極限ケースとして導くことができます (以下の稀事象の法則を参照)。 したがって、 nが十分に大きく、pが十分に小さい場合、二項分布の近似として使うことができます。 ポアソン分布は、nが少なくとも 20 かつpが 0.05 以下の場合は二項分布の良い近似であり、n ≥ 100かつnp ≤ 10の場合は優れた近似です。^[36]およびをそれぞれの二項分布とポアソン分布の 累積密度関数とすると、次が得られます。 この導出の 1 つは、確率生成関数を使用します。^[37] 1回の成功の確率 (または成功の期待回数) が特定の間隔内にあるベルヌーイ試行(コイン投げ)を考えます。区間全体にわたって n回の試行のうちk回成功する確率は、 生成関数が以下の二項分布で与えられます。n が無限大に増加する ときの極限（ xは固定）を取り、指数関数の積極限定義を適用すると、これはポアソン分布の生成関数に簡約されます。 ${\displaystyle F_{\mathrm {B} }}$ ${\displaystyle F_{\mathrm {P} }}$ $${\displaystyle F_{\mathrm {B} }(k;n,p)\ \approx \ F_{\mathrm {P} }(k;\lambda =np).}$$ ${\displaystyle \lambda \leq 1}$ ${\displaystyle {\tfrac {\lambda }{n}}}$ $${\displaystyle p_{k}^{(n)}={\binom {n}{k}}\left({\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!k}\left(1{-}{\frac {\lambda }{n}}\right)^{\!n-k},}$$ $${\displaystyle P^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}p_{k}^{(n)}x^{k}=\left(1-{\frac {\lambda }{n}}+{\frac {\lambda }{n}}x\right)^{n}.}$$ $${\displaystyle \lim _{n\to \infty }P^{(n)}(x)=\lim _{n\to \infty }\left(1{+}{\tfrac {\lambda (x-1)}{n}}\right)^{n}=e^{\lambda (x-1)}=\sum _{k=0}^{\infty }e^{-\lambda }{\frac {\lambda ^{k}}{k!}}x^{k}.}$$

一般

• と が独立である場合、差はスケラム分布に従います。${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$ ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$ ${\displaystyle Y=X_{1}-X_{2}}$
• とが独立である場合、を条件とするの分布は二項分布です。${\displaystyle X_{1}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{1})\,}$ ${\displaystyle X_{2}\sim \mathrm {Pois} (\lambda _{2})\,}$ ${\displaystyle X_{1}}$ ${\displaystyle X_{1}+X_{2}}$
  具体的には、の場合、${\displaystyle X_{1}+X_{2}=k,}$ ${\displaystyle X_{1}|X_{1}+X_{2}=k\sim \mathrm {Binom} (k,\lambda _{1}/(\lambda _{1}+\lambda _{2})).}$
  より一般的には、X ₁、X ₂、…、X _{n が}パラメータλ ₁、λ ₂、…、λ _nを持つ独立したポアソン確率変数である場合、
  が与えられれ、次の式が成り立ちます。実際には、${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}X_{j}=k,}$ ${\displaystyle X_{i}{\Big |}\sum _{j=1}^{n}X_{j}=k\sim \mathrm {Binom} \left(k,{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right).}$ ${\displaystyle \{X_{i}\}\sim \mathrm {Multinom} \left(k,\left\{{\frac {\lambda _{i}}{\sum _{j=1}^{n}\lambda _{j}}}\right\}\right).}$
• かつX = kを条件とする分布が二項分布である場合、Yの分布はポアソン分布に従います。実際、が条件となる場合、多項分布に従う場合、それぞれは独立したポアソン分布に従います。${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda )\,}$ ${\displaystyle Y}$ ${\displaystyle Y\mid (X=k)\sim \mathrm {Binom} (k,p),}$ ${\displaystyle Y\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p).}$ ${\displaystyle \{X=k\},}$ ${\displaystyle \{Y_{i}\}}$ ${\displaystyle \{Y_{i}\}\mid (X=k)\sim \mathrm {Multinom} \left(k,p_{i}\right),}$ ${\displaystyle Y_{i}}$ ${\displaystyle Y_{i}\sim \mathrm {Pois} (\lambda \cdot p_{i}),\rho (Y_{i},Y_{j})=0.}$
• ポアソン分布は、離散複合ポアソン分布（またはスタッターリングポアソン分布）の、パラメータのみを持つ特殊なケースです。 ^{[38] [39]}離散複合ポアソン分布は、単変量多項分布の極限分布から推定できます。これは複合ポアソン分布の特殊なケースでもあります
• λの値が十分に大きい場合（例えばλ > 1000）、平均λ、分散λ（標準偏差）の正規分布はポアソン分布の優れた近似値となります。λが約10より大きい場合、適切な連続性補正を行うと、つまりP ( X ≤ x ) （ xは非負の整数）をP( X ≤ x + 0.5)に置き換えると、正規分布は良好な近似値となります${\displaystyle {\sqrt {\lambda }}}$ $${\displaystyle F_{\mathrm {Poisson} }(x;\lambda )\approx F_{\mathrm {normal} }(x;\mu =\lambda ,\sigma ^{2}=\lambda )}$$
• 分散安定化変換：^{[8] : 168}かつ^{[40] : 196}の場合、この変換では、正規分布への収束（が増加するにつれて）は、変換されていない変数よりもはるかに速くなります。^[要出典]他にも、やや複雑な分散安定化変換が利用可能であり、^{[8] : 168}そのうちの1つはアンスコム変換です。^[41]変換のより一般的な用途については、「データ変換（統計）」を参照してください。${\displaystyle X\sim \mathrm {Pois} (\lambda ),}$ $${\displaystyle Y=2{\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}(2{\sqrt {\lambda }};1),}$$ $${\displaystyle Y={\sqrt {X}}\approx {\mathcal {N}}({\sqrt {\lambda }};1/4).}$$ ${\displaystyle \lambda }$
• すべてのt > 0について、時間間隔[0, t ]における到着数が平均λtのポアソン分布に従う場合、到着間隔のシーケンスは、平均1/ λを持つ独立かつ同一に分布する指数確率変数 です。^{[42] : 317–319}
• ポアソン分布とカイ2乗分布の累積分布関数は、次のように関連しています。^{[8] : 167}および^{[8] : 158} $${\displaystyle F_{\text{Poisson}}(k;\lambda )=1-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))\quad \quad {\text{ integer }}k,}$$ $${\displaystyle P(X=k)=F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2(k+1))-F_{\chi ^{2}}(2\lambda ;2k).}$$

