正の線形関数

数学、特に関数解析において、順序ベクトル空間上の正線型関数は、すべての正の元に対して次の式が成り立つような 線型関数である。 ${\displaystyle (V,\leq )}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\in V,}$ ${\displaystyle v\geq 0,}$ $${\displaystyle f(v)\geq 0.}$$

言い換えれば、正線形関数は、正の要素に対して非負の値を取ることが保証されている。正線形関数の重要性は、リース・マルコフ・角谷表現定理などの結果にある。

が複素ベクトル空間のとき、すべての に対して は実数であると仮定します。が自己随伴元の半順序付き部分空間を持つC*-代数である場合のように、半順序が部分空間に対してのみ設定され、半順序が 全体に拡張されないことがあります。その場合、 の正の要素は、表記法の乱用によりの正の要素になります。これは、C*-代数に対して、正の線形関数が、ある に対してに等しい任意の を実数に送り、それがその複素共役に等しいことを意味し、したがって、すべての正の線形関数はそのような の自己随伴性を保存します。この特性は、GNS 構成で、C*-代数上の正の線形関数を内積に関連付けるために利用されます。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle v\geq 0,}$ ${\displaystyle f(v)}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W\subseteq V,}$ ${\displaystyle V,}$ ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle W,}$ ${\displaystyle x\in V}$ ${\displaystyle s^{\ast }s}$ ${\displaystyle s\in V}$ ${\displaystyle x.}$

すべての正線形関数の連続性のための十分条件

比較的大きなクラスの順序付き位相ベクトル空間が存在し、その上ではすべての正線型形式が必然的に連続となる。^[1] これには、順序完備なすべての位相ベクトル格子が含まれる。^[1]

定理 を正の錐を持つ順序付き位相ベクトル空間とし、のすべての有界部分集合の族を表すとします 。この場合、 上のすべての正の線形関数が連続であることを保証するために、以下の各条件は十分です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}\subseteq {\mathcal {P}}(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle X}$

1. ${\displaystyle C}$ は空でない位相的内部構造を持つ（）。^[1]${\displaystyle X}$
2. ${\displaystyle X}$ 完全かつ計量化可能であり、^[1]${\displaystyle X=CC.}$
3. ${\displaystyle X}$ は^[1]において半完備な厳密な-錐である。${\displaystyle C}$ ${\displaystyle {\mathcal {B}}}$ ${\displaystyle X.}$
4. ${\displaystyle X}$ は、すべての正線型写像の族に関する順序付きフレシェ空間の族の帰納的極限であり、ここで^[1]の正錐である。${\displaystyle \left(X_{\alpha }\right)_{\alpha \in A}}$ ${\displaystyle X_{\alpha}=C_{\alpha}-C_{\alpha}}$ ${\displaystyle \alpha \in A,}$ ${\displaystyle C_{\alpha}}$ ${\displaystyle X_{\alpha }.}$

継続的なポジティブな拡張

次の定理はH.バウアーと独立に浪岡によるものである。^[1]

定理：^[1]は正錐を持つ順序付き位相ベクトル空間（TVS）とし、はのベクトル部分空間とし、は上の線型形式とすると、が上の連続正線型形式への拡張を持つことが、上が有界となる凸近傍が存在することと同値である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle U}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle M\cap (UC).}$

系: ^[1]は正錐を持つ順序付き位相ベクトル空間とし、はのベクトル部分空間とする。 が の内点を含む場合、上のすべての連続正線型形式は 上の連続正線型形式への拡張を持つ。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E.}$ ${\displaystyle C\cap M}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle X.}$

系: ^[1]が正錐を持つ順序ベクトル空間で、がのベクトル部分空間で、が上の線型形式であるとする。すると、が上の正線型形式への拡張を持つことが、その場合に限って、が上の原点を含む凸吸収部分集合が存在し、その上で有界となることが必要である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C,}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle E,}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle M.}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \operatorname {Re} f}$ ${\displaystyle M\cap (WC).}$

証明：近傍となる最も細かい局所凸位相を与えるだけで十分である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle W}$ ${\displaystyle 0\in X.}$

例

正定値行列を正の要素とする複素正方行列のC*-代数の例として、 を考えてみましょう。このC*-代数上で定義されるトレース関数は正関数です。なぜなら、任意の正定値行列の固有値は正であり、したがってそのトレースも正だからです。 ${\displaystyle V,}$

局所コンパクト・ハウスドルフ空間上のコンパクト台を持つ連続複素数値関数全体のリース空間 を考える。上のボレル正則測度と、で定義される汎関数を考える。すると、この汎関数は正となる（任意の正関数の積分は正の数である）。さらに、この空間上の任意の正関数は、リース・マルコフ・角谷表現定理から、この形をとる。 ${\displaystyle \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X)}$ ${\displaystyle X.}$ ${\displaystyle \mu}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \psi}$ $${\displaystyle \psi (f)=\int _{X}f(x)d\mu (x)\quad {\text{ }}f\in \mathrm {C} _{\mathrm {c} }(X).}$$

正線形関数（C*-代数）

をC*-代数（より一般的には、C*-代数における作用素系）とし、その単位元をとする。 を の正の元の集合とする。${\displaystyle M}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle 1.}$ ${\displaystyle M^{+}}$ ${\displaystyle M.}$

上の線形関数が正であるとは、すべての${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho (a)\geq 0,}$ ${\displaystyle a\in M^{+}.}$

定理。上の線型汎関数が正であることと、が有界であることは同値であり、^[2]${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle \|\rho \|=\rho (1).}$

コーシー・シュワルツの不等式

がC*-代数上の正線型関数であるとき、によって上の半正定値セスクイ線型形式を定義することができる。したがって、コーシー・シュワルツ不等式から次式が得られる。 ${\displaystyle \rho }$ ${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \langle a,b\rangle =\rho (b^{\ast }a).}$ $${\displaystyle \left|\rho (b^{\ast }a)\right|^{2}\leq \rho (a^{\ast }a)\cdot \rho (b^{\ast }b).}$$

経済学への応用

空間 が与えられると、価格システムは 上の連続した正の線形関数として見ることができます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle C}$

参照

• 正の要素 – 互換性のある半順序を持つグループリダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 正の線形作用素 – 関数解析における概念

参考文献

1. シェーファー&ヴォルフ、1999年、225–229ページ。
2. マーフィー、ジェラード. 「3.3.4」. C*-代数と作用素理論（第1版）. アカデミック・プレス社. p. 89. ISBN 978-0125113601。

参考文献

• リチャード・カディソン著『作用素環理論の基礎』第1巻：初等理論、アメリカ数学会ISBN 978-0821808191。
• ナリシ, ローレンス; ベッケンシュタイン, エドワード (2011). 『位相ベクトル空間』 純粋数学と応用数学（第2版） ボカラトン, フロリダ州: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (Second ed.). New York, NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135。
• トレヴ、フランソワ(2006) [1967]。トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC  853623322。