多項式行列スペクトル分解

多項式行列スペクトル分解、あるいは行列フェイエル・リース定理は、多項式行列の行列分解を研究するためのツールです。多項式行列はシステム理論や制御理論の分野で広く研究されており、安定多項式に関連する他の用途も見受けられます。安定性理論においては、スペクトル分解は二変数安定多項式や実零多項式の行列式表現を求めるために用いられてきました。^[1]

すべての に対して正の実三角関数多項式 が与えられると、フェイエル・リースの定理はのスペクトル分解（またはウィーナー・ホップ分解）と呼ばれる因数分解をもたらします。^{[2]この形式の結果は一般に}Positivstellensatzと呼ばれます。 ${\displaystyle p(t)>0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle p(t)=q(t){\bar {q}}(t)}$ ${\displaystyle p(t)}$

同様に、多項式行列スペクトル分解は、正定値多項式行列の分解を提供する。この分解は、スカラー行列のコレスキー分解にも関連している。この結果は、ノーバート・ウィーナーによって、積分可能な対数行列式も持つ積分可能な行列値関数を扱う、より一般的な文脈において最初に証明された。^[3]応用では多項式制約がしばしば考慮されるため、このケースに焦点を当てたより単純な証明と個別の解析が存在する。^[4]より弱い正定値条件、特に多項式行列が実数の半代数的部分集合上に正定値像を持つ場合について研究されている。^[5]${\displaystyle A=LL^{*}}$

スペクトル因子分解は線形-二次-ガウス制御において広く用いられており、スペクトル因子を計算するためのアルゴリズムは数多く存在する。^[6]現代のアルゴリズムの中には、ウィーナーが最初に研究したより一般的な設定に焦点を当てたものもあれば、テプリッツ行列の進歩を利用して因子計算を高速化しているものもある。^{[7] [8]}

意味

各要素が最大 - 次までの複素多項式である多項式行列を考えます。 がすべての に対して半正定値行列である場合、となるような 複素多項式を持つ多項式行列 が存在し、 は 共役転置です。^[9]の要素が複素多項式または複素係数有理関数である場合、その共役転置 の要素も複素多項式または複素係数有理関数です。 ${\displaystyle n\times n}$ $${\displaystyle P(x)=\sum _{k=0}^{N}P_{k}x^{k}={\begin{bmatrix}p_{11}(x)&\ldots &p_{1n}(x)\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n1}(x)&\cdots &p_{nn}(x)\\\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle p_{ij}(x)}$ ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle P(x)}$ ${\displaystyle x\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle Q(x)}$ ${\displaystyle q_{ij}(x)}$ $${\displaystyle P(x)=Q(x)Q^{*}(x),}$$ ${\displaystyle Q^{*}(x)}$ ${\displaystyle Q(x)}$

さらに下半平面上で特異でないものがどれであるかを見つけることもできる。 ^[10]${\displaystyle Q(x)}$

有理スペクトル分解

を有理関数とし、任意のに対してとする。すると、 と が下半平面に極も零点も持たないような有理関数が存在する。この分解は、ノルム の複素スカラーによる乗算を除き一意である。 ${\displaystyle p(t)}$ ${\displaystyle p(t)>0}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle p(t)=q(t){\bar {q}}(t)}$ ${\displaystyle q(t)}$ ${\displaystyle 1}$