ポアソン近似

と仮定すると、^[43]は条件付きで多項分布します。${\displaystyle X_{1}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{1}),X_{2}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{2}),\dots ,X_{n}\sim \operatorname {Pois} (\lambda _{n})}$ ${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}+\dots +\lambda _{n}=1,}$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})}$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Mult} (N,\lambda _{1},\lambda _{2},\dots ,\lambda _{n})}$ ${\displaystyle N=X_{1}+X_{2}+\dots X_{n}.}$

これは、^{[32] : 101-102}、とりわけ、任意の非負関数に対して、が 多項分布する 場合、${\displaystyle f(x_{1},x_{2},\dots ,x_{n}),}$ ${\displaystyle (Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})\sim \operatorname {Mult} (m,\mathbf {p} )}$ $${\displaystyle \operatorname {E} [f(Y_{1},Y_{2},\dots ,Y_{n})]\leq e{\sqrt {m}}\operatorname {E} [f(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})]}$$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})\sim \operatorname {Pois} (\mathbf {p} ).}$

がさらに単調増加または単調減少すると仮定する場合、の係数は2に置き換えることができます。 ${\displaystyle e{\sqrt {m}}}$ ${\displaystyle f}$

二変量ポアソン分布

この分布は二変量の場合に拡張されています。^[44]この分布の 母関数は$${\displaystyle g(u,v)=\exp[(\theta _{1}-\theta _{12})(u-1)+(\theta _{2}-\theta _{12})(v-1)+\theta _{12}(uv-1)]}$$ $${\displaystyle \theta _{1},\theta _{2}>\theta _{12}>0}$$

周辺分布はPoisson( θ ₁ )とPoisson( θ ₂ )であり、相関係数は範囲に制限されます $${\displaystyle 0\leq \rho \leq \min \left\{{\sqrt {\frac {\theta _{1}}{\theta _{2}}}},{\sqrt {\frac {\theta _{2}}{\theta _{1}}}}\right\}}$$

二変量ポアソン分布を生成する簡単な方法は、平均を持つ3つの独立したポアソン分布を取り、二変量ポアソン分布の確率関数は ${\displaystyle X_{1},X_{2}}$ ${\displaystyle Y_{1},Y_{2},Y_{3}}$ ${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2},\lambda _{3}}$ ${\displaystyle X_{1}=Y_{1}+Y_{3},X_{2}=Y_{2}+Y_{3}.}$ $${\displaystyle \Pr(X_{1}=k_{1},X_{2}=k_{2})=\exp \left(-\lambda _{1}-\lambda _{2}-\lambda _{3}\right){\frac {\lambda _{1}^{k_{1}}}{k_{1}!}}{\frac {\lambda _{2}^{k_{2}}}{k_{2}!}}\sum _{k=0}^{\min(k_{1},k_{2})}{\binom {k_{1}}{k}}{\binom {k_{2}}{k}}k!\left({\frac {\lambda _{3}}{\lambda _{1}\lambda _{2}}}\right)^{k}}$$

