多項式行列

数学において、多項式行列（たにほうしんか、たにほうしんか）または多項式行列（たにほうしんか）とは、その要素が単変数または多変数の多項式である行列のことである。同様に、多項式行列とは、係数が行列である多項式のことである。

次数 の一変数多項式行列 は次のように定義されます: ^[1] ここでは定数係数行列、 は非ゼロです。3×3 多項式行列の例、次数 2: これは、環Rに対して、環と が 同型 である と言うことで表すことができます。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle n}$ $${\displaystyle A(x)=\sum _{i=0}^{n}A_{i}x^{i}=A_{0}+A_{1}x+A_{2}x^{2}+\cdots +A_{n}x^{n},}$$ ${\displaystyle A_{i}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ $${\displaystyle A(x)={\begin{pmatrix}1&x^{2}&x\\0&2x&2\\3x+2&x^{2}-1&0\end{pmatrix}}={\begin{pmatrix}1&0&0\\0&0&2\\2&-1&0\end{pmatrix}}+{\begin{pmatrix}0&0&1\\0&2&0\\3&0&0\end{pmatrix}}x+{\begin{pmatrix}0&1&0\\0&0&0\\0&1&0\end{pmatrix}}x^{2}.}$$ ${\displaystyle M_{n}(R[X])}$ ${\displaystyle (M_{n}(R))[X]}$

プロパティ

• 体上の多項式行列で、行列式がその体の非零元に等しいものはユニモジュラ多項式行列と呼ばれ、その逆行列も多項式行列となります。スカラーユニモジュラ多項式は、次数0から非零定数までの多項式のみであることに注意してください。これは、任意の高次多項式の逆行列が有理関数となるためです。
• 複素数上の多項式行列の根は、複素平面上で行列の階数が下がる点です。

多項式行列を単項式行列と混同しないように注意してください。単項式行列は、各行と各列に 1 つの非ゼロ要素を持つ単純な行列です。

λ を行列を構成する体の任意の元、 Iを単位行列、A を多項式行列とすると、行列 λ I  −  Aは行列Aの特性行列である。その行列式 |λ I  −  A | は行列 Aの特性多項式である。

注記

1. ガントマッカー 1959年、130ページ。

参考文献

• ガントマッカー、フェリクス・ルヴィモビッチ (1959). 『行列理論 第1巻』. プロビデンス、ロードアイランド州: チェルシー出版会社. ISBN 978-0-8218-1393-5。
• Krishnamurthy, EV (1985).エラーフリー多項式行列計算. Springer. doi :10.1007/978-1-4612-5118-7. ISBN 978-1-4612-9572-3. OCLC  858879932。