存在を証明するには、 のところでと書きます。 とすると、 は実数かつ正であると結論付けることができます。 を で割ると、単項の場合になります。分子と分母は異なる根の集合を持つので、どちらかに現れるすべての実根は、重複度が偶数でなければなりません（局所的に符号が変わるのを防ぐため）。これらの実根を分割して、 が複素根と極だけを持つ場合に帰着できます。仮定により、 が成り立ちます。 はすべて複素数（したがって共役の不動点ではない）なので、どちらも共役の対になっています。共役の対ごとに、上半平面で零点または極を取り、これらを累算して を得ます。一意性の結果は標準的な方法で得られます。 $${\displaystyle p(x)=c{\frac {\prod _{i}(x-\alpha _{i})}{\prod _{j}(x-\beta _{j})}},}$$ ${\displaystyle \alpha _{i}\neq \beta _{j}}$ ${\displaystyle x\to \infty }$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle {\sqrt {c}}}$ ${\displaystyle p(t)}$ $${\displaystyle p(x)={\frac {\prod _{i}(x-\alpha _{i})}{\prod _{j}(x-\beta _{j})}}={\frac {\prod _{i}(x-{\bar {\alpha }}_{i})}{\prod _{j}(x-{\bar {\beta }}_{j})}}={\overline {p(x)}}.}$$ ${\displaystyle \alpha _{i},\beta _{j}}$ ${\displaystyle q(t)}$

コレスキー分解

この結果のインスピレーションは、正定値行列を特徴付ける因数分解です。

スカラー行列の分解

任意の正定値スカラー行列 が与えられた場合、コレスキー分解によりと書くことができます。ここでは下三角行列です。下三角行列に限定しない場合は、 の形式におけるすべての因数分解を考えることができます。ユニタリ行列 による右乗法の下でのの軌道を見ることで、すべての因数分解が達成されていることを確認するのは難しくありません。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle A=LL^{*}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle A=VV^{*}}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle V=LU}$

下三角分解を得るには、最初の行と最初の列を分割して帰納的に分解する。これを で解くと、$${\displaystyle {\begin{bmatrix}a_{11}&\mathbf {a} _{12}^{*}\\\mathbf {a} _{12}&A_{22}\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}l_{11}&0\\\mathbf {l} _{21}&L_{22}\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}l_{11}^{*}&\mathbf {l} _{21}^{*}\\0&L_{22}^{*}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}l_{11}l_{11}^{*}&l_{11}\mathbf {l} _{21}^{*}\\l_{11}^{*}\mathbf {l} _{21}&\mathbf {l} _{21}\mathbf {l} _{21}^{*}+L_{22}L_{22}^{*}\end{bmatrix}}}$$ ${\displaystyle a_{ij}}$ $${\displaystyle l_{11}={\sqrt {a_{11}}}}$$ $${\displaystyle \mathbf {l} _{21}={\frac {1}{\sqrt {a_{11}}}}\mathbf {a} _{12}}$$ $${\displaystyle L_{22}L_{22}^{*}=A_{22}-{\frac {1}{a_{11}}}\mathbf {a} _{12}\mathbf {a} _{12}^{*}}$$

は正定値なので、 は正の実数であり、平方根を持ちます。右辺はのシュアー補数であり、それ自体が正定値であるため、帰納法からの最後の条件が成立します。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle a_{11}}$ ${\displaystyle A}$

有理多項式行列の分解

有理多項式行列は、 各要素が複素有理関数である行列として定義されます 。がすべての に対して正定値エルミート行列である場合、上で行った対称ガウス消去法によって、となる有理数が存在することを示すだけで済みます。これは有理スペクトル分解から導かれます。これが分かれば、 を解くことができます。シュアー補行列は極から離れた実数に対して正定値であり、シュアー補行列は有理多項式行列であるため、 を求めるために帰納的に導くことができます。 $${\displaystyle P(t)={\begin{bmatrix}p_{11}(t)&\ldots &p_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n1}(t)&\cdots &p_{nn}(t)\\\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle p_{ij}(t)}$ ${\displaystyle P(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle q_{11}(t)}$ ${\displaystyle p_{11}(t)=q_{11}(t)q_{11}(t)^{*}}$ ${\displaystyle l_{11}(t),\mathbf {l} _{21}(t)}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle L_{22}}$

下半平面に極を持たない有理多項式行列で あることを確認するのは難しくありません。${\displaystyle P(t)=L(t)L(t)^{*}}$ ${\displaystyle L(t)}$