自由ポアソン分布

ジャンプサイズとジャンプ率を持つ自由ポアソン分布^[45]は、自由確率論において、 N → ∞ の繰り返し自由畳み込みの極限として生じます。 ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \lambda }$ $${\displaystyle \left(\left(1-{\frac {\lambda }{N}}\right)\delta _{0}+{\frac {\lambda }{N}}\delta _{\alpha }\right)^{\boxplus N}}$$

言い換えれば、確率で値を持ち、残りの確率で値0を持つような確率変数とします。また、族が自由に独立していると仮定します。すると、の法則の極限は、パラメータを持つ自由ポアソン法則によって与えられます。${\displaystyle X_{N}}$ ${\displaystyle X_{N}}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\textstyle {\frac {\lambda }{N}}}$ ${\displaystyle X_{1},X_{2},\ldots }$ ${\displaystyle N\to \infty }$ ${\displaystyle X_{1}+\cdots +X_{N}}$ ${\displaystyle \lambda ,\alpha .}$

この定義は、古典的なポアソン分布を（古典的な）ポアソン過程から得る方法の1つに類似しています。

自由ポアソン法則に関連する測度は^[46] で与えられ 、ここで 、およびは支持を持ちます。$${\displaystyle \mu ={\begin{cases}(1-\lambda )\delta _{0}+\nu ,&{\text{if }}0\leq \lambda \leq 1\\\nu ,&{\text{if }}\lambda >1,\end{cases}}}$$ $${\displaystyle \nu ={\frac {1}{2\pi \alpha t}}{\sqrt {4\lambda \alpha ^{2}-(t-\alpha (1+\lambda ))^{2}}}\,dt}$$ ${\displaystyle [\alpha (1-{\sqrt {\lambda }})^{2},\alpha (1+{\sqrt {\lambda }})^{2}].}$

この法則は、ランダム行列理論においてもマルチェンコ・パストゥールの法則として現れます。その自由キュムラントは${\displaystyle \kappa _{n}=\lambda \alpha ^{n}.}$

この法則のいくつかの変換

自由ポアソン法則のいくつかの重要な変換の値を示します。計算は、例えばA. NicaとR. Speicher著の『 Lectures on the Combinatorics of Free Probability 』 ^{[47]に記載されています。}

自由ポアソン法則のR変換は次のように与えられます。 $${\displaystyle R(z)={\frac {\lambda \alpha }{1-\alpha z}}.}$$

コーシー変換（スティルチェス変換の負）は 次のように与えられます。$${\displaystyle G(z)={\frac {z+\alpha -\lambda \alpha -{\sqrt {(z-\alpha (1+\lambda ))^{2}-4\lambda \alpha ^{2}}}}{2\alpha z}}}$$

S変換は、$${\displaystyle S(z)={\frac {1}{z+\lambda }}}$$ ${\displaystyle \alpha =1.}$

統計的推論

パラメータ推定

i = 1, ..., nのn個の測定値の標本が与えられたとき、標本が抽出されたポアソン分布の母数λの値を推定したいとします。最尤推定値は^{[48]です。}${\displaystyle k_{i}\in \{0,1,\dots \},}$

$${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }={\frac {1}{n}}\sum _{i=1}^{n}k_{i}\ .}$$

各観測値には期待値λがあるため、標本平均にも期待値λがあります。したがって、最尤推定値はλの不偏推定値です。また、その分散はクラメール・ラオ下限（CRLB）を満たすため、効率的な推定値でもあります。^[49]したがって、最小分散不偏です。また、和（そして、和の1対1関数である標本平均）はλの完全かつ十分な統計量であることが証明 できます

十分性を証明するために、因数分解定理を使用することができます。標本に対する結合ポアソン分布の確率質量関数を2つの部分に分割することを考えます。1つは標本のみに依存し、と呼ばれ、もう1つは関数を介してパラメータと標本のみに依存します。したがって、はλの十分な統計量です。${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle T(\mathbf {x} ).}$ ${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \lambda .}$

$${\displaystyle P(\mathbf {x} )=\prod _{i=1}^{n}{\frac {\lambda ^{x_{i}}e^{-\lambda }}{x_{i}!}}={\frac {1}{\prod _{i=1}^{n}x_{i}!}}\times \lambda ^{\sum _{i=1}^{n}x_{i}}e^{-n\lambda }}$$

