ポリズムとは、数学的な命題または系です。定理の直接的な帰結を指すのと同様に、証明の直接的な帰結を指すために用いられてきました。現代の用法では、シュタイナーのポリズムのように、ある条件を仮定した場合にのみ、無限の範囲の値に対して成立する関係を指します。[1]この用語は、失われたユークリッドの三冊の書に由来しています。命題が証明されていない場合、ポリズムは定理または真ではない可能性があります。
起源
ポリズムについて最初に論じた書物はユークリッドの『ポリズム論』である。これについて知られているのはアレクサンドリアのパップスの『コレクション』であり、彼は他の幾何学論文と共にこれに触れ、理解に必要ないくつかの補題を与えている。[2]パップスは次のように述べている。
- あらゆるクラスのポリズムは定理でも問題でもなく、両者の中間的な位置を占めており、その表現は定理としても問題としても表現できるため、ある幾何学者は定理であると考え、他の幾何学者は表現形式のみに基づいて問題であると考える。しかし、定義から明らかなように、古期の幾何学者は3つのクラスの違いをよりよく理解していた。古期の幾何学者は、定理は提示されたものを証明することに、問題は提示されたものを構成することに、そしてポリズムは提示されたものを発見することに向けられている（εἰς πορισμὸν αὐτοῦ τοῦ προτεινομένου）。[2]
パップスによれば、この定義は後代の幾何学者によって変更された。彼らはポリズムを、τὸ λεῖπον ὑποθέσει τοπικοῦ θεωρήματος ( to leîpon hypothései topikoû theōrḗmatos ) という偶発的な特性、すなわち仮説によって（あるいは仮説において）軌跡定理に及ばない特性と定義した。プロクルスは、ポリズムという言葉が2つの意味で使われていることを指摘した。1つは「系」、つまり定理から導かれる結果という意味で、意図せずして導かれる結果である。もう1つの意味では、彼は円の中心の発見と最大公約数の発見がポリズムであると述べた以外、「古期幾何学者」の定義に何も付け加えなかった。[3] [2]
ユークリッドのポリズムに関するパップス
パップスはユークリッドの交点主義の定義を否定した。現代語で表現される交点主義とは、4本の直線があり、そのうち3本は4本目の直線と交わる点を中心として交線を描き、これらの直線の交点のうち2点がそれぞれ固定された直線上にある場合、残りの交点も別の直線上にあるという主張である。この一般的な定義は、任意の本数nの直線に適用でき、n本は( n + 1)番目に固定された点の数だけ中心として交線を描き得る。これらのn本の直線は、2と2を1 ⁄ 2 n ( n − 1) 個の点に切断します。1 ⁄ 2 n ( n − 1 )は 、n − 1辺が三角形 の数です。これらの直線をn個の固定点の 周りで回転させ、ある制限の下で選ばれた1 ⁄ 2 n ( n − 1) 個の交点のうちの任意のn − 1個が、 n − 1本の固定直線上にくるようにすると、残りの1 ⁄ 2 n ( n − 1)( n − 2) 個の交点はそれぞれ直線を描きます。[2]
上記は次のように表現できる。二つの固定点PとQを中心として、与えられた直線Lで交わる二つの直線を回転させ、そのうちの一つが、与えられた位置にある固定直線AXから線分AMを切り取るとすると、もう一つの固定直線BYと、その上に固定された点Bが決定される。この固定直線Bから測った第二の移動線によって作られる線分BM'は、AMに対して与えられた比Xを持つ。パップスが多角形に関連して示す補題は以下の通りである。
- 4 本の直線が 1 点で交わる線の交差比または非調和比はすべての横断線に対して一定であるという基本定理。
- 完全四辺形の調和特性の証明。
- 六角形の6つの頂点が2本の直線上に3つずつある場合、対辺の交わる3つの点は直線上にあるという定理。[2]
その後の分析
ロバート・シムソンは、パップスが示す唯一の3つの命題を、 1723年の哲学論文集で完全に説明した。後に彼は、ポリズム全般について『ポリズム論について論じる; 教義はポリズムを満足させるほどに説明し、また、著者が忘れ去った後には必ず忘れ去られる』と題する著作で研究し、死後に『ロベルティ・シムソンの聖遺物』（グラスゴー、1776年）として出版した。[4]
シムソンの論文『定理について』は、定理、問題、データ、ポリズム、そして位置の定義から始まります。シモンは、パップスの定義は一般論的すぎるとして、以下のように置き換えました。
必要なデータを正確にデモンストレーションするために、データを取得し、データを取得し、データを確認し、適切なデータを取得し、適切な愛情を持ってください。命題記述におけるコミュネム。多大な問題を解決し、データをデモンストレーションし、プロポナントゥルを発明するための、多大な問題を解決します。[要説明]
シムソンは、ロカスはポリズムの一種であると述べた。続いて、パップスによるポリズムに関する注釈と、論文の大部分を占める命題のラテン語訳が続く。[4]
