ポリベクトル場

微分幾何学において、数学における体、つまり滑らかな多様体上の多重ベクトル体、次数の多ベクトル体、または-ベクトル体は、多様体上の ベクトル場の概念の一般化です。${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$

意味

次数の多重ベクトル場は、接束のk番目の外冪のグローバル セクションです。つまり、の各点に-ベクトルを割り当てます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \wedge ^{k}TM\to M}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p\in M}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \Lambda ^{k}T_{p}M}$

上の次数の多重ベクトル場全体の集合はまたは で表されます。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{k}(M):=\Gamma (\wedge ^{k}TM)}$ ${\displaystyle T_{\rm {poly}}^{k}(M)}$

特定のケース

• もし持っているなら;${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{0}(M):={\mathcal {C}}^{\infty }(M)}$
• ならば、、つまりベクトル場の概念が回復されます。${\displaystyle k=1}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{1}(M):={\mathfrak {X}}(M)}$
• ならば、 である。なぜなら であるから。${\displaystyle k>\mathrm {dim} (M)}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{k}(M):=\{0\}}$ ${\displaystyle \wedge ^{k}TM=0}$

代数構造

多重ベクトル場全体の集合は任意の に対して -ベクトル空間なので、 は次数付きベクトル空間です。 ${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{k}(M)}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle {\mathfrak {X}}^{\bullet }(M)=\bigoplus _{k}{\mathfrak {X}}^{k}(M)}$

さらに、ウェッジ製品がある

$${\displaystyle \wedge :{\mathfrak {X}}^{k}(M)\times {\mathfrak {X}}^{l}(M)\to {\mathfrak {X}}^{k+l}(M)}$$

これはベクトル場上の滑らかな関数の標準的な作用を回復する。このような積は結合的かつ次数可換であり、次数可換代数となる。 ${\displaystyle k=0}$ ${\displaystyle l=1}$ ${\displaystyle ({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),\wedge )}$

同様に、ベクトル場のリー括弧は、いわゆるスハウテン・ナイエンフイス括弧に拡張される。

$${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]:{\mathfrak {X}}^{k}(M)\times {\mathfrak {X}}^{l}(M)\to {\mathfrak {X}}^{k+l-1}(M)}$$

これは-双線型で、次数付き歪対称であり、ヤコビ恒等式の次数付き版を満たす。さらに、ライプニッツ恒等式の次数付き版も満たす。つまり、ウェッジ積と両立し、この三つ組はゲルステンハーバー代数となる。 ${\displaystyle \mathbb {R} }$ ${\displaystyle ({\mathfrak {X}}^{\bullet }(M),\wedge ,[\cdot ,\cdot ])}$

微分形式との比較

接線束は余接束と双対であるため、次数の多重ベクトル場は-形式と双対であり、両者はテンソル場の一般概念に包含される。テンソル場はテンソル束の切断であり、接線束と余接束の外冪から構成されることが多い。 -テンソル場は微分 -形式、-テンソル場はベクトル場、-テンソル場は- ベクトル場である。 ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (k,0)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle (0,1)}$ ${\displaystyle (0,k)}$ ${\displaystyle k}$

微分形式は微分幾何学や微分位相幾何学において広く研究されているが、多重ベクトル場は幾何代数の文脈を除いて、型のテンソル場としてよく見られる（クリフォード代数も参照）。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}${\displaystyle (0,k)}$

参照

• マルチベクトル
• ブレード（形状）

参考文献

1. Doran, Chris (Chris JL) (2007).物理学者のための幾何代数. Lasenby, AN (Anthony N.), 1954- (第1版、訂正あり). Cambridge: Cambridge University Press. ISBN 9780521715959. OCLC  213362465 .
2. アルティン、エミール、1898-1962. (1988) [1957].幾何代数. ニューヨーク: インターサイエンス出版社. ISBN 9781118164518. OCLC  757486966 .
3. Snygg, John. (2012). Cliffordの幾何代数を用いた微分幾何学への新しいアプローチ. ニューヨーク: Springer Science+Business Media, LLC. ISBN 9780817682835. OCLC  769755408 .