最初の項はλのみに依存します。2番目の項はλのみに依存します。したがって、は十分です ${\displaystyle h(\mathbf {x} )}$ ${\displaystyle \mathbf {x} }$ ${\displaystyle g(T(\mathbf {x} )|\lambda )}$ ${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}x_{i}.}$ ${\displaystyle T(\mathbf {x} )}$

ポアソン分布の確率関数を最大化する パラメータλを求めるには、尤度関数の対数を使用します。

$${\displaystyle {\begin{aligned}\ell (\lambda )&=\ln \prod _{i=1}^{n}f(k_{i}\mid \lambda )\\&=\sum _{i=1}^{n}\ln \!\left({\frac {e^{-\lambda }\lambda ^{k_{i}}}{k_{i}!}}\right)\\&=-n\lambda +\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right)\ln(\lambda )-\sum _{i=1}^{n}\ln(k_{i}!).\end{aligned}}}$$

をλで微分し、ゼロと比較します。 ${\displaystyle \ell }$

$${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} \lambda }}\ell (\lambda )=0\iff -n+\left(\sum _{i=1}^{n}k_{i}\right){\frac {1}{\lambda }}=0.\!}$$

λについて解くと、停留点が得られます

$${\displaystyle \lambda ={\frac {\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{n}}}$$

したがって、λはk _i値の平均です。停留点におけるLの2次微分値の符号を求めることで、λがどのような極値であるかがわかります。

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-\lambda ^{-2}\sum _{i=1}^{n}k_{i}}$$

停留点における2次微分値を評価すると、次のようになります

$${\displaystyle {\frac {\partial ^{2}\ell }{\partial \lambda ^{2}}}=-{\frac {n^{2}}{\sum _{i=1}^{n}k_{i}}}}$$

これは、 k _iの平均の逆数のn倍の負数です。この式は、平均が正の場合に負になります。これが満たされる場合、停留点は確率関数を最大化します。

完全性について、分布族が完全であるとは、すべての に対してが成り立つ場合のみであると言われます。個体がiidである場合、 を調べたい分布がわかれば、統計量が完全であることは容易にわかります。 ${\displaystyle E(g(T))=0}$ ${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1}$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle X_{i}}$ ${\displaystyle \mathrm {Po} (\lambda ),}$ ${\textstyle T(\mathbf {x} )=\sum _{i=1}^{n}X_{i}\sim \mathrm {Po} (n\lambda ).}$

$${\displaystyle E(g(T))=\sum _{t=0}^{\infty }g(t){\frac {(n\lambda )^{t}e^{-n\lambda }}{t!}}=0}$$

この等式が成り立つためには、が0でなければなりません。これは、 の合計のすべてと のすべての可能な値に対して、他の項のどれも0にならないという事実から導かれます。したがって、すべての に対してが成り立ち、統計量が完全であることが示されています。 ${\displaystyle g(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle E(g(T))=0}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle P_{\lambda }(g(T)=0)=1,}$

信頼区間

ポアソン分布の平均の信頼区間は、ポアソン分布とカイ二乗分布の累積分布関数の関係を用いて表すことができます。カイ二乗分布自体はガンマ分布と密接に関連しており、別の表現が導き出されます。平均μのポアソン分布からの観測値kが与えられた場合、信頼水準1 - αのμの信頼区間は

$${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(\alpha /2;2k)\leq \mu \leq {\tfrac {1}{2}}\chi ^{2}(1-\alpha /2;2k+2),}$$

または同等に、

$${\displaystyle F^{-1}(\alpha /2;k,1)\leq \mu \leq F^{-1}(1-\alpha /2;k+1,1),}$$

ここで、は自由度nのカイ2乗分布の分位関数（下裾野面積pに対応）であり、は形状パラメータnと尺度パラメータ1を持つガンマ分布の分位関数です。^{[8] : 176-178  [50]}この区間は、その被覆確率が名目値の1 - αより小さくなることはないという意味で「正確」です。 ${\displaystyle \chi ^{2}(p;n)}$ ${\displaystyle F^{-1}(p;n,1)}$

ガンマ分布の分位数が利用できない場合、この正確な区間の正確な近似値が提案されています（ウィルソン・ヒルファティ変換に基づく）。^[51] ここで、は上裾野面積α / 2を持つ標準正規偏差を表します。 $${\displaystyle k\left(1-{\frac {1}{9k}}-{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k}}}}\right)^{3}\leq \mu \leq (k+1)\left(1-{\frac {1}{9(k+1)}}+{\frac {z_{\alpha /2}}{3{\sqrt {k+1}}}}\right)^{3},}$$ ${\displaystyle z_{\alpha /2}}$

