べき級数

数学において、（一変数の）べき級数とは、 という形式の 無限級数であり、 はn番目の項の係数、cは級数の中心と呼ばれる定数である。べき級数は数学解析において有用であり、無限微分可能関数のテイラー級数として現れる。実際、ボレルの定理は、すべてのべき級数が何らかの滑らかな関数のテイラー級数であることを示唆している。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}\left(xc\right)^{n}=a_{0}+a_{1}(xc)+a_{2}(xc)^{2}+\dots }$$ ${\displaystyle a_{n}}$

多くの場合、中心cはゼロになります。例えばマクローリン級数の場合などです。このような場合、冪級数はより単純な形をとります。 $${\displaystyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}=a_{0}+a_{1}x+a_{2}x^{2}+\dots .}$$

冪級数の部分和は多項式であり、解析関数のテイラー級数の部分和は中心関数への収束する多項式近似の列であり、収束する冪級数は、無限個の項を持つ一般化された多項式の一種と見なすことができます。逆に、すべての多項式は有限個の非零項のみを持つ冪級数です。

冪級数は数学的解析における役割以外にも、組合せ論において生成関数（形式的な冪級数の一種）として、また電子工学において（ Z変換という名称で）登場する。実数の一般的な十進表記も、係数が整数で引数xが1 ⁄ 10に固定された冪級数の例として捉えることができる。数論において、 p進数の概念も冪級数の概念と密接に関連している。

例

多項式

指数関数（青）と、 そのマクローリン級数の最初のn + 1項の和による近似値（赤）。したがって、 n=0のときは、n=1 、n=2 、n=3などとなります。${\displaystyle f(x)=1}$ ${\displaystyle f(x)=1+x}$ ${\displaystyle f(x)=1+x+x^{2}/2}$ ${\displaystyle f(x)=1+x+x^{2}/2+x^{3}/6}$

d次の多項式はすべて、任意の中心cの周りのべき級数として表すことができる。ここで、 dより高い次数の項はすべて係数が0である。^{[ 1 ]}例えば、多項式は 中心の周りのべき級数として次のよう に 表すことができる。${\textstyle f(x)=x^{2}+2x+3}$ ${\textstyle c=0}$ $${\displaystyle f(x)=3+2x+1x^{2}+0x^{3}+0x^{4}+\cdots }$$ ${\textstyle c=1}$ $${\displaystyle f(x)=6+4(x-1)+1(x-1)^{2}+0(x-1)^{3}+0(x-1)^{4}+\cdots .}$$

厳密な意味では、べき級数は多項式ではありませんが、べき級数を「無限次多項式」のように見ることができます。

幾何級数、指数関数、正弦

に対して成立する等比級数の公式は 、すべての実数x に対して成立する指数関数の公式 や正弦関数の公式と同様に、べき級数の最も重要な例の一つです。これらのべき級数はテイラー級数（より正確には、マクローリン級数） の例です。$${\displaystyle {\frac {1}{1-x}}=\sum _{n=0}^{\infty }x^{n}=1+x+x^{2}+x^{3}+\cdots ,}$$ ${\textstyle |x|<1}$ $${\displaystyle e^{x}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {x^{n}}{n!}}=1+x+{\frac {x^{2}}{2!}}+{\frac {x^{3}}{3!}}+\cdots }$$ $${\displaystyle \sin(x)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {(-1)^{n}x^{2n+1}}{(2n+1)!}}=x-{\frac {x^{3}}{3!}}+{\frac {x^{5}}{5!}}-{\frac {x^{7}}{7!}}+\cdots ,}$$

指数の集合について

通常のべき級数では負のべきは許されません。例えば、は（ローラン級数ではありますが）べき級数とはみなされません。同様に、 のような分数べきも許されません。分数べきはピュイズー級数で発生します。係数はに依存してはならず、例えば はべき級数ではありません。 ${\textstyle x^{-1}+1+x^{1}+x^{2}+\cdots }$ ${\textstyle x^{\frac {1}{2}}}$ ${\textstyle a_{n}}$ ${\textstyle x}$ ${\textstyle \sin(x)x+\sin(2x)x^{2}+\sin(3x)x^{3}+\cdots }$

収束半径

べき級数はxのいくつかの値に対して収束します。これには常にx = cが含まれます。これは、このxの値に対して、級数がその最初の項⁠ ⁠に簡約されるためです。 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}}$ ${\displaystyle a_{0}}$

