プライムイデアル

整数イデアルの格子の一部を示すハッセ図。紫色のノードは素イデアルを示す。紫色と緑色のノードは半素イデアル、紫色と青色のノードは素イデアルである。${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

代数学において、素イデアルとは、整数環において素数の多くの重要な性質を共有する環の部分集合である。^{[ 1 ] [ 2 ]}整数の素イデアルとは、与えられた素数のすべての倍数と零イデアルを含む集合である。

原始イデアルは素数であり、素イデアルは原始的かつ半素数でもあります。

可換環の素イデアル

意味

可換環RのイデアルPは、 次の 2 つの特性を持つ場合、 素数となります。

• aとbがRの2つの要素であり、それらの積abがPの要素である場合、aはPに含まれるか、bはPに含まれる。
• Pは環R全体ではありません。

これは、ユークリッドの補題として知られる素数の次の性質を一般化したものである。pが素数であり、pが2つの整数の積abを割り切るならば、pはaを割り切るか、pはbを割り切る。したがって、

正の整数nが素数であるのは、 nが素イデアルである場合に限ります。${\displaystyle n\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$

可換環Rの素イデアルの集合は、その（素）スペクトルと呼ばれ、 と表記される。文脈によっては、この用語と表記法は、位相と環層という追加の構造を備えた素イデアルの集合を指すためにも用いられる。これらの構造によって、 R はアフィンスキームと呼ばれる幾何学的オブジェクトとなる。 ${\displaystyle \mathrm {Spec} \R}$

代替定義

同等で、おそらく理解しやすい定義は次のとおりです。

R を可換環とする。Rの真イデアルIが素数であるとは、次の性質を 満たすときである。

• a I${\displaystyle \notin }$ かつb I${\displaystyle \notin }$ ならば、ab I${\displaystyle \notin }$ 。

このプロパティは、逆説を使用して導出されたため、上記で使用した標準定義と数学的に同等です。

例

• 簡単な例: 環において、偶数の部分集合は素イデアルです。${\displaystyle R=\mathbb {Z} ,}$
• 整域 が与えられた場合、任意の素元は主素イデアルを生成する。例えば、ある体上の多項式環 の既約多項式 を考える。アイゼンシュタインの整域に関する基準（したがってUFD ）は、多項式環の元が既約であるかどうかを判断するのに有効である。${\displaystyle R}$ ${\displaystyle p\in R}$ ${\displaystyle (p)}$ ${\displaystyle f(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ ${\displaystyle \mathbb {F} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$
• R が複素係数を持つ2変数の多項式環を表す場合、多項式Y ² − X ³ − X − 1によって生成されるイデアルは素イデアルです（楕円曲線を参照）。${\displaystyle \mathbb {C} [X,Y]}$
• 整数係数を持つすべての多項式環において、 2とXによって生成されるイデアルは素イデアルである。このイデアルは、の元を2倍し、それをX倍した別の多項式（後者の多項式の定数係数を線形係数に変換する）に加算して構成されるすべての多項式から構成される。したがって、結果として得られるイデアルは、定数係数が偶数であるすべての多項式から構成される。${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$ ${\displaystyle \mathbb {Z} [X]}$
• 任意の環Rにおいて、極大イデアルとは、 Rの真イデアル全体の集合において極大となるイデアルMのことである。つまり、MはRのちょうど2つのイデアル、すなわちM自身と環R全体に含まれる。すべての極大イデアルは素イデアルである。主イデアル領域においては、すべての非零素イデアルは極大であるが、これは一般には当てはまらない。UFD の場合、ヒルベルトの零点定理によれば、すべての極大イデアルは次の形式をとる。${\displaystyle \mathbb {C} [x_{1},\ldots ,x_{n}]}$ ${\displaystyle (x_{1}-\alpha _{1},\ldots ,x_{n}-\alpha _{n}).}$
• Mが滑らかな多様体、RがM上の滑らかな実関数の環、x がM内の点である場合、 f ( x ) = 0 を満たすすべての滑らかな関数fの集合は、 Rにおいて素イデアル（最大イデアルも含む）を形成します。

非例

• 次の2つの商の合成を考えてみましょう

${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1)}}\to {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}}$

最初の2つの環は整域である（実際、最初の環はUFDである）が、最後の環は整域ではない。なぜなら、

${\displaystyle {\frac {\mathbb {C} [x,y]}{(x^{2}+y^{2}-1,x)}}\cong {\frac {\mathbb {C} [y]}{(y^{2}-1)}}\cong \mathbb {C} \times \mathbb {C} }$