これらの式を上記と同じ文脈（平均λのポアソン分布から抽出されたn個の測定値k _iのサンプルが与えられた場合）に適用するには、次のように設定する。

$${\displaystyle k=\sum _{i=1}^{n}k_{i},}$$ μ = nλ の区間を計算し、次にλの区間を導出せよ。

ベイズ推論

ベイズ推論では、 ポアソン分布の速度パラメータλの共役事前分布はガンマ分布である。^[52]

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} (\alpha ,\beta )}$$

λが、形状パラメータαと逆尺度パラメータβでパラメータ化されたガンマ密度 gに従って分布するものとする。

$${\displaystyle g(\lambda \mid \alpha ,\beta )={\frac {\beta ^{\alpha }}{\Gamma (\alpha )}}\;\lambda ^{\alpha -1}\;e^{-\beta \,\lambda }\qquad {\text{ for }}\lambda >0\,\!.}$$

そして、前と同じn個の測定値k _iのサンプルと、事前分布Gamma( α , β )が与えられると、事後分布は

$${\displaystyle \lambda \sim \mathrm {Gamma} {\left(\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i},\beta +n\right)}.}$$

事後平均は線形であり、 次のように与えられることに注意されたい。ガンマ分布は、条件付き平均の線形性を誘導する唯一の事前分布であることが示される。さらに、逆の結果が存在し、条件付き平均が距離において線形関数に近い場合、λの事前分布はレヴィ距離においてガンマ分布に近くなければならないという。^[53]$${\displaystyle E[\lambda \mid k_{1},\ldots ,k_{n}]={\frac {\alpha +\sum _{i=1}^{n}k_{i}}{\beta +n}}.}$$ ${\displaystyle L_{2}}$

事後平均E[ λ ]は、ガンマ分布の平均の一般的な表現から直ちに導かれる極限で最大尤度推定値に近づきます。 ${\displaystyle {\widehat {\lambda }}_{\mathrm {MLE} }}$ ${\displaystyle \alpha \to 0,\beta \to 0,}$

単一の追加観測値に対する事後予測分布は、負の二項分布[ ^{54]である。[ 53]は、}ガンマ・ポアソン分布と呼ばれることもある

複数のポアソン平均の同時推定

がポアソン分布の集合から得られた独立した確率変数の集合であり、それぞれがパラメータを持ち、これらのパラメータを推定したいとします。ClevensonとZidekは、正規化二乗誤差損失が のとき、正規平均に対するSteinの例と同様に、MLE推定量は許容されないことを示しています。^[55]${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle \lambda _{i},}$ ${\displaystyle i=1,\dots ,p,}$ ${\textstyle L(\lambda ,{\hat {\lambda }})=\sum _{i=1}^{p}\lambda _{i}^{-1}({\hat {\lambda }}_{i}-\lambda _{i})^{2},}$ ${\displaystyle p>1,}$ ${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=X_{i}}$

この場合、任意のおよびに対して、ミニマックス推定量の族が次のように与えられます。^[56]${\displaystyle 0<c\leq 2(p-1)}$ ${\displaystyle b\geq (p-2+p^{-1})}$ $${\displaystyle {\hat {\lambda }}_{i}=\left(1-{\frac {c}{b+\sum _{i=1}^{p}X_{i}}}\right)X_{i},\qquad i=1,\dots ,p.}$$

発生と応用

ポアソン分布のデータ（イベント数）を数えるためのいくつかの応用：^[57]

• 電気通信：システムに到着する電話の呼び出し
• 天文学：望遠鏡に到達する光子
• 化学：リビング重合のモル質量分布、^[58]
• 生物学：単位長さあたりのDNA鎖上の変異数
• 経営：カウンターまたはコールセンターに到着する顧客数^[59]
• 金融と保険：一定期間内に発生する損失または請求の数
• 地震学：大地震のリスクの漸近ポアソンモデル^[60]
• 放射能：放射性試料における所定の時間間隔での崩壊^[61]
• 光学：単一のレーザーパルスで放出される光子の数（量子鍵配送プロトコルの主要な脆弱性であり、光子数分裂として知られている）。