ジョン・プレイフェアの回想録（Roy. Soc. Edin.訳、1794年、第3巻）は、シムソンの論文の続編とも言えるもので、ポリズムの起源、あるいは古代の幾何学者がポリズムを発見するに至った経緯について考察している。プレイフェアは、命題のあらゆる可能な個別事例を注意深く調査すれば、次のことがわかるだろうと述べている。
- 特定の条件下では問題は不可能になる。
- 他の特定の条件下では、不確定であるか、または無限の数の解が存在する可能性がある。
これらのケースは別々に定義することができ、定理と問題の中間的な存在であり、「ポリズム」と呼ばれていました。プレイフェアはポリズムを「ある問題を不確定にしたり、無数の解が存在するような条件を見つける可能性を肯定する命題」と定義しました。[4]
イギリスではプレイフェアのポリズムの定義が最も支持されているようだが、海外ではシムソンの見解が最も一般的に受け入れられており、ミシェル・シャスルの支持を得ていた。しかし、リウヴィルのJournal de mathematiques pures et appliquées (第 20 巻、1855 年 7 月) で、P. ブルトンはRecherches nouvelles sur les porismes d'Euclideを発表し、その中でパップスのテキストの新しい翻訳を与え、パップスの定義により近いポリズムの性質についての見解の根拠を模索した。その後、同じ雑誌とLa Scienceでブルトンと AJH ヴァンサンの間で論争が起こり、ヴァンサンはブルトンによるパップスのテキストの解釈に異議を唱え、フランス・ファン・スホーテンのMathematicae exercitationes (1657)で提示されたアイデアを支持すると表明した。スホーテンによれば、図形中の直線間の様々な関係を方程式や比例の形で書き出すと、これらの方程式をあらゆる方法で組み合わせ、そこから新しい方程式を導き出すことで、図形の無数の新しい性質を発見することができるという。[4]
C. ハウセルも加わったブルトンとヴァンサンの議論は、ユークリッドの『ポリスムス』の修復作業を進めることには至らず、シャスルに委ねられた。彼の著作（『ユークリッドのポリスムス三冊』、パリ、1860年）は、パッピュス所蔵の資料を余すところなく活用している。[4]
HG ツォイテン（『旧ケーゲルシュニットに関する講義』 、1886年、第8章）は、ポーリズムに関する興味深い仮説を提唱した。ツォイテンは、例えば、二つの固定点が円錐曲線上の点であり、それらを通る直線が固定直線ではなく円錐曲線上で交差する場合でも、切片ポーリズムが成立することを観察した。彼は、ポーリズムは円錐曲線の射影幾何学が完全に発達した際に生じる副産物であると推測した。[4]
参照
注記
- ^ イヴス、ハワード・W. (1995).大学幾何学. p. 138. ISBN 0867204753。
- ^ abcde Heath 1911、102ページ。
- ^ プロクルス、フリードライン編、301ページ
- ^ abcdef Heath 1911、103ページ。
参考文献
- アレクサンダー・ジョーンズ（1986）コレクション第7巻、パート1：序文、本文、翻訳ISBN 0-387-96257-3、第2部：解説、索引、図ISBN 3-540-96257-3、Springer-Verlag。
- JL Heibergの『Litterargeschichtliche Studien über Euklid』 (ライプツィヒ、1882 年) (文献学的観点から) 多孔質に関する貴重な章が含まれています。
- アウグスト・リヒター。シムソン・ベアベイテの政治家(エルビング、1837)
- M.カントール、「ユーバー・ディ・ポリスメン・デ・ユークリッドとデレン・ディヴィナトーレン」、シュロミルヒ『ツァイチュ』誌。 f.数学。あなた。ファイ。 (1857)、およびLiteraturzeitung (1861)、p. 3連
- Th.ライデンフロスト、Die Porismen des Euklid ( Programm der Realschule zu Weimar、1863)
- John J. Milne (1911)『An Elementary Treatise on Cross-Ratio Geometry with Historical Notes』、115 ページ、Cambridge University Press。
- 神父様Buch-binder、Euclids Porismen und Data ( Programm der kgl. Landesschule Pforta、1866)。
帰属:
- この記事には、現在パブリックドメインとなっている出版物（ ヒース、トーマス・リトル(1911)「ポリズム」）のテキストが含まれています。ヒュー・チザム編著『ブリタニカ百科事典』第22巻（第11版）ケンブリッジ大学出版局、 102～ 103ページ。
