圧力係数

流体力学において、圧力係数は流れ場全体の相対的な圧力を記述する無次元数です。圧力係数は空気力学と流体力学で用いられます。流体の流れ場内の各点は、それぞれ固有の圧力係数C _pを持ちます。

航空力学や流体力学の分野では、多くの場合、物体近傍の点における圧力係数は物体の大きさに依存しません。そのため、工学モデルを風洞や水洞で試験し、モデル周囲の重要な箇所における圧力係数を決定することができます。そして、これらの圧力係数を用いて、実物大の航空機や船舶の周囲の重要な箇所における流体圧力を高い信頼性で予測することができます。

意味

圧力係数は、水や空気などの非圧縮性流体と圧縮性流体の両方を研究するためのパラメータです。無次元係数と次元数の関係は ^{[1] [2]です。}

${\displaystyle C_{p}={p-p_{\infty } \over {\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}$

どこ：

${\displaystyle p}$ 圧力係数が評価される点における静圧である。

${\displaystyle p_{\infty }}$ 自由流中の静圧（つまり、擾乱から遠い）

${\displaystyle \rho _{\infty }}$ は自由流の密度である（海面15℃の空気の密度は1.225 ）${\displaystyle {\rm {kg/m^{3}}}}$

${\displaystyle V_{\infty }}$ 流体の自由流速度、または流体中を通過する物体の速度である。

非圧縮流れ

ベルヌーイの式を用いると、圧力係数はポテンシャル流れ（非粘性、定常）に対してさらに簡略化できる。 ^[3]

${\displaystyle C_{p}|_{M\,\approx \,0}={p-p_{\infty } \over p_{0}-p_{\infty }}={1-{\bigg (}{\frac {u}{u_{\infty }}}{\bigg )}^{2}}}$

どこ：

${\displaystyle u}$ 圧力係数が評価される点における流速である。

${\displaystyle M}$ はマッハ数であり、ゼロの極限でとられる。

${\displaystyle p_{0}}$ 流れのよどみ圧である

この関係は、速度と圧力の変動が十分に小さく、流体の密度の変動を無視できる非圧縮性流体の流れに当てはまります。この仮定は、マッハ数が約0.3未満の場合に、工学の実務において一般的に用いられます。

• ${\displaystyle C_{p}}$ ゼロは圧力が自由流圧力と同じであることを示します。
• ${\displaystyle C_{p}}$ 1はよどみ点圧力に対応し、よどみ点を示します。
• 液体の流れにおけるの最小の負の値をキャビテーション数に加算することで、キャビテーション余裕度が得られます。この余裕度が正の場合、流れは局所的に完全に液体であり、ゼロまたは負の場合、流れはキャビテーションまたは気体です。${\displaystyle C_{p}}$

グライダーの設計において、この位置は重要であり、これは、大気の垂直方向の動きには反応するが、グライダーの垂直方向の操縦には反応しない特殊な垂直速度計であるバリオメーターへの信号圧力の供給のための「総エネルギー」ポートに適した位置を示しているためです。 ${\displaystyle C_{p}=-1}$

物体の周囲の非圧縮性流体の流れ場には、1 までの正の圧力係数を持つ点と、マイナス 1 未満の係数を含む負の圧力係数を持つ点が存在します。

圧縮性流れ

空気などの圧縮性流体の流れ、特に高速流れにおいては、（動圧）はもはやよどみ点圧力と静圧の差を正確に表す尺度ではなくなります。また、よどみ点圧力が全圧に等しいという一般的な関係は、必ずしも成り立ちません。（等エントロピー流れでは常に成り立ちますが、衝撃波の存在により流れが等エントロピーから逸脱することがあります。）その結果、圧縮性流れでは圧力係数が1より大きくなることがあります。^[4]${\displaystyle {{\frac {1}{2}}\rho v^{2}}}$

摂動論

圧力係数は、自由流速度で正規化されたポテンシャル と摂動ポテンシャルを導入することによって、非回転流および等エントロピー流 に対して推定することができる。${\displaystyle C_{p}}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \phi }$ ${\displaystyle u_{\infty }}$

${\displaystyle \Phi =u_{\infty }x+\phi (x,y,z)}$

ベルヌーイの方程式を用いると、

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {\gamma }{\gamma -1}}{\frac {p}{\rho }}={\text{constant}}}$

これは次のように書き直すことができる。

${\displaystyle {\frac {\partial \Phi }{\partial t}}+{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}}+{\frac {a^{2}}{\gamma -1}}={\text{constant}}}$

