多色対称性

色群p3の3色対称操作[3] ₁

多色対称性は、3色以上の色を対称的なパターンで入れ替える色対称性です。これは二色対称性の自然な拡張です。色対称群は、位置座標（2次元ではxとy 、3次元ではx、y、z）に、3つ以上の値（色）をとる追加の座標kを追加することで導き出されます。^[1]

多色対称性の応用例としては、三重項状態（つまり電子スピンの大きさが1）にある分子またはイオンを含む物質の結晶が挙げられます。これらのグループのスピンが局所磁場に対して+1、0、-1の投影を持つ構造をとることがあります。これらの3つのケースが等頻度で規則的に配列している場合、そのような結晶の磁気空間群は3色であるはずです。^{[2] [3]}

例

グループp3には、順序 3 (120°) の 3 つの異なる回転中心がありますが、反射やすべり反射はありません。

無色および3色のp3パターン^{[4] ：415}

無彩色パターンp3	3色パターンp3 [3] 1	3色パターンp3 [3] 2

p3パターンを3色で着色する方法には、p3 [3] ₁とp3 [3] ₂の2種類があります。ここで、角括弧内の数字は色の数を示し、下付き文字は複数の色付きパターンのケースを区別します。^[5]

パターンp3 [3] ₁の単一のモチーフを取り上げると、アニメーションに示すように、120°回転と白、緑、赤の3色の循環的な順列からなる対称操作3'が実行されます。

このパターンp3 [3] _{1は、MCエッシャーの「}動物による六角形のモザイク模様：爬虫類による平面の規則的な分割の研究」 （1939年）と同じ色彩対称性を持っています。エッシャーはこのデザインを1943年のリトグラフ「爬虫類」に再利用し、モット・ザ・フープルのデビューアルバムのジャケットにも使用されました。

4色、6色、7色、9色、12色のp3パターン

4色p3 [4] [6] : 287 4.03.01	6色p3 [6]	7色p3 [7]	9色p3 [9] 1	12色p3 [12] 1

群論

Wittke と Garrido (1959) ^[7]および Niggli と Wondratschek (1960) ^[8]による初期の研究では、物体の色群と物体の幾何学的対称群の部分群との関係が特定されました。1961 年にvan der WaerdenとBurckhardt ^[9]は、この初期の研究を基にして、色群は次のように定義できることを示しました。パターン (または物体) の色群において、その幾何学的対称操作sのそれぞれは、 k色の順列σと関連付けられており、すべてのペア ( s , σ ) がグループを形成します。Senechalは、この順列は無色のパターンの幾何学的対称群Gの部分群によって決定されることを示しました。 ^[10] Gの各対称操作が一意の色順列と関連付けられている場合、そのパターンは完全に色付けされていると言われます。^{[11] [12]}

ヴァーデン・ブルクハルト理論は、k色群G ( H )は対称群Gの指数kの部分群Hによって決定されると定義する。^[13]部分群Hが正規部分群である場合、商群G / Hはすべての色を置換する。^[14]

歴史

• 1956年ベロフと彼の同僚は、二色対称群ではなく多色対称群に関する最初の論文を発表しました。 ^{[15] [16] [17] [18] [19] [20]} ヴァインシュタインとコプツィク（1994）はロシアの研究を要約しています。^[21]
• 1957年、マッケイはロシア語の作品の最初のレビューを英語で出版しました。^[22]その後のレビューは、コプツィク（1968年）、^[23] シュヴァルツェンベルガー（1984年）、^[24]グリュンバウムとシェパードの『タイルとパターン』（1987年）、^[4]セネシャル（1990年）^{[10] 、トーマス（2012年）によって出版さ}れました。^[25]
• 1950年代後半、M.C.エッシャーの二色および多色のパターンに基づいた作品は、科学者の間で色の対称性を普及させました。^{[26] [27]}
• 1961年、ファン・デル・ワールデンとブルクハルトは、色数や次元数に関係なく、群論の観点から色の対称性を明確に定義しました。 ^[9]
• 1964年シュブニコフとベロフの『Colored Symmetry』の英訳初版出版^[28]
• 1971年ロエブ著『色と対称性』の中で、回転中心を用いた2次元色対称構成の導出。^[29]
• 1974年、シュブニコフとコプツィクが多色対称性を広範囲に扱った『科学と芸術における対称性』を出版。 ^[30]
• 1983年、セネシャルは群論を用いて多面体を対称的に彩色する問題を考察した。^{[13] [31]}クロムウェルは後にアルゴリズム的計数アプローチを用いた（1997年）。^[32]
• 1988年、ウォッシュバーンとクロウは、文化的なパターンや物体に色の対称性分析を適用しました。^[33]ウォッシュバーンとクロウは、マコビッキーなどによるさらなる研究に影響を与えました。^[34]
• 1997年、リフシッツは色対称性の理論を周期結晶から準周期結晶に拡張した。^[35]
• 2008年、コンウェイ、バーギエル、グッドマン＝ストラウスは、オービフォールドに基づく新しい表記法を使用して、色付き物体の色を保存する対称性を記述した「The Symmetries of Things」を出版した。^[36]

