プレウェルオーダーリング

推移的な 二項関係 v t e
対称的 反対称 接続 根拠がしっかりしている 結合あり 会う 反射的 非反射的 非対称 トータル、 セミコネックス 反 反射的 同値関係 Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 予約注文（準予約注文） ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 半順序 ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 合計予約数 ✗ ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ 合計注文 ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ プレウェルオーダーリング ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 準秩序性 ✗ ✗ ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 整然とした ✗ Y Y Y ✗ ✗ Y ✗ ✗ 格子 ✗ Y ✗ ✗ Y Y Y ✗ ✗ 半格子結合 ✗ Y ✗ ✗ Y ✗ Y ✗ ✗ ミートセミラティス ✗ Y ✗ ✗ ✗ Y Y ✗ ✗ 厳密な半順序 ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 厳密な弱い順序 ✗ Y ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 厳密な全順序 ✗ Y Y ✗ ✗ ✗ ✗ Y Y 対称的 反対称 接続 根拠がしっかりしている 結合あり 会う 反射的 非反射的 非対称 定義、 すべての人と${\displaystyle a,b}$ ${\displaystyle S\neq \varnothing :}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}&aRb\\\Rightarrow {}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb{\text{ and }}&bRa\\\Rightarrow a={}&b\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ or }}&bRa\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}\min S\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\vee b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}a\wedge b\\{\text{exists}}\end{aligned}}}$ ${\displaystyle aRa}$ ${\displaystyle {\text{not }}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{aligned}aRb\Rightarrow \\{\text{not }}bRa\end{aligned}}}$
Y列の特性が行の項（一番左）に対して常に真であることを示します。一方、 ✗は、その特性が 一般的には保証されていない（成り立つかどうかはわからない）ことを示します。例えば、すべての同値関係は対称的であるが、必ずしも反対称的であるとは限らないことは、「対称」列では 、また「反対称」列では ✗ で示されます。Y すべての定義では、同次関係が 推移的であることが暗黙的に要求されます。つまり、すべての条件が満たされ、条件が満たされると、 用語の定義には、この表に記載されていない追加のプロパティが必要になる場合があります。 ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle a,b,c,}$ ${\displaystyle aRb}$ ${\displaystyle bRc}$ ${\displaystyle aRc.}$

集合論において、集合上のprewellorderingは、上のpreordering (上の推移的かつ反射的な関係)であり、強く連結されており(つまり、任意の 2 つの点が比較可能)、によって定義される誘導関係がwell-founded 関係であるという意味でwell-founded です。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x\leq y{\text{ and }}y\nleq x}$

セットの事前注文

集合上の前ウェル順序とは、以下の条件を満たす同次二項関係である。 ^[1] ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$

1. 反射性：すべての${\displaystyle x\leq x}$ ${\displaystyle x\in X.}$
2. 推移性：もしすべての${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle y<z}$ ${\displaystyle x<z}$ ${\displaystyle x,y,z\in X.}$
3. 合計/強く接続：またはすべて${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\leq x}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
4. 空でない部分集合に対して、すべての${\displaystyle S\subseteq X,}$ ${\displaystyle m\in S}$ ${\displaystyle m\leq s}$ ${\displaystyle s\in S.}$
   • この条件は、によって定義される誘導された厳密な順序付けが整根拠関係であることと同等です。${\displaystyle x<y}$ ${\displaystyle x\leq y}$ ${\displaystyle y\nleq x}$

上の同次二項関係が 前順序集合であることと、すべての に対して となるような整列集合への射影が存在することとが同値である。^[1]${\displaystyle \,\leq \,}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \pi :X\to Y}$ ${\displaystyle (Y,\lesssim )}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$ ${\textstyle x\leq y}$ ${\displaystyle \pi (x)\lesssim \pi (y).}$

例

非負整数の prewellordering のハッセ図。29 まで表示されています。サイクルは赤で示され、床関数を表します。${\displaystyle \lfloor x/4\rfloor \leq \lfloor y/5\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor \cdot \rfloor }$

18 までの非負整数のprewellordering のハッセ図。関連する同値関係は、各明るい赤色の四角形の数字を識別することです。${\displaystyle \lfloor x/4\rfloor \leq \lfloor y/4\rfloor }$ ${\displaystyle \lfloor x/4\rfloor =\lfloor y/4\rfloor ;}$

集合が与えられたとき、のすべての有限部分集合の集合上の二項関係が（集合の濃度を表す）によって定義され、その場合に限り、は prewellordering となる。^[1]${\displaystyle A,}$ ${\displaystyle X:=\operatorname {Finite} (A)}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle S\leq T}$ ${\displaystyle |S|\leq |T|}$ ${\displaystyle |\cdot |}$

