関数の零点

における関数のグラフ。はでゼロとなり、赤でマークされている。${\displaystyle \cos(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle \left[-2\pi ,2\pi \right]}$ ${\displaystyle -{\tfrac {3\pi }{2}},\;-{\tfrac {\pi }{2}},\;{\tfrac {\pi }{2}}}$ ${\displaystyle {\tfrac {3\pi }{2}},}$

数学において、実関数、複素関数、あるいは一般にベクトル値関数の零点（根とも呼ばれる）は、の定義域の元であり、でが 0 となるような関数である。つまり、関数はで 0 の値を得る、あるいは同義語として、は方程式 の解である。したがって、関数の「零点」とは、0 の出力を生成する入力値である。^{[ 1 ]}${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle f(x)=0}$

多項式の根は、対応する多項式関数の零点である。^{[ 2 ]}代数学の基本定理によれば、零でない任意の多項式は、その次数に等しい数の根を持つが、その複素根（より一般的には、代数的に閉じた拡大における根）をその重複度とともに数えると、根の個数と次数は等しくなる。^{[ 3 ]}例えば、で定義される次数 2 の多項式には、2と3という 2 つの根（零点）がある。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f(x)=x^{2}-5x+6=(x-2)(x-3)}$ $${\displaystyle f(2)=2^{2}-5\times 2+6=0{\text{ }}f(3)=3^{2}-5\times 3+6=0.}$$

関数が実数を実数に写像する場合、その零点はグラフがx軸と交わる点の -座標です。この文脈では、このような点は-切片とも呼ばれます。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x,0)}$ ${\displaystyle x}$

方程式の解

未知数に関するすべての方程式は次のように書き直すことができる。 ${\displaystyle x}$

${\displaystyle f(x)=0}$

左辺のすべての項をまとめ直すことによって。したがって、このような方程式の解は、まさに関数の零点となる。言い換えれば、「関数の零点」とはまさに「関数を0と等しくすることによって得られる方程式の解」であり、関数の零点の研究は方程式の解の研究と全く同じである。 ${\displaystyle f}$

多項式の根

奇数次の実多項式はすべて、 （重複度を数えて）奇数の実根を持ちます。同様に、偶数次の実多項式は、必ず偶数の実根を持ちます。したがって、実奇多項式は少なくとも1つの実根を持ちます（最小の奇数は1であるため）。一方、偶数多項式は実根を持たない場合があります。この原理は中間値定理を参照することで証明できます。多項式関数は連続であるため、関数値は負から正へ、あるいはその逆へ変化する過程で必ずゼロを横切ります（これは奇関数では常に発生します）。

代数学の基本定理

代数学の基本定理は、次数のすべての多項式は、その重複度を数えた複素根を持つと述べている。実係数を持つ多項式の非実根は、共役対となる。^{[ 1 ]}ヴィエタの公式は、多項式の係数とその根の和と積を関連付けている。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle n}$

計算ルート

関数の根の正確な近似値を計算する方法は数多くありますが、最も優れた方法はニュートン法です。 「根を求めるアルゴリズム」を参照してください。

多項式の場合、より効率的ですべての根またはすべての実根を提供できる特殊なアルゴリズムがあります。「多項式の根の探索」および「実根の分離」を参照してください。

4 次以下の多項式を含む一部の多項式では、そのすべての根を係数を使って代数的に表現することができます。 「根号による解法」を参照してください。

ゼロセット

数学の様々な分野において、関数の零点集合とは、その関数のすべての零点の集合を指します。より正確には、 が実数値関数（あるいはより一般的には、加法群に属する値を取る関数）である場合、その零点集合はにおけるの逆像となります。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f^{-1}(0)}$ ${\displaystyle \{0\}}$ ${\displaystyle X}$

関数の余域に関する同じ仮定の下では、関数の準位集合は余域内のいくつかの関数の零点集合である。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle fc}$ ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle f.}$

線形写像の零点集合はカーネルとも呼ばれます。

関数のコゼロ集合は、のゼロ集合の補集合です(つまり、のサブセットがゼロでないものです)。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f}$

アプリケーション

代数幾何学において、代数多様体の第一の定義は零点集合を通してである。具体的には、アフィン代数集合とは、体上の多項式環における、複数の多項式の零点集合の交わりである。この文脈では、零点集合は零点軌跡と呼ばれることもある。 ${\displaystyle k\left[x_{1},\ldots,x_{n}\right]}$

解析学と幾何学において、の任意の閉部分集合はの全体にわたって定義された滑らかな関数の零点集合である。これは、 のパラコンパクト性の系として、任意の滑らかな多様体にも拡張される。 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$

微分幾何学において、零点集合は多様体を定義するために頻繁に用いられます。重要な特殊な例として、がから への滑らかな関数である場合が挙げられます。零点が の正則値である場合、 の零点集合はの正則値定理により次元の滑らかな多様体となります。 ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{p}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle m=pn}$

たとえば、 の単位球面は実数値関数 の零点集合です。 ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{m+1}}$ ${\displaystyle f(x)=\Vert x\Vert ^{2}-1}$

参照

• 根探索アルゴリズム
• ボルツァーノの定理によれば、区間の端点で反対の符号をとる連続関数は、その区間に少なくとも 1 つのゼロを持ちます。
• ガウス・ルーカスの定理によれば、多項式の導関数の複素零点は多項式の根の凸包の内側にあります。
• マーデンの定理、3次多項式に対するガウス・ルーカスの定理の改良
• センドフの予想、ガウス・ルーカスの定理の予想的改良
• 無限大のゼロ
• ゼロ交差、ゼロ付近の関数のグラフの性質
• 正則関数の零点と極

参考文献

1. Foerster, Paul A. (2006). 『代数と三角法：関数と応用 教師用版』（古典社）. アッパーサドルリバー, ニュージャージー州:プレンティスホール. p.  535. ISBN 0-13-165711-9。
2. 「代数 - 多項式の零点/根」tutorial.math.lamar.edu . 2019年12月15日閲覧。
3. 「根と零点（代数2、多項式関数）」 Mathplanet . 2019年12月15日閲覧。

さらに読む

• ワイスタイン、エリック W. 「ルート」。MathWorld 。