ポアソン過程としてモデル化できるイベントを数えるその他の例としては、以下のものがある。

• プロイセン騎兵隊の各軍団で毎年馬に蹴られて死亡した兵士の数。この例は、ラディスラウス・ボルトキエヴィチ（1868～1931年）の著書^{[12]で使用された。: 23-25}
• ギネスビールの醸造に使用される酵母細胞。この例は、ウィリアム・シーリー・ゴセット（1876～1937年）によって使用された。 ^{[62] [63]}
• 1分以内にコールセンターに着信する電話。この例はAKアーラン（1878–1929）によって記述されました。^[64]
• 2つのチームが競合するスポーツのゴール数、^[65]
• 特定の年齢層における年間死亡数、^[66]
• 特定の時間間隔における株価の急騰、
• ウェブサーバーへの1分間のアクセス回数（均質性の仮定に基づく）、
• 特定の量の放射線照射後の特定のDNA領域における変異、
• 特定の感染多重度で感染した細胞、
• 特定の量の液体中の細菌、^[67]
• 特定の期間にわたって特定の照度でピクセル回路に到達する光子、 ^[68]
• 第二次世界大戦中のロンドンへのV-1飛行爆弾の着弾。1946年にRDクラークによって調査されました。^[69]

確率的数論において、ギャラガーは1976年に、証明されていない素数r組予想の特定のバージョンが成り立つ場合、^{[70]短い区間における}素数 の数はポアソン分布に従うことを示しました。^[71]

稀事象の法則

n = 10（赤い円）、n = 20（青い円）、n = 1000 （緑の円）のポアソン分布（黒線）と二項分布の比較。すべての分布の平均は5です。横軸は事象数 kを示しています。nが大きくなるにつれて、ポアソン分布は同じ平均を持つ二項分布の近似値としてますます良くなります

事象の発生率は、ある小さな部分区間（時間、空間、またはその他の区間）で事象が発生する確率と関連しています。ポアソン分布の場合、事象が2回発生する確率が「無視できる」ほど小さい部分区間が存在すると仮定します。この仮定を用いると、区間全体における事象の総数の期待値のみの情報があれば、二項分布からポアソン分布を導くことができます。

区間全体における事象の総数を次のように表します。区間全体を等しい大きさの部分区間に分割します。（区間のごく一部にのみ関心があるため、この仮定は意味があります。）これは、 n個の部分区間のそれぞれにおける事象の期待値が次の式に等しいことを意味します${\displaystyle \lambda .}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle I_{1},\dots ,I_{n}}$ ${\displaystyle n>\lambda }$ ${\displaystyle \lambda /n.}$

ここで、区間全体におけるイベントの発生は、n回の ベルヌーイ試行のシーケンスとして見ることができると仮定します。ここで、n番目のベルヌーイ試行は、イベントが部分区間で確率で発生するかどうかを確認することに対応します。このような試行におけるイベントの総数の期待値は、区間全体におけるイベントの総数の期待値となります。したがって、区間の各細分について、イベントの発生を次の形式のベルヌーイ過程として近似します。前述のように、非常に小さな部分区間のみを考慮したいと考えています。したがって、無限大に近づくにつれて極限をとります。 ${\displaystyle i}$ ${\displaystyle I_{i}}$ ${\displaystyle \lambda /n.}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle \lambda ,}$ ${\displaystyle {\textrm {B}}(n,\lambda /n).}$ ${\displaystyle n}$

この場合、二項分布はポアソン極限定理によってポアソン分布として知られるものに収束します。

上記の例のいくつか（例えば、特定のDNA配列における突然変異の数）では、カウントされるイベントは実際には離散的な試行の結果であり、より正確には二項分布を用いてモデル化されます。 $${\displaystyle X\sim {\textrm {B}}(n,p).}$$

このような場合、 nは非常に大きく、pは非常に小さい（したがって、期待値npは中程度の大きさです）。そして、分布はより扱いにくいポアソン分布で近似することができます。 $${\displaystyle X\sim {\textrm {Pois}}(np).}$$

この近似は稀事象の法則と呼ばれることもある^{[72] 。}これは、n個の個々のベルヌーイ事象のそれぞれがまれにしか発生しない ためである

「稀事象の法則」という名前は誤解を招く可能性があります。なぜなら、パラメータnpが小さくない場合、ポアソン過程における成功イベントの総数は必ずしも稀である必要はないからです。例えば、1時間に話し中の交換台への電話の数はポアソン分布に従い、交換手にはイベントが頻繁に発生しますが、その時間にその交換台に電話をかける可能性が非常に低い平均的な人口メンバーの観点からは稀です

二項分布の分散はポアソン分布の分散の1 − p倍なので、 pが非常に小さい場合はほぼ等しくなります。

「法則」という言葉は確率分布の同義語として使われることもあり、法則における収束は分布における収束を意味します。したがって、ポアソン分布は、まれにしか起こらないが非常に多くの機会がある事象の発生回数の確率分布であるため、「小数の法則」と呼ばれることもあります。『小数の法則』は、1898年に出版されたラディスラウス・ボルトキエヴィチによるポアソン分布に関する著書です。^{[12] [73]}