音速は どこですか。${\displaystyle a}$

圧力係数は

${\displaystyle {\begin{aligned}C_{p}&={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {a}{a_{\infty }}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left({\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}({\frac {u_{\infty }^{2}}{2}}-\Phi _{t}-{\frac {\nabla \Phi \cdot \nabla \Phi }{2}})+1\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx {\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1-{\frac {\gamma -1}{a_{\infty }^{2}}}(\phi _{t}+u_{\infty }\phi _{x})\right)^{\frac {\gamma }{\gamma -1}}-1\right]\\&\approx -{\frac {2\phi _{t}}{u_{\infty }^{2}}}-{\frac {2\phi _{x}}{u_{\infty }}}\end{aligned}}}$

遠方場音速は どこですか。${\displaystyle a_{\infty }}$

局所ピストン理論

古典的なピストン理論は強力な空気力学ツールです。運動量方程式と等エントロピー摂動の仮定を用いることで、表面圧力に関する以下の基本的なピストン理論式が得られます。

${\displaystyle p=p_{\infty }\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}}$

ここで、 はダウンウォッシュ速度、は音速です。 ${\displaystyle w}$ ${\displaystyle a}$

${\displaystyle C_{p}={\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {\gamma }{2}}p_{\infty }M^{2}}}={\frac {2}{\gamma M^{2}}}\left[\left(1+{\frac {\gamma -1}{2}}{\frac {w}{a}}\right)^{\frac {2\gamma }{\gamma -1}}-1\right]}$

表面は次のように定義される。

${\displaystyle F(x,y,z,t)=z-f(x,y,t)=0}$

滑り速度境界条件は、

${\displaystyle {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}(u_{\infty }+\phi _{x},\phi _{y},\phi _{z})=V_{\text{wall}}\cdot {\frac {\nabla F}{|\nabla F|}}=-{\frac {\partial F}{\partial t}}{\frac {1}{|\nabla F|}}}$

ダウンウォッシュ速度は次のように近似される。 ${\displaystyle w}$

${\displaystyle w={\frac {\partial f}{\partial t}}+u_{\infty }{\frac {\partial f}{\partial x}}}$

極超音速流

極超音速流では、ニュートンの粒子流体理論を用いて車両の圧力係数を正確に計算することができるが、この理論は低速流では不正確であり、以下の3つの仮定に依存している。^[5]

1. 流れは直線運動する粒子の流れとしてモデル化できる。
2. 表面に衝突すると、通常の運動量はすべて失われます
3. すべての接線方向の運動量は保存され、流れは物体に沿って進む。

自由流の速度が、自由流に対して角度 で傾斜した面積 の表面に衝突する場合、法線方向の運動量の変化は、表面に入射する質量流束は で、 は自由流の空気密度です。すると、運動量流束は表面に作用する力 に等しく、ニュートンの第二法則から、次式に等しくなります。 ${\displaystyle V_{\infty }}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle \theta }$ ${\displaystyle V_{\infty }\sin \theta }$ ${\displaystyle \rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta }$ ${\displaystyle \rho _{\infty }}$ ${\displaystyle F}$

${\displaystyle F=(\rho _{\infty }V_{\infty }A\sin \theta )(V_{\infty }\sin \theta )=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}A\sin ^{2}\theta }$

表面積で割ると、単位面積あたりの力が表面圧力と自由流圧力の圧力差に等しくなることが明らかであり、次の関係が導かれます。 ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p_{\infty }}$

${\displaystyle {\frac {F}{A}}=p-p_{\infty }=\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}\sin ^{2}\theta \implies {\frac {p-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}=2\sin ^{2}\theta }$

最後の式は圧力係数として識別することができ、ニュートン理論によれば極超音速流の圧力係数は次のようになると予測されます。

${\displaystyle C_{p}=2\sin ^{2}\theta }$

非常に高速な流れや鋭い表面を持つ車両の場合、ニュートンの理論は非常に有効に機能します。

修正ニュートンの法則

ニュートン力学の理論の修正、特に鈍体に対する修正はレスター・リースによって提案された。^[6]

${\displaystyle C_{p}=C_{p,\max }\sin ^{2}\theta }$

ここで、通常の衝撃波の後ろのよどみ点における圧力係数の最大値は： ${\displaystyle C_{p,\max }}$

${\displaystyle C_{p,\max }={\frac {p_{o}-p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}={\frac {p_{\infty }}{{\frac {1}{2}}\rho _{\infty }V_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left({\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}-1\right)}$

