多面体群

3次元で選択された点群

反転対称性C s、 (*) [ ] =	周期対称性C nv , (*nn) [n] =	二面対称性D nh , (*n22) [n,2] =
多面体群, [n,3], (*n32)
四面体対称性T d、 (*332) [3,3] =	八面体対称性O h、 (*432) [4,3] =	正20面体対称性I h、 (*532) [5,3] =

幾何学において、多面体群はプラトン立体の対称群である。

グループ

多面体グループは 3 つあります。

• 正四面体の回転対称群で_ある、位数12の四面体群。A 4と同型である。
  • T の 共役類は次のとおりです。
    • 身元
    • 4 × 120°回転、順序3、時計回り
    • 4 × 120°回転、順序3、反時計回り
    • 3 × 180°回転、順序2
• 位数24の正八面体群。_立方体と正八面体の回転対称群。S 4と同型である。
  • O の共役類は次のとおりです。
    • 身元
    • 頂点の周りを±90°回転（6回）、順序4
    • 三角形の中心を中心として±120°回転（8回）、順序3
    • 頂点の周りを180°回転（3回）、順序2
    • 6 × 辺の中点を中心として180°回転、順序2
• 正十二面体と正二十面体の回転対称群である_、位数60の二十面体群。A 5と同型である。
  • I の共役類は次のとおりです。
    • 身元
    • 12 × ±72°回転、5次
    • 12 × ±144°回転、5次
    • 20 × ±120°回転、3次
    • 15 × 180°回転、順序2

これらの対称性は、完全鏡映群ではそれぞれ24、48、120倍になります。鏡映対称性にはそれぞれ6、9、15の鏡像があります。八面体対称性[4,3]は、6つの四面体対称性[3,3]の鏡像と、3つの二面体対称性Dih ₂ [2,2]の鏡像の和集合と見ることができます。黄鉛体対称性は、四面体対称性の別の倍加です。

完全な四面体対称性の共役類T _d ≅ S ₄は次の通りである。

• 身元
• 8 × 120°回転
• 3 × 180°回転
• 2つの回転軸を通る平面での6×反射
• 6 × 90°回転反射

ピリトヘドロン対称性の共役類 T _hには、T の 4 つの類が組み合わされ、それぞれが反転した類が含まれます。

• 身元
• 8 × 120°回転
• 3 × 180°回転
• 反転
• 8 × 60°のローター反射
• 平面での3×反射

完全な八面体群O _h ≅ S ₄ × C ₂の共役類は次の通りである。

• 反転
• 6 × 90°回転反射
• 8 × 60°のローター反射
• 4回軸に垂直な平面での3回反射
• 2回軸に垂直な平面での6回の反射

完全な二十面体対称性の共役類I _h ≅ A ₅ × C ₂には反転を伴うものも含まれる。

• 反転
• 12 × ローター反射 108°、次数 10
• 12 × ローター反射 36°、次数 10
• 20 × 60°回転反射、次数6
• 15 × 反射、次数2

キラル多面体群

キラル多面体群

名前（オーブ）	コクセター記法	注文	抽象構造	回転点#価数	図表
					直交	ステレオグラフィック
T (332)	[3,3] ^+	12	A4​	4 3 3 2
T h (3*2)	[4,3 ^+ ]	24	A 4 × C 2	4 3 3 *2
お(432)	[4,3] ^+	24	S4​	3 4 4 3 6 2
私（532）	[5,3] ^+	60	A5​	6 5 10 3 15 2

完全多面体群

完全多面体群

ウェイル・ショー。（オーブ）	コクセター記法	注文	抽象構造	コクセター数（h）	ミラー（m）	ミラー図
						直交	ステレオグラフィック
A 3 T d (*332)	[3,3]	24	S4​	4	6
B 3 O h (*432)	[4,3]	48	S 4 × C 2	8	3>6
H 3 I h (*532)	[5,3]	120	A 5 × C 2	10	15

参照

• ウィトフ記号
• 球対称群の一覧

参考文献

• コクセター『HSM正多面体』第3版、ニューヨーク：ドーバー、1973年。（多面体群§3.5、46～47頁）

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「多面体グループ」。マスワールド。