単一遺伝子畑

数学において、単生成体（モノジェニックたいぞう、monogene ）とは、代数体Kの元aが存在し、整数環O _KがKの部分環Z [ a ]によって生成されるようなものである。このとき、O _Kは多項式環Z [ X ]の商であり、 aの冪は冪整基底を構成する。

一元体Kでは、Kの体判別式はα の 最小多項式の判別式に等しい。

例

単一遺伝子フィールドの例には次のものがあります:

• 二次関数体:

平方自由整数の場合、d  ≡ 1 (mod 4)かつd ≡ 2 または 3 (mod 4)の場合となります。${\displaystyle K=\mathbf {Q} ({\sqrt {d}})}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle O_{K}=\mathbf {Z} [a]}$ ${\displaystyle a=(1+{\sqrt {d}})/2}$ ${\displaystyle a={\sqrt {d}}}$

• 円分体:

単位根を持つ場合、また、最大実数部分体は単素であり、整数環を持ちます。${\displaystyle K=\mathbf {Q} (\zeta )}$ ${\displaystyle \zeta }$ ${\displaystyle O_{K}=\mathbf {Z} [\zeta ].}$ ${\displaystyle \mathbf {Q} (\zeta )^{+}=\mathbf {Q} (\zeta +\zeta ^{-1})}$ ${\displaystyle \mathbf {Z} [\zeta +\zeta ^{-1}]}$

すべての二次体は一元体であるが、三次体の中には一元体ではないものが既に数多く存在する。一元体ではない数体の例として最初に発見されたのは、リヒャルト・デデキントによる多項式 の根によって生成される三次体である。 ${\displaystyle X^{3}-X^{2}-2X-8}$

参考文献

• Narkiewicz, Władysław (2004). 『代数的数の基礎理論と解析理論』（第3版）. Springer-Verlag . p. 64. ISBN 3-540-21902-1. Zbl  1159.11039 .
• ガール、イシュトヴァーン (2002)。ディオファントス方程式とべき乗積分基底。マサチューセッツ州ボストン: Birkhäuser Verlag。ISBN 978-0-8176-4271-6. Zbl  1016.11059 .