パワーアソシエティビティ

数学、特に抽象代数学において、べき乗結合性は、結合性の弱い形式である二項演算の特性です。

意味

代数（あるいはより一般的にはマグマ）は、任意の元によって生成される部分代数が結合的である場合、べき結合的であると言われます。具体的には、ある元に対してそれ自身による演算を複数回実行する場合、演算の実行順序は問われません。例えば、 となります。 ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle *}$ ${\displaystyle x*(x*(x*x))=(x*(x*x))*x=(x*x)*(x*x)}$

例と特性

全ての結合的代数はべき結合的であるが、他の全ての代替代数（例えば、非結合的な八元数）や、セデニオン、三ギンタデュオニオン、大久保代数のような非代替的な柔軟な代数もべき結合的である。任意のジョルダン代数はべき結合的である。元がべき等である任意の代数もまたべき結合的である。

任意の正の整数のべき乗は、乗算がべき乗結合的である場合はいつでも一貫して定義できます。例えば、x ^{3 は(} xx ) xと定義するかx ( xx ) と定義するかを区別する必要はありません。これらは等しいからです。ゼロのべき乗は、演算に単位元がある場合にも定義できます。したがって、単位元の存在はべき乗結合的な文脈において有用です。

特性0の体上で、代数は、 および （ただし は結合子）を満たす場合のみ、べき結合的である(Albert 1948)。 ${\displaystyle [x,x,x]=0}$ ${\displaystyle [x^{2},x,x]=0}$ ${\displaystyle [x,y,z]:=(xy)zx(yz)}$

素特性の無限体上では、冪結合性を特徴付ける恒等式の有限集合は存在しないが、Gainov (1970) によって記述されているように、無限の独立集合が存在する。 ${\displaystyle p>0}$

• :および(の場合${\displaystyle p=2}$ ${\displaystyle [x,x^{2},x]=0}$ ${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ ${\displaystyle n=3,2^{k}}$ ${\displaystyle k=2,3...)}$
• 対象:対象(${\displaystyle p=3}$ ${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ ${\displaystyle n=4,5,3^{k}}$ ${\displaystyle k=1,2...)}$
• 対象:対象(${\displaystyle p=5}$ ${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ ${\displaystyle n=3,4,6,5^{k}}$ ${\displaystyle k=1,2...)}$
• 対象:対象(${\displaystyle p>5}$ ${\displaystyle [x^{n-2},x,x]=0}$ ${\displaystyle n=3,4,p^{k}}$ ${\displaystyle k=1,2...)}$

単位を持つ実冪結合代数には置換則が成り立ち、これは基本的に多項式の乗算が期待通りに機能することを主張する。xの実多項式fと、そのような代数に含まれる任意のaに対して、 f ( a ) を、 aをfに自明に置換することによって得られる代数の元と定義する。すると、そのような任意の2つの多項式fとgに対して、 ( fg )( a ) = f ( a ) g ( a )が成立する。

参照

• 代替性

参考文献

• アルバート、A. エイドリアン( 1948). 「べき結合環」 .アメリカ数学会誌. 64 (3): 552– 593. doi : 10.2307/1990399 . ISSN  0002-9947 . JSTOR  1990399. MR  0027750. Zbl 0033.15402  .
• Gainov, AT (1970). 「有限特性体上のべき結合代数」.代数と論理. 9 (1): 5– 19. doi : 10.1007/BF02219846 . ISSN  0002-9947 . MR  0281764. Zbl 0208.04001  .
• クヌス、マックス＝アルバート、メルクルジェフ、アレクサンダー、ロスト、マルクス、ティニョル、ジャン＝ピエール(1998). 『反転の書』コロキウム出版 第44巻.ジャック・ティッツによる序文付き. プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会. ISBN 0-8218-0904-0. Zbl  0955.16001 .
• 大久保進(1995).物理学における八元数とその他の非結合的代数入門. モントロール記念数理物理学講演シリーズ. 第2巻.ケンブリッジ大学出版局. p. 17. ISBN 0-521-01792-0。MR  1356224。Zbl  0841.17001。
• シェーファー, RD (1995) [1966].非結合代数入門. ドーバー. pp.  128–148 . ISBN 0-486-68813-5。