ポアソン点過程

ポアソン分布は、ある有限領域に位置するポアソン点過程の点の数として生じます。より具体的には、 Dがユークリッド空間R ^dなどの領域空間であり、その面積、体積、またはより一般的にはルベーグ測度| D |が有限である場合、 N ( D )がD内の点の数を表すとすると、

$${\displaystyle P(N(D)=k)={\frac {(\lambda |D|)^{k}e^{-\lambda |D|}}{k!}}.}$$

ポアソン回帰と負の二項回帰

ポアソン回帰と負の二項回帰は、従属（応答）変数が区間内の事象または発生 回数（0、1、2、…）である分析に役立ちます。

生物学

ルリア・デルブリュックの実験は、ポアソン分布をもたらすはずのラマルク進化の仮説を検証しました

カッツとミレディは、アセチルコリン（ACh）の存在下と非存在下で膜電位を測定した。^[74] AChが存在する場合、膜上のイオンチャネルはわずかな時間だけランダムに開く。多数のイオンチャネルがそれぞれわずかな時間だけ開いているため、任意の瞬間に開いているイオンチャネルの総数はポアソン分布に従う。AChが存在しない場合は、実質的にイオンチャネルは開いていない。膜電位はである。ノイズの影響を差し引くと、カッツとミレディは膜電位の平均と分散がそれぞれとになることを発見し、を得た。（pp. 94-95 ^[75]） ${\displaystyle V=N_{\text{open}}V_{\text{ion}}+V_{0}+V_{\text{noise}}}$ ${\displaystyle 8.5\times 10^{-3}\;\mathrm {V} }$ ${\displaystyle (29.2\times 10^{-6}\;\mathrm {V} )^{2}}$ ${\displaystyle V_{\text{ion}}=10^{-7}\;\mathrm {V} }$

細胞複製イベントごとに、突然変異の数はおおよそポアソン分布します。^[76]例えば、HIVウイルスは10,000塩基対を持ち、突然変異率は30,000塩基対あたり約1です。つまり、複製イベントあたりの突然変異数は次のように分布します。(p. 64 ^[75] ) ${\displaystyle \mathrm {Pois} (1/3)}$

科学におけるその他の応用

ポアソン過程において、観測される発生数は平均λを中心に標準偏差 で変動します。これらの変動はポアソンノイズ、または（特に電子工学では）ショット ノイズと呼ばれます${\displaystyle \sigma _{k}={\sqrt {\lambda }}.}$

独立した離散的な発生を数える際、平均値と標準偏差の相関関係は科学的に有用である。変動が平均信号に対してどのように変化するかを観察することで、たとえその寄与が直接検出するには小さすぎるとしても、単一の発生の寄与を推定することができる。例えば、電子の電荷eは、電流の大きさとそのショットノイズを相関させることで推定できる。平均して、与えられた時間tにN個の電子が1点を通過する場合、平均電流はとなる。電流の変動は（すなわち、ポアソン過程の標準偏差）のオーダーであるはずなので、電荷は比^{[要出典]から推定できる。} ${\displaystyle I=eN/t}$ ${\displaystyle \sigma _{I}=e{\sqrt {N}}/t}$ ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle t\sigma _{I}^{2}/I.}$

日常的な例としては、写真を拡大したときに現れる粒状感が挙げられる。この粒状感は、縮小された銀粒子の数のポアソン分布によるものであり、個々の粒子自体によるものではない。粒状感と拡大率を相関させることで、個々の粒子（肉眼では見えないほど小さい）の寄与を推定することができる。^[要出典]

因果集合論では、時空の離散要素は体積内でポアソン分布に従います。

ポアソン分布は量子力学、特に量子光学にも現れます。つまり、コヒーレント状態にある量子調和振動子系の場合、特定のエネルギー準位を測定する確率はポアソン分布に従います。

計算方法

ポアソン分布は、専用のソフトウェアライブラリに2つの異なるタスクを課します。分布を評価することと、その分布に従って 乱数を抽出することです。${\displaystyle P(k;\lambda )}$

ポアソン分布の評価

与えられたとを計算することは、指数関数、べき乗関数、階乗関数を用いた標準的な定義を用いることで達成できる簡単な作業です。しかし、ポアソン分布の従来の定義には、コンピュータ上で容易にオーバーフローする可能性のある2つの項、 λ ^kとk !が含まれています。λ kの^k !に対する割合も、 e ⁻ λと比較して非常に大きな丸め誤差を生じさせる可能性があり、したがって誤った結果をもたらします。数値安定性のために、ポアソン確率質量関数は次のように評価されるべきであり、 ^これ は数学的には同値ですが数値的には安定しています。ガンマ関数の自然対数は、 C標準ライブラリ（C99版）またはRの関数、MATLABまたはSciPyの関数、またはFortran 2008以降 の関数を使用して取得できます。${\displaystyle P(k;\lambda )}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda }$ ${\displaystyle P(k;\lambda )}$ $${\displaystyle \!f(k;\lambda )=\exp \left[k\ln \lambda -\lambda -\ln \Gamma (k+1)\right],}$$ lgammagammalnlog_gamma