多項式分解への拡張

多項式行列のスペクトル分解の存在を証明する 1 つの方法は、有理多項式行列にコレスキー分解を適用し、下半平面の特異点を除去するように変更することです。つまり、 の各要素がすべての に対して複素係数多項式である場合、となる下半平面の極を持たない有理多項式行列が存在します。実数 に対してユニタリ値の有理多項式行列が与えられると、別の分解が存在します^{[説明が必要]。} すると、となる スカラーユニタリ行列が存在し、 これは、の最初の列が で消えることを意味します。 での特異点を除去するには、に を掛けると、どの要素の下半平面にも極を導入することなく、 で零点が 1 つ少ない (重複度によって) 行列式が存在します。 $${\displaystyle P(t)={\begin{bmatrix}p_{11}(t)&\ldots &p_{1n}(t)\\\vdots &\ddots &\vdots \\p_{n1}(t)&\cdots &p_{nn}(t)\\\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle p_{ij}(t)}$ ${\displaystyle t\in \mathbb {R} }$ ${\displaystyle L(t)}$ ${\displaystyle P(t)=L(t)L(t)^{*}}$ ${\displaystyle U(t)}$ ${\displaystyle t}$ $${\displaystyle P(t)=L(t)L(t)^{*}=L(t)U(t)U(t)^{*}L(t)^{*}.}$$ ${\displaystyle \det(L(a))=0}$ ${\displaystyle U}$ $${\displaystyle Ue_{1}={\frac {a}{|a|}}.}$$ ${\displaystyle L(t)U}$ ${\displaystyle a}$ ${\displaystyle a}$ $${\displaystyle U(t)=\operatorname {diag} (1,\ldots ,{\frac {z-{\bar {a}}}{z-a}},\ldots ,1)}$$ ${\displaystyle L(t)UU(t)}$

例

次の有理行列分解を考えてみましょう。 この分解は上半平面に極を持ちません。しかし、 における特異点を取り除くために分解を修正する必要があります。まず、 となるスカラーユニタリ行列を に掛け、 これが 分解の新たな候補となります。すると最初の列が で消えてしまうので、（右側の） を通して を に掛けて を得ます。 ここで と なります 。これが下半平面に特異点を持たない、 目的の分解です。$${\displaystyle A(t)={\begin{bmatrix}t^{2}+1&2t\\2t&t^{2}+1\\\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}t-i&0\\{\frac {2t}{t+i}}&{\frac {t^{2}-1}{t+i}}\\\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}t+i&{\frac {2t}{t-i}}\\0&{\frac {t^{2}-1}{t-i}}\\\end{bmatrix}}.}$$ $${\displaystyle \det \left({\begin{bmatrix}t-i&0\\{\frac {2t}{t+i}}&{\frac {t^{2}-1}{t+i}}\\\end{bmatrix}}\right)={\frac {(t-1)(t-i)(t+1)}{t+i}},}$$ ${\displaystyle -i}$ $${\displaystyle U={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}1&1\\i&-i\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle {\begin{bmatrix}t-i&0\\{\frac {2t}{t+i}}&{\frac {t^{2}-1}{t+i}}\\\end{bmatrix}}U={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}t-i&t-i\\i{\frac {(t-i)^{2}}{t+i}}&-i(t+i)\\\end{bmatrix}},}$$ ${\displaystyle t=i}$ $${\displaystyle U(t)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}{\frac {t+i}{t-i}}&0\\0&1\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle Q(t)={\frac {1}{\sqrt {2}}}{\begin{bmatrix}t-i&t-i\\i{\frac {(t-i)^{2}}{t+i}}&-i(t+i)\\\end{bmatrix}}U(t)={\frac {1}{2}}{\begin{bmatrix}t+i&t-i\\i(t-i)&-i(t+i)\\\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle \det(Q(t))=i(1-t^{2}).}$$ ${\displaystyle A(t)=Q(t)Q(t)^{*}}$