この級数はxの他の値、場合によってはすべての値で発散することがあります。 cが唯一の収束値でない場合は、 0 < r ≤ ∞を満たす数rが常に存在し、 | x – c | < rの場合には級数は収束し、 | x – c | > rの場合には発散します。数rは冪級数の 収束半径と呼ばれ、一般に次のように表されます。 または、同値として、 となります。 これはコーシー・アダマールの定理です。表記法の説明については、上側の極限と下側の極限を参照してください。この極限が存在する場合、関係式 も満たされます。 $${\displaystyle r=\liminf _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{-{\frac {1}{n}}}}$$ $${\displaystyle r^{-1}=\limsup _{n\to \infty }\left|a_{n}\right|^{\frac {1}{n}}.}$$ $${\displaystyle r^{-1}=\lim _{n\to \infty }\left|{a_{n+1} \over a_{n}}\right|}$$

| x – c | < rを満たす複素数の集合は、その級数の収束円板と呼ばれます。級数はその収束円板内で絶対収束し、収束円板のすべてのコンパクト部分集合上で一様収束します。

| x – c | = rの場合、級数の収束に関する一般的な記述はない。しかし、アーベルの定理によれば、級数が何らかの値zに対して収束し、 | z – c | = rとなる場合、 x = zについての級数の和は、x = c + t ( z – c )についての級数の和の極限となる。ここで、 t は tより小さい実変数である。1傾向がある1 .

べき級数の演算

足し算と引き算

2つの関数fとgを同じ中心cの周りの冪級数に分解すると、関数の和または差の冪級数は項ごとの加減算によって得られる。 つまり 、$${\displaystyle f(x)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(xc)^{n}}$$ $${\displaystyle g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(xc)^{n}}$$ $$\displaystyle f(x)\pm g(x)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\pm b_{n})(xc)^{n}.}$$

2つの冪級数の和の収束半径は、少なくとも2つの級数の収束半径のうち小さい方の値^{[ 2 ]}を持つが、いずれか一方よりも大きくなる可能性もある。例えば、2つの冪級数とが同じ収束半径を持つ場合、にもこの収束半径があるというのは正しくない。例えば、との場合、両方の級数の収束半径は同じ1であるが、級数の収束半径は3である。 ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }b_{n}x^{n}}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}}$ ${\textstyle a_{n}=(-1)^{n}}$ ${\textstyle b_{n}=(-1)^{n+1}\left(1-{\frac {1}{3^{n}}}\right)}$ ${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }\left(a_{n}+b_{n}\right)x^{n}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{3^{n}}}x^{n}}$

掛け算と割り算

およびについて同じ定義を用いると、関数の積と商のべき級数は次のように得られる。 ${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f(x)g(x)&={\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}\\&=\sum _{i=0}^{\infty }\sum _{j=0}^{\infty }a_{i}b_{j}(x-c)^{i+j}\\&=\sum _{n=0}^{\infty }{\biggl (}\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}{\biggr )}(x-c)^{n}.\end{aligned}}}$$

この数列は、数列と数のコーシー積として知られています。${\textstyle m_{n}=\sum _{i=0}^{n}a_{i}b_{n-i}}$ ${\displaystyle a_{n}}$ ${\displaystyle b_{n}}$

除算の場合、シーケンスを定義して係数 を 比較することで 項を再帰的に解くことができます。 ${\displaystyle d_{n}}$ $${\displaystyle {\frac {f(x)}{g(x)}}={\frac {\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}(x-c)^{n}}{\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}}}=\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}}$$ $${\displaystyle f(x)={\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }b_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}{\biggl (}\sum _{n=0}^{\infty }d_{n}(x-c)^{n}{\biggr )}}$$ ${\displaystyle d_{n}}$

対応する方程式を解くと、係数の特定の行列の行列式に基づく公式が得られます。${\displaystyle f(x)}$ ${\displaystyle g(x)}$ $${\displaystyle d_{0}={\frac {a_{0}}{b_{0}}}}$$ $${\displaystyle d_{n}={\frac {1}{b_{0}^{n+1}}}{\begin{vmatrix}a_{n}&b_{1}&b_{2}&\cdots &b_{n}\\a_{n-1}&b_{0}&b_{1}&\cdots &b_{n-1}\\a_{n-2}&0&b_{0}&\cdots &b_{n-2}\\\vdots &\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\a_{0}&0&0&\cdots &b_{0}\end{vmatrix}}}$$