ここで、 はよどみ点圧力、は比熱比です。最後の関係式は理想気体の法則、マッハ数、および音速から得られます。熱的に完全な垂直衝撃波に対するレイリー・ピトー管の式によれば、よどみ点圧力と自由流圧力の比は次のようになります。 ${\displaystyle p_{o}}$ ${\displaystyle \gamma }$ ${\displaystyle p=\rho RT}$ ${\displaystyle M=V/a}$ ${\displaystyle a={\sqrt {\gamma RT}}}$

${\displaystyle {\frac {p_{o}}{p_{\infty }}}=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]}$

したがって、修正ニュートンの法則の最大圧力係数は次のようになります。

${\displaystyle C_{p,\max }={\frac {2}{\gamma M_{\infty }^{2}}}\left\{\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}M_{\infty }^{2}}{4\gamma M_{\infty }^{2}-2(\gamma -1)}}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left[{\frac {\gamma (2M_{\infty }^{2}-1)+1}{\gamma +1}}\right]-1\right\}}$

の極限では、最大圧力係数は次のようになります。 ${\displaystyle M_{\infty }\rightarrow \infty }$

${\displaystyle C_{p,\max }=\left[{\frac {(\gamma +1)^{2}}{4\gamma }}\right]^{\gamma /(\gamma -1)}\left({\frac {4}{\gamma +1}}\right)}$

そして、、として、非常に高速な速度におけるニュートン理論から圧力係数を復元します。修正ニュートン理論は、鈍い物体上の圧力分布を計算する際に、ニュートンモデルよりも大幅に正確です。^[5]${\displaystyle \gamma \rightarrow 1}$ ${\displaystyle C_{p,\max }=2}$

圧力分布

特定の迎え角における翼型は、いわゆる圧力分布を持ちます。この圧力分布とは、翼型周囲のあらゆる点における圧力のことです。通常、これらの分布のグラフは、負の数値がグラフの上方に位置するように描かれます。これは、翼型の上面の圧力が通常ゼロよりさらに低いため、グラフの一番上の線となるためです。 ${\displaystyle C_{p}}$

空気力学的係数との関係

3つの空力係数はすべて、翼弦に沿った圧力係数曲線の積分です。厳密に水平面を持つ2次元翼断面の揚力係数は、圧力分布係数から積分、つまり分布上の線間の面積を計算することで計算できます。この式は圧力誘起揚力の方向を考慮していないため、揚力近似のパネル法を用いた直接数値積分には適していません。この式は迎え角がゼロの場合にのみ成り立ちます。

${\displaystyle C_{l}={\frac {1}{x_{TE}-x_{LE}}}\int \limits _{x_{LE}}^{x_{TE}}\left(C_{p_{l}}(x)-C_{p_{u}}(x)\right)dx}$

どこ：

${\displaystyle C_{p_{l}}}$ 下面の圧力係数

${\displaystyle C_{p_{u}}}$ 上面の圧力係数

${\displaystyle x_{LE}}$ 先端の位置

${\displaystyle x_{TE}}$ 後縁の位置

分布において下面が高い（より負の値）場合、揚力ではなく下向きの力が生じるため、負の領域としてカウントされます。 ${\displaystyle C_{p}}$

参照

• 揚力係数
• 抗力係数
• ピッチングモーメント係数

参考文献

1. LJ Clancy (1975)空気力学、§ 3.6、Pitman Publishing Limited、ロンドン。ISBN 0-273-01120-0
2. アボットとフォン・デンホフ、「翼断面理論」、式2.24
3. アンダーソン、ジョンD.『空気力学の基礎』第4版、ニューヨーク：マグロウヒル、2007年、219。
4. 「極超音速マッハ数におけるウェッジとコーンの空力特性」（PDF）。2016年3月4日時点のオリジナル（PDF）からアーカイブ。
5. Anderson, Jr., John D. (2019).極超音速および高温気体力学. AIAA教育シリーズ（第3版）. アメリカ航空宇宙学会. pp.  58– 67. ISBN 978-1-62410-514-2。
6. Lees, Lester (1955). 「極超音速流」 . Journal of Spacecraft and Rockets . 40 (5). ロサンゼルス: Institute of Aeronautical Sciences: 241– 276. doi :10.2514/2.6897. ISSN  0022-4650.

さらに読む

• Abbott, IH および Von Doenhoff, AE (1959)翼断面理論、Dover Publications, Inc. ニューヨーク、標準書籍番号 486-60586-8
• アンダーソン、ジョン・D（2001）『空気力学の基礎』第3版、マグロウヒル。ISBN 0-07-237335-0