プロパティ

が 上の prewellordering である場合、 によって定義される 関係は上の同値関係 であり、商 上のwellorderingを誘導します。この誘導された wellordering の順序型は順序数 であり 、prewellorderingの長さと呼ばれます 。${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \sim }$ $${\displaystyle x\sim y{\text{ if and only if }}x\leq y\land y\leq x}$$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle X/{\sim }.}$

集合上のノルムは、順序数から への写像である。すべてのノルムは前ウェル順序付けを誘導する。がノルムである場合、関連する前ウェル順序付けは で与えられる。 逆に、すべての前ウェル順序付けは、唯一の正則ノルム によって誘導される（ノルムが正則とは、任意のおよび任意の に対して となるようなが存在する場合である）。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \phi :X\to Ord}$ $${\displaystyle x\leq y{\text{ if and only if }}\phi (x)\leq \phi (y)}$$ ${\displaystyle \phi :X\to Ord}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle \alpha <\phi (x),}$ ${\displaystyle y\in X}$ ${\displaystyle \phi (y)=\alpha }$

前ウェル順序付け特性

がポーランド空間の何らかの集合の部分集合の点類で、直積の下で閉じている場合、が の何らかの要素の何らかの部分集合の prewellordering である場合、 は の- prewellorderingであると言われます。この場合、 と の関係は の要素です。${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle {\mathcal {F}},}$ ${\displaystyle \leq }$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle <^{*}}$ ${\displaystyle \leq ^{*}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$ ${\displaystyle x,y\in X,}$

1. ${\displaystyle x<^{*}y{\text{ if and only if }}x\in P\land (y\notin P\lor (x\leq y\land y\not \leq x))}$
2. ${\displaystyle x\leq ^{*}y{\text{ if and only if }}x\in P\land (y\notin P\lor x\leq y)}$

${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ のすべての集合が-prewellordering を許容する場合、 はprewellordering 特性を持つと言われます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$

プレウェル順序付けプロパティは、より強いスケール プロパティと関連しています。実際には、プレウェル順序付けプロパティを持つ多くのポイントクラスはスケール プロパティも持っているため、より強い結論を導き出すことができます。

例

${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$ と はどちらも prewellordering 特性を持ちます。これはZFCのみで証明可能です。十分な大きさの基数を仮定すると、任意のとに対して prewellordering 特性を持ちます。 ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2}^{1}}$ ${\displaystyle n\in \omega ,}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{2n+1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{2n+2}^{1}}$

結果

削減

が前井戸順序付け特性を持つ適切な点類である場合、それは縮約特性も持つ：任意の空間と任意の集合に対して、和集合の両方は、両方の集合に分割することができ、${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A,B\subseteq X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$ ${\displaystyle A\cup B}$ ${\displaystyle A^{*},B^{*},}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$ ${\displaystyle A^{*}\subseteq A}$ ${\displaystyle B^{*}\subseteq B.}$

分離

が適切な点類であり、その双対点類が前井戸順序性を持つ場合、分離性を持つ。任意の空間と任意の集合および素集合の両方が に含まれる場合、その補集合の両方が に含まれる集合が存在し、${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }}}$ ${\displaystyle X\in {\mathcal {F}}}$ ${\displaystyle A,B\subseteq X,}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$ ${\displaystyle C\subseteq X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X\setminus C}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Gamma }},}$ ${\displaystyle A\subseteq C}$ ${\displaystyle B\cap C=\varnothing .}$

例えば、は前井戸順序性を持つので、 は分離性を持つ。これは、 と があるポーランド空間の互いに素な解析的部分集合であるとき、を含み、 と と互いに素であるようなのボレル部分集合が存在することを意味する。${\displaystyle {\boldsymbol {\Pi }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle {\boldsymbol {\Sigma }}_{1}^{1}}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$ ${\displaystyle X,}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B.}$

参照

• 記述的集合論 – 数理論理学のサブフィールド
• 次数付きポセット– 次数付きポセットは、ノルムを持つ前ウェル順序付けに類似しており、順序数への写像を自然数への写像に置き換えたものである。
• スケールプロパティ

参考文献

1. Moschovakis 2006、106ページ。

• モスコヴァキス、ヤニス・N. (1980).記述的集合論. アムステルダム: 北ホラント. ISBN 978-0-08-096319-8. OCLC  499778252。
• モスコヴァキス、ヤニス・N. (2006).集合論に関するノート. ニューヨーク: シュプリンガー. ISBN 978-0-387-31609-3. OCLC  209913560.