ポリア予想

n  = 10 ⁷までのリウヴィル関数L ( n ) の総括。（反証された）予想によれば、この関数は常に負である。容易に観察できる振動は、リーマンゼータ関数の最初の非自明な零点に起因する。

ポリア予想が成り立たない領域における総括リウヴィル関数L ( n ) のクローズアップ。

n  = 2 × 10 ⁹までのリウヴィル関数L ( n ) の負の対数グラフ。緑のスパイクは、予想が成り立たない狭い領域における関数そのもの（負の値ではない）を示している。青い曲線は、第一リーマン零点の振動寄与を示している。

数論において、ポリア予想（ポリアの予想）は、任意の数より小さい自然数 の「ほとんど」（すなわち、50%以上）は奇数の素因数を持つというものである。この予想はハンガリーの数学者ジョージ・ポリアによって1919年に提唱され、^{[1] 1958年に}C・ブライアン・ヘイゼルグローブによって誤りであることが証明された。数学者はこの主張を一般にポリア予想と呼ぶが、ポリアは実際にこの主張が正しいと予想したわけではなく、むしろこの主張が正しいならばリーマン予想が導かれることを示した。このため、より正確には「ポリアの問題」と呼ばれる。

最小の反例の大きさは、多くの場合、ある推測が正しいとしても、一般には成り立たないという事実を示すためによく使用され、^[2]強い少数法則の例証となります。

声明

ポリア予想は、任意の に対して、より小さいか等しい自然数（0を除く）を奇数の素因数を持つものと偶数の素因数を持つものに分割した場合、前者の集合は後者の集合と少なくとも同数の要素を持つ、というものである。重複する素因数は、繰り返して数えられる。例えば、18 = 2 × 3 × 3 は素因数が奇数であるのに対し、60 = 2 × 2 × 3 × 5 は素因数が偶数である。 ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle n}$

同様に、これは総括リウヴィル関数を用いて次のように述べることもできる。

${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0}$

すべての に対して成り立ちます。ここではの素因数の総数を数えます。したがって、 の素因数の数が偶数の場合 は正、奇数の場合 は負になります。 ${\displaystyle n>1}$ ${\displaystyle \lambda (k)=(-1)^{\Omega (k)}}$ ${\displaystyle \Omega (k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \lambda (k)}$ ${\displaystyle k}$

反証

ポリア予想は1958年にC.ブライアン・ヘイゼルグローブによって反証されました。彼はこの予想には反例があることを示し、その数は約1.845×10の³⁶¹乗であると推定しました。^[3]

1960年にR.シャーマン・レーマンによってn = 906,180,359という（はるかに小さい）明示的な反例が示されました。^[4]最小の反例はn = 906,150,257で、1980年に田中実によって発見されました。^[5]

この予想は、906,150,257 ≤ n ≤ 906,488,079の領域におけるnのほとんどの値に対しては成立しません。この領域では、総和リウヴィル関数はn = 906,316,571 で最大値 829 に達します。

参考文献

1. Pólya、G. (1919)。 「Verschiedene Bemerkungen zur Zahlentheorie」。Jahresbericht der Deutschen Mathematikar-Vereinigung (ドイツ語)。28 : 31–40。JFM 47.0882.06 。 ​
2. スタイン、シャーマン・K. (2010). 『数学：人工宇宙』 クーリエ・ドーバー出版. p. 483. ISBN 9780486404509。。
3. Haselgrove, CB (1958). 「ポリア予想の反証」. Mathematika . 5 (2): 141– 145. doi :10.1112/S0025579300001480. ISSN  0025-5793. MR  0104638. Zbl  0085.27102.
4. Lehman, RS (1960). 「リウヴィル関数について」.計算数学. 14 (72): 311– 320. doi : 10.1090/S0025-5718-1960-0120198-5 . JSTOR  2003890. MR  0120198.
5. 田中正治 (1980). 「リウヴィル関数の累積和に関する数値的考察」東京数学ジャーナル. 3 (1): 187– 189. doi : 10.3836/tjm/1270216093 . MR  0584557.

外部リンク

• ワイスタイン、エリック・W.「ポーリャ予想」。マスワールド。