多孔質媒体方程式

多孔質媒体方程式は非線形熱方程式とも呼ばれ、次の形をとる非線形偏微分方程式である。 ^{[ 1 ]}

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}=\Delta \left(u^{m}\right),\quad m>1}$

ここではラプラス演算子です。これは、等価な発散形に置き換えることもできます。ここで は拡散係数と解釈でき、は発散演算子です。 ${\displaystyle \Delta }$ $${\displaystyle {\partial u \over {\partial t}}=\nabla \cdot \left[D(u)\nabla u\right]}$$ ${\displaystyle D(u)=mu^{m-1}}$ ${\displaystyle \nabla \cdot (\cdot )}$

ソリューション

多孔質媒体方程式は非線形方程式であるにもかかわらず、変数分離法や相似解法を用いて厳密に解くことができる。しかし、変数分離法による解は有限時間で無限大に膨れ上がることが知られている。^{[ 2 ]}

Barenblatt-Kompaneets-Zeldovich の類似性ソリューション

多孔質媒体方程式を解くための相似法は、Barenblatt ^{[ 3 ]}とKompaneets/ Zeldovich ^{[ 4 ]}によって採用されました。これは 、未知の関数と未知の定数に対して、次を満たす解を求めるというものでした。これらのスケーリングにおける多孔質媒体方程式の最終解は、次式です。ここで、は-ノルム、は正の成分、係数は次式で与えられます。${\displaystyle x\in \mathbb {R} ^{n}}$ $${\displaystyle u(t,x)={1 \over {t^{\alpha }}}v\left({x \over {t^{\beta }}}\right),\quad t>0}$$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta }$ $${\displaystyle u(t,x)={1 \over {t^{\alpha }}}\left(b-{m-1 \over {2m}}\beta {\|x\|^{2} \over {t^{2\beta }}}\right)_{+}^{1 \over {m-1}}}$$ ${\displaystyle \|\cdot \|^{2}}$ ${\displaystyle \ell ^{2}}$ ${\displaystyle (\cdot )_{+}}$ $${\displaystyle \alpha ={n \over {n(m-1)+2}},\quad \beta ={1 \over {n(m-1)+2}}}$$

アプリケーション

多孔質媒体方程式は、ガスの流れ、熱伝達、地下水の流れなど、さまざまな分野で応用できることが分かっています。^{[ 5 ]}

ガスの流れ

多孔質媒体方程式という名称は、均質な多孔質媒体中における理想気体の流れを記述する際に用いられることに由来する。 ^{[ 6 ]}媒体の密度、流速場、圧力を完全に規定するためには、質量保存の連続の式、多孔質媒体中の流れに関するダルシーの法則、そして理想気体の状態方程式 という3つの方程式が必要となる。これらの方程式を以下にまとめる。ここで、 は多孔度、は媒体の透過率、は動粘性、はポリトロープ指数（等エントロピー過程の熱容量比に等しい）である。多孔度、透過率、および動粘性が一定であると仮定すると、密度 の偏微分方程式は次のようになる。ここで、 および。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle {\bf {v}}}$ ${\displaystyle p}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon {\partial \rho \over {\partial t}}&=-\nabla \cdot (\rho {\bf {v}})&({\text{質量保存の法則}})\\{\bf {v}}&=-{k \over {\mu }}\nabla p&({\text{ダルシーの法則}})\\p&=p_{0}\rho ^{\gamma }&({\text{状態方程式}})\end{aligned}}}$$ ${\displaystyle \varepsilon }$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle \gamma}$ $${\displaystyle {\partial \rho \over {\partial t}}=c\Delta \left(\rho ^{m}\right)}$$ ${\displaystyle m=\gamma +1}$ ${\displaystyle c=\gamma kp_{0}/(\gamma +1)\varepsilon \mu }$

熱伝達

フーリエの熱伝導の法則を用いると、伝導による媒体の温度変化に関する一般的な方程式は次のようになります。ここで、は媒体の密度、は定圧における熱容量、は熱伝導率です。熱伝導率が温度に応じてべき乗則に従う場合、熱伝達方程式は多孔質媒体方程式として表すことができます。ここで、およびとなります。高温プラズマの熱伝導率はべき乗則に従うようです。^{[ 7 ]}$${\displaystyle \rho c_{p}{\partial T \over {\partial t}}=\nabla \cdot (\kappa \nabla T)}$$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle c_{p}}$ ${\displaystyle \kappa }$ $${\displaystyle \kappa =\alpha T^{n}}$$ $${\displaystyle {\partial T \over {\partial t}}=\lambda \Delta \left(T^{m}\right)}$$ ${\displaystyle m=n+1}$ ${\displaystyle \lambda =\alpha /\rho c_{p}m}$

参照

• 拡散方程式
• 多孔質媒体

参考文献

1. Wathen, A; Qian, L. 「多孔質媒体方程式」（PDF）。オックスフォード大学。
2. エヴァンス、ローレンス・C. (2010).偏微分方程式. 大学院数学研究科. 第19巻（第2版）. アメリカ数学会. pp.  170– 171. ISBN 9780821849743。
3. Barenblatt, GI (1952). 「多孔質媒体におけるいくつかの非定常流体および気体運動について」. Prikladnaya Matematika i Mekhanika (ロシア語). 10 (1): 67– 78.
4. Zeldovich, YB; Kompaneets, AS (1950). 「温度に依存する熱伝導率を持つ熱伝導理論に向けて」. AF Ioffe 生誕70周年記念論文集. Izd. Akad. Nauk SSSR: 61–72 .
5. ブシネスク、J. (1904)。"Recherches théoriques sur l'écoulement des nappes d'eau infiltrées dans le sol et sur le débit dessource"。Journal de Mathématiques Pures et Appliquées。10：5-78。
6. ムスカット、M. (1937). 『多孔質媒体を通る均質流体の流れ』 ニューヨーク：マグロウヒル. ISBN 9780934634168。
7. Zeldovich, YB; Raizer, YP (1966).衝撃波と高温流体現象の物理学（第1版）. Academic Press. pp.  652– 684. ISBN 9780127787015。

外部リンク

• 多孔質媒体方程式：数学理論