色グループの数

帯状（フリーズ）k色グループの数（ k ≤ 12 ^{）[4] [6]}

	色の数（k）
基礎 グループ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
111ページ	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
p1a1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1	1
p1m1	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3
午後11時	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
112ページ	2	1	2	1	2	1	2	1	2	1	2
pma2	3	1	3	1	3	1	3	1	3	1	3
pmm2	5	1	7	1	5	1	7	1	5	1	7
ストリップ グループの合計	17	7	19	7	17	7	19	7	17	7	19

k≤12の周期的（平面）k色群の数^{[4] [6] [37]}

	色の数（k）
基礎 グループ	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12
1ページ目	1	1	2	1	1	1	2	2	1	1	2
ページ	2	2	4	2	5	2	7	3	6	2	11
午後	5	2	10	2	11	2	16	3	12	2	23
cm	3	2	7	2	7	2	13	3	8	2	17
2ページ目	2	1	3	1	2	1	4	2	2	1	3
pgg	2	1	4	1	4	1	7	2	5	1	9
午後	5	2	11	2	11	2	19	3	12	2	26
午後	5	1	13	1	9	1	21	2	10	1	25
cmm	5	1	11	1	8	1	21	2	9	1	22
3ページ目	-	2	1	-	1	1	-	3	-	-	4
p31m	1	2	1	-	5	-	1	3	-	-	7
p3m1	1	2	1	-	4	-	1	3	-	-	7
4ページ目	2	-	5	1	2	-	9	1	4	-	9
p4g	3	-	7	-	2	-	13	1	3	-	10
p4m	5	-	13	-	2	-	28	1	3	-	16
6ページ	1	2	1	-	5	1	1	3	-	-	8
p6m	3	2	2	-	11	-	3	3	-	-	20
周期 群の合計	46	23	96	14	90	15	166	40	75	13	219

上記の例のセクションには、 3 色p3パターンの両方、固有の 4 色、6 色、7 色p3パターン、3 つの 9 色p3パターンのうちの 1 つ、および 4 つの 12 色p3パターンのうちの 1 つが示されています。