一部のコンピューティング言語には、ポアソン分布を評価するための組み込み関数が用意されています

• R：関数dpois(x, lambda)
• Excel：関数POISSON( x, mean, cumulative)（累積分布を指定するフラグ付き）
• Mathematica：単変量ポアソン分布、^[77]二変量ポアソン分布、^[78]PoissonDistribution[${\displaystyle \lambda }$ ]MultivariatePoissonDistribution[${\displaystyle \theta _{12},}$ { ${\displaystyle \theta _{1}-\theta _{12},}$ ${\displaystyle \theta _{2}-\theta _{12}}$ }]

ランダム変量生成

より簡単な作業は、与えられたポアソン分布から整数ランダム変量を抽出することです。${\displaystyle \lambda .}$

解は以下によって提供されます。

• R：関数rpois(n, lambda)
• GNU Scientific Library (GSL)：関数 gsl_ran_poisson

ランダムなポアソン分布の数（擬似乱数サンプリング）を生成するための簡単なアルゴリズムは、 Knuthによって与えられている：^{[79] ：137-138}

 ポアソン乱数アルゴリズム（Knuth） ：
    初期値：
         L ← e − λ、k ← 0、p ← 1と
    する。以下を実行する：
        k ← k + 1とする。
        [0,1]の範囲で一様乱数uを生成し、p ← p × u
    とする。p > L
    の場合、 k − 1
を返す。

計算量は返される値kに線形で、平均するとλとなる。これを改善するアルゴリズムは他にも多数存在する。いくつかはAhrens & Dieterで示されている。以下の§参考文献を参照。

λの値が大きい場合、 L = e ^{− λ}の値が小さすぎて表現が困難になる可能性がある。これは、 e ^−STEPがアンダーフローしないように、追加のパラメータSTEPを使用するアルゴリズムを変更することで解決できる。 ^[要出典]

ポアソン乱数アルゴリズム （Junhao、Knuthに基づく）：
    初期値：
         λ ← λ、k ← 0、p ← 1
    とする。以下を 実行する：
        k ← k + 1とする。
        (0,1)において一様乱数uを生成し、 p ← p × uとする。p
         < 1かつλ Left > 0
            の場合： λ Left > STEPの場合： 
                p ← p × e STEP 
                λ Left ← λ Left − STEP
            それ以外の場合：
                p ← p × e λ Left 
                λ Left ← 0、
     p > 1
    の場合： k − 1
を返す。

STEPの選択はオーバーフローの閾値に依存する。倍精度浮動小数点形式の場合、閾値はe = ^{700付近なので、500が安全な}STEPとなる。

λの値が大きい場合の他の解決策としては、棄却サンプリングとガウス近似の使用が 挙げられる。

逆変換サンプリングは、 λの値が小さい場合、単純かつ効率的であり、サンプルごとに1つの一様乱数uのみを必要とする。u を超えるまで、累積確率が順番に調べられる

アルゴリズム 逐次探索による逆問題に基づくポアソン分布生成器: [80] : 505 
    初期値:
         x ← 0、p ← e − λ、s ← p とする。
        [0,1] の範囲で一様乱数 u を生成する。
    u > sの間、以下を実行する
        x ← x + 1
        p ← p × λ / x
        s ← s + p
    x
を返す<​​extra_id_1> 参照

二項分布

• 二項分布
• コンウェイ・マクスウェル・ポアソン分布
• アーラン分布
• 指数分布
• ガンマ分布
• エルミート分布
• 分散指数
• 負の二項分布
• ポアソン凝集
• ポアソン点過程
• ポアソン点過程
• ポアソンサンプリング
• ポアソンウェーブレット
• 待ち行列理論
• 再生理論
• ロビンズの補題
• スケラム分布
• トゥイーディー分布
• ゼロインフレーションモデル
• ゼロ切断ポアソン分布
• 参考文献

引用文献

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    1ページで、ボルトキエヴィッチはポアソン分布を示しています。

    23–25ページで、ボルトキエヴィッチは「4. 例：プロイセン軍で馬に蹴られて死亡した人々」の分析を示しています。[4. 例：プロイセン軍で馬に蹴られて死亡した人々]

13. 証明については、Proof wiki: 期待値とProof wiki: 分散を参照してください。
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