解析性をC言語全体に拡張する

修正後、分解は下半平面において正則かつ可逆であることを満たす。解析性を上半平面に拡張するには、次の重要な観察が必要である。可逆有理行列が下半平面において正則である場合、下半平面においても正則である。解析性は随伴行列の公式から導かれる（との両方が 下半平面において解析的であるため）。有理多項式行列の行列式は、その要素が極を持つ場合にのみ極を持つことができるため、下半平面には極を持たない。 ${\displaystyle P(t)=Q(t)Q(t)^{*}}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle Q(t)^{-1}}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle \det(Q(t))^{-1}}$ ${\displaystyle \det(Q(t))}$

続いて、 は下半平面上で解析的である ので、は上半平面上で解析的である。最後に、 が実数直線上に極を持つ場合、 も実数直線上に同じ極を持つ。これは、実数直線上に極を持たない（すなわち、 はどこでも解析的である）という仮説に矛盾する。 $${\displaystyle Q(t)=(P(t)Q(t)^{-1})^{*}.}$$ ${\displaystyle Q(t)^{-1}}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle Q(t)^{*}}$ ${\displaystyle P(t)}$

上記は、下半平面上で解析的かつ逆行列が可能であるならば、確かにどこでも解析的であり、したがって多項式行列であることを示しています。 ${\displaystyle Q(t)}$ ${\displaystyle Q(t)}$

参照

• 多項式の行列分解

注記

1. グリンシュパンら。 2016 年、1 ～ 26 ページ。
2. Böttcher & Halwass 2013、pp. 4760–4805。
3. ウィーナー & マサニ、1957 年、111–150 ページ。
4. Tim NT Goodman、Charles A. Micchelli、Giuseppe Rodriguez、Sebastiano Seatzu (1997). 「ローラン多項式のスペクトル分解」. Advances in Computational Mathematics . 7 (4): 429– 454. doi :10.1023/A:1018915407202. S2CID  7880541.
5. アルヤシュ・ザラル (2016). 「ギャップのある行列フェジェル・リース定理」。純粋代数と応用代数のジャーナル。220 (7 ) : 2533–2548。arXiv : 1503.06034 。土井：10.1016/j.jpaa.2015.11.018。S2CID  119303900。
6. サイード＆カイラス 2001、467–496ページ。
7. ジャナシア、ラグヴィラヴァ、エフレミゼ、2011 年、2318–2326 ページ。
8. ビニら。 2003 年、217 ～ 227 ページ。
9. ファン デル ウーデ 2014、214–220 ページ。
10. エフレムゼ、ラシャ (2014). 「多項式行列のスペクトル因数分解定理の初等証明」。エディンバラ王立協会の議事録、セクション A。144 ( 4 ): 747–751。CiteSeerX 10.1.1.755.9575 。土井：10.1017/S0308210512001552。S2CID  119125206。 

参考文献

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• Böttcher, Albrecht; Halwass, Martin (2013). 「ウィーナー・ホップ法とニュートン法による実多項式のスペクトル分解」線形代数とその応用. 438 (12): 4760– 4805. doi : 10.1016/j.laa.2013.02.020 .
• ドリッチェル、マイケル A.ジェームズ・ロヴニャック (2010)。 「演算子フェジェル・リースの定理」。ヒルベルト宇宙事業者を垣間見る。バーゼル：シュプリンガー・バーゼル。土井：10.1007/978-3-0346-0347-8_14。ISBN 978-3-0346-0346-1。
• Grinshpan, Anatolii; Kaliuzhnyi-Verbovetskyi, Dmitry S.; Vinnikov, Victor; Woerdeman, Hugo J. (2016). 「2変数における安定かつ実零多項式」.多次元システムと信号処理. 27 (1): 1– 26. arXiv : 1306.6655 . Bibcode :2016MSySP..27....1G. doi :10.1007/s11045-014-0286-3. ISSN  0923-6082.
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