参考文献

1. Bradley, CJ and Cracknell, AP (2010). 『固体における対称性の数学的理論：点群と空間群の表現理論』 Clarendon Press, Oxford, 677–681, ISBN 9780199582587
2. Harker, D. (1981).三色三次元空間群, Acta Crystallogr., A37 , 286-292, doi :10.1107/s0567739481000697
3. Mainzer, K. (1996). Symmetries of nature: a handbook for philosophy of nature and science , de Gruyter, Berlin, 162-168, ISBN 9783110129908
4. Grünbaum, B. and Shephard, GC (1987). Tilings and Patterns , WH Freeman, New York, ISBN 9780716711933
5. Hann, MAとThomas, BG (2007).白黒を超えて：3色反転パターンに関するノート, J. Textile Inst., 98 (6), 539-547, doi :10.1080/00405000701502446
6. Wieting, TW (1982).色彩平面装飾の数学的理論, Marcel Dekker, New York, ISBN 9780824715175
7. Wittke O. および Garrido J. (1959)。Symétrie des Polyèdres Polychromatiques、雄牛。社会フランセーズ・ド・ミネラル。 ｅｔ ｄｅ Ｃｒｉｓｔ．、８２（７−９）、２２３−２３０；土井：10.3406/bulmi.1959.5332
8. Niggli, A. および Wondratschek, H. (1960)。Eine Verallgemeinerung der Punktgruppen。 I. Die einfachen Kryptosymmetrien、Z. Krist.、114 (1-6)、215-231 doi :10.1524/zkri.1960.114.16.215
9. van der Waerden、BL および Burkhardt、JJ (1961)。Farbgruppen、Z. Krist、115、231-234、doi :10.1524/zkri.1961.115.3-4.231
10. Senechal, M. (1990).幾何結晶学,結晶学史地図集, Lima-de-Faria, J.編, Kluwer, Dordrecht, 52-53, ISBN 9780792306498
11. Senechal, M. (1988).色の対称性, Comput. Math. Applic., 16 (5-8), 545-553, doi :10.1016/0898-1221(88)90244-1
12. セネシャル、M. (1990).結晶対称性：非公式な数学入門, アダム・ヒルガー, ブリストル, 74-87, ISBN 9780750300414
13. Senechal, M. (1983).色の対称性と有色多面体, Acta Crystallogr., A39 , 505-511, doi :10.1107/s0108767383000987
14. Coxeter, HSM (1987).色対称性の簡単な入門, Int. J. Quantum Chemistry, 31 , 455-461, doi :10.1002/qua.560310317
15. Belov, NVとTarkhova, TN (1956).色対称群, Sov. Phys. Cryst. , 1 (1), 5-11
16. Belov, NVとTarkhova, TN (1956).色対称群, Sov. Phys. Cryst., 1 (6), 487-488
17. Belov, NV (1956).中世のムーア様式と対称群, Sov. Phys. Cryst., 1 (5), 482-483
18. Belov, NV (1956).色彩対称性を持つ三次元モザイク, Sov. Phys. Cryst., 1 (6), 489-492
19. Belov, NVおよびBelova, EN (1956). 46平面（シュブニコフ）反対称群および15色（フェドロフ）色群のモザイク, Sov. Phys. Cryst., 2 (1), 16-18
20. Belov, NV, Belova, EN and Tarkhova, TN (1959).色対称群についての詳細, Sov. Phys. Cryst., 3 , 625-626
21. Vainshtein, BK and Koptsik, VA (1994).現代結晶学. 第1巻. 結晶の基礎：対称性と構造結晶学の方法. Springer, Berlin, 158-179, ISBN 9783540565581
22. Mackay, AL (1957).空間群理論の拡張, Acta Crystallogr. 10 , 543-548, doi :10.1107/s0365110x57001966
23. Koptsik, VA (1968).対称性理論の発展と過去50年間の物理結晶学への応用に関する概略, Sov. Phys. Cryst., 12 (5), 667-683
24. Schwarzenberger, RLE (1984).色の対称性, Bull. London Math. Soc., 16 , 209-240, doi :10.1112/blms/16.3.209, doi :10.1112/blms/16.3.216, doi :10.1112/blms/16.3.229
25. Thomas, BG (2012). 「色の対称性：パターンとタイリングの体系的な配色」『カラーデザイン』ベスト, J. 編, Woodhead Publishing, 381-432, ISBN 9780081016480
26. MacGillavry, CH (1976). MC Escherの周期表における対称性について, 国際結晶学連合, ユトレヒト, ISBN 9789031301843
27. Schnattschneider、D. (2004)。MC エッシャー: 対称性のビジョン、ハリー。 N. エイブラムス、ニューヨーク、ISBN 9780810943087
28. シュブニコフ、AV、ベロフ、ネバダ州ほか。アル。 （1964年）。色の対称性、編。 WT ホルサー、ペルガモン、ニューヨーク
29. Loeb, AL (1971). Color and Symmetry , Wiley, New York, ISBN 9780471543350
30. Shubnikov, AV and Koptsik, VA (1974). Symmetry in science and art , Plenum Press, New York, ISBN 9780306307591（原著はロシア語で、モスクワのNauka社から1972年に出版された）
31. Senechal, M. (1983).対称的な物体の対称的な彩色, Math. Magazine, 56 (1), 3-16, doi :10.2307/2690259
32. クロムウェル、PR（1997年）『多面体』ケンブリッジ大学出版局、327-348ページ、 ISBN 9780521554329
33. Washburn, DK and Crowe, DW (1988). Symmetries of Culture: Theory and Practice of Plane Pattern Analysis , Washington University Press, Seattle, ISBN 9780295970844
34. Makovicky, E. (2016).『巨匠たちの目を通して見る対称性』 de Gruyter, ベルリン, 133-147, ISBN 9783110417050
35. Lifshitz, R. (1997).周期的および準周期的結晶の色対称性の理論, Rev. Mod. Phys., 69 (4), 1181–1218, doi :10.1103/RevModPhys.69.1181
36. Conway, JH, Burgeil, H. and Goodman-Strauss, C. (2008). The symmetries of things , AK Peters, Wellesley, MA, ISBN 9781568812205
37. Jarratt, JD and Schwarzenberger, RLE (1980). Coloured plane groups , Acta Crystallogr., A36 , 884-888, doi :10.1107/S0567739480001866

さらに読む

• Senechal, M. (1975).点群と色対称性, Z. Krist., 142 , 1-23, doi :10.1524/zkri.1975.142.16.1
• ロックウッド, EHとマクミラン, RH (1978).幾何学的対称性 , ケンブリッジ大学出版局, ケンブリッジ, 67-70 & 206-208, ISBN 9780521216852
• Senechal, M. (1979).色群, 離散応用数学, 1 , 51-73, doi :10.1016/0166-218X(79)90014-3
• セネシャル, M. (1988).代数的エッシャー, 構造位相学, 15 , 31-42