物理学において、前幾何学とは、宇宙の幾何学が発展する仮説的な構造である。いくつかの宇宙論モデルは、ビッグバン以前の前幾何学的宇宙を特徴としている。この用語は、 1960年代から1970年代にかけて、ジョン・アーチボルド・ホイーラーによって量子重力理論への可能性のある道筋として提唱された。量子力学は計量の変動を許容するため、重力と量子力学の融合には、位相や次元とは独立した、接続性に関するより基本的な一連の規則が必要であると主張された。幾何学が既知の表面の特性、つまり事前に定義された特性を持つ仮説的領域の物理学を記述できるのに対し、「前幾何学」は、空間の特性に関する単純化された古典的な仮定にそれほど強く依存しない、より深い物理学の根底にある規則を扱うことを可能にするかもしれない。
物理学界において、前幾何学に関する単一の提案が広く合意を得ている例はありません。前幾何学に関連する概念の中には、ウィーラーより古いものもあれば、ウィーラーの概説から大きく逸脱しているものの、現在でも前幾何学と関連している概念もあります。2006年の論文[1]は、それまでの前幾何学、あるいは前幾何学に近い提案の概説と批判を行いました。以下に、それらの要約を示します。
- ヒルによる離散時空
- 量子力学と特殊相対論に埋め込まれたいくつかの幾何学的概念を前提としつつ、ホイーラーのプレ幾何学を予期する提案。有理数係数のみを持つローレンツ変換の部分群が用いられる。エネルギーと運動量変数は、特定の有理数集合に制限される。量子波動関数は、エネルギー-運動量空間を一意に解釈できないため波動関数の性質は曖昧であるものの、半周期関数の特殊なケースとして現れる。
- ダディッチとピスクによる離散空間構造
- 時空はラベルのないグラフであり、その位相構造がグラフ全体を特徴づける。空間点は頂点と関連している。作用素は直線の生成または消滅を定義し、直線はフォック空間の枠組みへと発展する。この離散空間構造は時空の計量と複合幾何学的対象を前提としているため、ホイーラーの元々のプレジオメトリの概念に沿うプレジオメトリ的スキームではない。
- ウィルソンによる前幾何学的グラフ
- 時空は、非常に大きい、あるいは無限の頂点集合と、非常に大きい、あるいは無限の辺集合からなる一般化されたグラフによって記述されます。このグラフからは、多重辺を持つ頂点、ループ、有向辺など、様々な構成が生まれます。これらは、時空の計量的基盤の定式化を支えています。
- ボンベリ、リー、マイヤー、ソーキンによる因果集合
- 非常に小さなスケールにおける時空全体は、局所的に有限な要素の集合からなる因果集合であり、その半順序は巨視的時空における過去と未来の概念、そして点事象間の因果関係に結びついている。この因果順序から、多様体の微分構造と共形計量が導かれる。因果集合が多様体に埋め込まれる確率は、プランクスケールの離散的な体積基本単位から古典的な大規模連続空間への遷移を可能にする。
- アントンセンによるランダムグラフ
- 時空は、確率計算に従って生成または消滅する点（頂点に関連付けられた点）と単位長さのリンクを持つ力学グラフによって記述されます。メタ空間におけるグラフのパラメータ化によって時間が生じます。
- ケイヒルとクリンガーによるブートストラップ・ユニバース
- モナドとそれらの関係からなる反復写像は、ノードとリンクのツリーグラフになります。任意の2つのモナド間の距離の定義が定義され、これと確率的な数学的ツールから3次元空間が生まれます。
- ペレス＝ベルグリアファ、ロメロ、ヴセティッチによる公理的前幾何学
- 様々な存在論的前提は、客観的に存在する実体間の関係の結果として時空を記述する。これらの前提から、ミンコフスキー時空の位相と計量が生まれる。
- Requardtの携帯電話ネットワーク
- 空間は、密に絡み合ったノード（微分状態を持つ）と結合（0で消滅するか、1に向くかのいずれか）のサブクラスターからなるグラフで記述されます。規則は、ビッグバン以前のパターンのない混沌とした状態から、現在の安定した時空へのグラフの進化を記述します。時間は、より深い外部パラメータ「時計時間」から生じ、グラフは自然な計量構造へと導きます。
- レート、ニールセン、二宮による単純量子重力
- 時空は、3つの力学的変数、抽象単体複体の頂点、そして各頂点対に関連付けられた実数値体に基づく、より深い前幾何学的構造を持つものとして記述される。抽象単体複体は幾何学的単体複体と対応するように設定され、幾何学的単体は区分線形空間へと繋ぎ合わされる。さらに発展させると、三角形分割、リンク距離、区分線形多様体、そして時空計量が生じる。さらに、格子量子化が定式化され、時空の量子重力記述が得られる。
- Jaroszkiewicz と Eakins による量子オートマトンの世界
- 事象状態（素状態またはエンタングル状態）は、テスト（エルミート作用素）を介して位相的な関係を与えられ、事象状態に進化、不可逆的な情報獲得、そして量子的な時間の矢を付与する。宇宙の様々な時代における情報量によってテストは変化し、宇宙はオートマトンとして動作し、その構造を変化させる。そして、この量子オートマトン枠組みの中で因果集合論が展開され、標準的な量子力学における幾何学の仮定を継承する時空を記述する。
- Horzela、Kapuścik、Kempczyński、Uzes による有理数時空
- すべてのイベントを有理数座標でマッピングする方法と、これが離散時空フレームワークの理解を深めるのにどのように役立つかについての予備調査。
さらに読む
追加的または関連するプレジオメトリの提案は次のとおりです。
- 赤間敬一「前幾何学への試み：複合計量による重力」[2]
- Requardt, Mandred; Roy, Sisir. 「（量子）時空を統計的ファジィ塊幾何学として捉え、ランダム距離空間と結びつける」[3]
- シドニ、ロレンゾ「前幾何学における地平線熱力学」[4]
参考文献
- ^ Meschini; et al. (2006年8月). 「幾何学、前幾何学、そしてその先へ」.科学史・哲学研究 パートB：近代物理学史・哲学研究. 36 (3): 435– 464. arXiv : gr-qc/0411053 . Bibcode :2005SHPMP..36..435M. doi :10.1016/j.shpsb.2005.01.002. S2CID 55663184.
- ^ 赤間敬一 (1978). 「前幾何学への試み：複合計量による重力」(PDF) .理論物理学の進歩. 60 (6): 1900– 1909. doi : 10.1143/PTP.60.1900 . 2013年10月30日閲覧。
- ^ Requardt, Mandred; Roy, Sisir (2001). 「(量子)時空におけるファジー塊の統計幾何学とランダムメトリック空間との関連」.古典重力と量子重力. 18 (15): 3039– 3057. arXiv : gr-qc/0011076 . Bibcode :2001CQGra..18.3039R. doi :10.1088/0264-9381/18/15/317. S2CID 14941099.
- ^ Sidoni, Lorenzo (2013). 「プレジオメトリにおけるホライズン熱力学」. Journal of Physics: Conference Series . 410 012140. arXiv : 1211.2731 . doi :10.1088/1742-6596/410/1/012140. S2CID 118590032.
- ミスナー、ソーン、ウィーラー（「MTW」）『重力』（1971年）ISBN 978-0-7167-0344-0§44.4「幾何学ではなく、魔法の建築材料としてのプレ幾何学」、§44.5「前置詞の計算としてのプレ幾何学」