差別化と統合

関数が上記のように冪級数として与えられると、収束領域の内部で微分可能になります。微分と積分はどちらも関数の線型変換であるため、各項を個別に扱うことで 微分と積分が可能です。${\displaystyle f(x)}$ $${\displaystyle {\begin{aligned}f'(x)&=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n(x-c)^{n-1}=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n+1}(n+1)(x-c)^{n},\\\int f(x)\,dx&=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}(x-c)^{n+1}}{n+1}}+k=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {a_{n-1}(x-c)^{n}}{n}}+k.\end{aligned}}}$$

これら両方のシリーズは、元のシリーズと同じ収束半径を持ちます。

解析関数

RまたはCの開部分集合U上で定義された関数fは、局所的に収束する冪級数で与えられるとき、解析的であると呼ばれる。これは、任意のa ∈ Uには開近傍V ⊆ Uが存在し、任意のx ∈ Vに対してf ( x )に収束する中心aを持つ冪級数が存在することを意味する。

正の収束半径を持つすべての冪級数は、その収束領域の内部において解析的である。すべての正則関数は複素解析的である。解析関数の和と積は解析的であり、分母がゼロでない限り商も同様である。

関数が解析的であれば無限微分可能であるが、現実の場合、その逆は一般には成り立たない。解析関数の場合、係数a _{n は}次のように計算できる 。$${\displaystyle a_{n}={\frac {f^{\left(n\right)}\left(c\right)}{n!}}}$$

ここで、 はcにおけるfのn次導関数、を表します。これは、すべての解析関数が局所的にはテイラー級数で表されることを意味します。 ${\displaystyle f^{(n)}(c)}$ ${\displaystyle f^{(0)}(c)=f(c)}$

解析関数のグローバル形式は、次の意味でそのローカル動作によって完全に決定されます。fとgが同じ連結開集合U上で定義された 2 つの解析関数であり、すべてのn ≥ 0に対してf ^{( n )} ( c ) = g ^{( n )} ( c )となるような要素c ∈ Uが存在する場合、すべてのx ∈ Uに対してf ( x ) = g ( x )となります。

収束半径rの冪級数が与えられた場合、その級数の解析接続、すなわち{ x | | x − c | < r }よりも大きな集合上で定義され、この集合上の与えられた冪級数と一致する解析関数fを考えることができる。数rが最大となるのは、次の意味でである。すなわち、 | x − c | = rを満たす複素数xが存在し、その級数の解析接続がxにおいて定義されないということである。

解析関数の逆関数のべき級数展開は、ラグランジュの逆定理を使用して決定できます。

境界付近の行動

正の収束半径を持つべき級数の和は、収束円板の内部のあらゆる点において解析関数となる。しかし、収束円板の境界上の点では異なる挙動を示す場合がある。例えば、

1. 和が解析関数 に拡張される一方で発散する：の収束半径は に等しく、 のすべての点で発散する。しかし、 における和はであり、 を除く平面上のすべての点で解析的である。${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }z^{n}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\displaystyle |z|<1}$ ${\textstyle {\frac {1}{1-z}}}$ ${\displaystyle z=1}$
2. いくつかの点では収束し、他の点では発散する：収束半径は です。 では収束しますが、 では発散します。${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle z=-1}$ ${\displaystyle z=1}$
3. 境界 のすべての点で絶対収束:は収束半径 を持ちますが、超調和収束級数に適用されたワイエルシュトラスの M テストにより、 のすべての点で絶対かつ一様に収束します。${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{2}}}}$ ${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |z|=1}$ ${\textstyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{2}}}}$
4. 収束円板の閉包上で収束するが、和は連続しない：シェルピンスキは、収束半径 を持つ冪級数の例^{[ 3 ]}を示した。この冪級数は のすべての点で収束するが、和は非有界関数であり、特に不連続である。境界点における片側連続性の十分条件は、アーベルの定理によって与えられる。${\displaystyle 1}$ ${\displaystyle |z|=1}$

シリーズの生成

任意の数の列にその生成数列 または指数生成数列を関連付けることは一般的である。${\displaystyle (a_{0},a_{1},\ldots .a_{n},\ldots )}$ $${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }a_{n}x^{n}}$$ $${\displaystyle \textstyle \sum _{n=0}^{\infty }{\frac {a_{n}}{n!}}x^{n}.}$$

収束半径が正のとき、級数は解析関数を定義します。生成級数とそれが定義する解析関数は、数値級数とその漸近的挙動を研究するための強力なツールです。これは特に解析的組合せ論において用いられ、そこでは複素解析の全能力を用いて、与えられた型の組み合わせ構造の数をその大きさの関数として正確に推定します。

形式冪級数

抽象代数学では、実数体や複素数体に限定されることなく、また収束性を論じる必要もなく、冪級数の本質を捉えようと試みます。これは、代数的組合せ論において非常に有用な概念である形式冪級数の概念につながります。

複数変数のべき級数

多変数微積分学では、理論の拡張が必要である。ここで、べき級数は、 という形式の無限級数として定義される。 ここで、 j = ( j ₁ , …, j _n )は自然数のベクトル、係数a _{( j 1 , …, j n )}は通常実数または複素数、中心c = ( c ₁ , …, c _n )と偏角x = ( x ₁ , …, x _n )は通常実数または複素数ベクトルである。記号 は積の記号で、乗算を表す。より便利な多重添字表記法では、これは と書くことができ、 は自然数の集合であり 、は順序付けられたn組の自然数の集合である。 $${\displaystyle f(x_{1},\dots ,x_{n})=\sum _{j_{1},\dots ,j_{n}=0}^{\infty }a_{j_{1},\dots ,j_{n}}\prod _{k=1}^{n}(x_{k}-c_{k})^{j_{k}},}$$ ${\displaystyle \Pi }$ $${\displaystyle f(x)=\sum _{\alpha \in \mathbb {N} ^{n}}a_{\alpha }(x-c)^{\alpha }.}$$ ${\displaystyle \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \mathbb {N} ^{n}}$

このような級数の理論は一変数級数よりも複雑で、収束領域がより複雑です。例えば、べき級数は2つの双曲線の間の集合において絶対収束します。（これは、上の領域にある点の集合が凸集合であるという意味で、対数凸集合の例です。より一般的には、c=0のとき、絶対収束領域の内部は常にこの意味で対数凸集合であることを示すことができます。）一方、この収束領域の内部では、通常のべき級数と同様に、級数の符号の下で微分・積分を行うことができます。^{[ 4 ]}${\textstyle \sum _{n=0}^{\infty }x_{1}^{n}x_{2}^{n}}$ ${\displaystyle \{(x_{1},x_{2}):|x_{1}x_{2}|<1\}}$ ${\displaystyle (\log |x_{1}|,\log |x_{2}|)}$ ${\displaystyle (x_{1},x_{2})}$

べき級数の順序

α_をべき級数f ( x ₁ , x ₂ , …, x _n )の多重添字とする。べき級数fの位数は、 、またはf ≡ 0 のときにα ≠ 0が存在するような最小の値として定義される。特に、単変数xのべき級数f ( x ) の場合、 fの位数は、係数がゼロでないxの最小のべき乗である。この定義はローラン級数にも容易に拡張できる。 ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle r=|\alpha |=\alpha _{1}+\alpha _{2}+\cdots +\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \infty }$

注記

1. ハワード・レヴィ(1967).多項式、べき級数、微積分学. ヴァン・ノストランド. p. 24.
2. エルウィン・クライシグ著『先端工学数学』第8版、747ページ
3. ヴァツワフ・シェルピンスキー(1916)。「Sur une sériepotentielle qui, étant convergente en tout point deson cercle de convergence, représente sur ce cercle une fonction dis continue. (フランス語)」。パレルモのレンディコンティ デル チルコロ マテマティコ。４１．パレルモレンド: 187–190。土井: 10.1007/BF03018294。JFM 46.1466.03。S2CID 121218640。  
4. Beckenbach, EF (1948). 「凸関数」 .アメリカ数学会報. 54 (5): 439– 460. doi : 10.1090/S0002-9904-1948-08994-7 .

参考文献

• Solomentsev, ED (2001) [1994]、「べき級数」、数学百科事典、EMSプレス

外部リンク

• ワイスタイン、エリック W. 「形式べき級数」。MathWorld 。
• ワイスタイン、エリック W. 「べき級数」。MathWorld 。
• 複素数の累乗、 Michael Schreiber 著、Wolfram Demonstrations Project。