は に因数分解されるため、商環に零因子が存在することを意味し、 と同型になることを防ぎ、代わりに と同型になります(中国剰余定理により)。${\displaystyle (y^{2}-1)}$ ${\displaystyle (y-1)(y+1)}$ ${\displaystyle \mathbb {C} }$ ${\displaystyle \mathbb {C} \times \mathbb {C} }$

これは、イデアルが素数ではないことを示しています。（以下にリストされている最初の特性を参照してください。）${\displaystyle (x^{2}+y^{2}-1,x)\subset \mathbb {C} [x,y]}$

• もう一つの非例は理想である。${\displaystyle (2,x^{2}+5)\subset \mathbb {Z} [x]}$

${\displaystyle x^{2}+5-2\cdot 3=(x-1)(x+1)\in (2,x^{2}+5)}$

しかし、どちらも理想の要素ではありません。${\displaystyle x-1}$ ${\displaystyle x+1}$

プロパティ

• 環RのイデアルI（単位元）が素環となることと、因数環R / Iが整域となることは同値である。特に、可換環（単位元 ）が整域となることと、(0)が素イデアルとなることは同値である。（零環には素イデアルは存在しない。なぜなら、イデアル (0) は環全体だからである。）
• イデアルIが素数となるのは、その集合論的補集合が乗法的に閉じている場合に限ります。^{[ 3 ]}
• すべての非ゼロ環には少なくとも 1 つの素イデアル (実際には少なくとも 1 つの最大イデアル) が含まれます。これは、クルルの定理の直接的な結果です。
• より一般的には、S がRの任意の乗法的に閉集合である場合、本質的にクルルによる補題は、Sと互いに素であることに関してRの最大のイデアルが存在し、さらにそのイデアルは素でなければならないことを示す。これは非可換環にさらに一般化できる（下記参照）。^{[ 4 ]} S = {1}の場合、クルルの定理が成立し、これによってRの最大イデアルが復元される。もう一つの典型的な m-system は、非冪零元のすべての正の冪の集合{ x , x ² , x ³ , x ⁴ , ...}である。
• 環準同型による素イデアルの逆像は素イデアルである。この類似の事実は極大イデアルについては必ずしも成り立たない。これが代数幾何学者が環のスペクトルを極大イデアルではなく素イデアルの集合として定義する理由の一つである。環の準同型は、それらのスペクトル間の写像を与えることが求められる。
• 素イデアル全体の集合（環のスペクトルと呼ばれる）には、極小元（極小素イデアルと呼ばれる）が含まれる。幾何学的には、これらはスペクトルの既約成分に対応する。
• 2つの素イデアルの和は必ずしも素数ではありません。例えば、素イデアルP = ( x ² + y ² − 1)とQ = ( x ) （それぞれx ² + y ² − 1とxによって生成されるイデアル）を持つ環を考えます。これらの和P + Q = ( x ² + y ² − 1, x ) = ( y ² − 1, x )は素数ではありません。y ² − 1 = ( y − 1)( y + 1) ∈ P + Qですが、その2つの因数は素数ではありません。あるいは、商環には零因子が存在するため整域ではなく、したがってP + Qは素数ではありません。${\displaystyle \mathbb {C} [x,y]}$
• 2 つのイデアルに因数分解できないイデアルはすべて素イデアルであるとは限りません。たとえば、因数分解できないが素イデアルではないなどです。${\displaystyle (x,y^{2})\subset \mathbb {R} [x,y]}$
• 少なくとも2つの元を持つ可換環Rにおいて、すべての真イデアルが素数であれば、環は体である。（イデアル（0）が素数であれば、環Rは整域である。qがRの任意の非零元であり、イデアル（q ²）が素数であれば、qはqを含み、qは逆である。）
• 非零の主イデアルが素数となるのは、それが素元によって生成される場合に限られます。UFDでは、すべての非零の素イデアルには素元が含まれます。

用途

素イデアルの用法の一つは代数幾何学において見られる。代数幾何学では、多様体は多項式環のイデアルの零集合として定義される。既約多様体は素イデアルに対応することが分かっている。現代の抽象的アプローチでは、任意の可換環から出発し、その素イデアルの集合（スペクトルとも呼ばれる）を位相空間に変換することで、スキームと呼ばれる多様体の一般化を定義することができる。スキームは幾何学だけでなく数論にも応用されている。

代数的整数論における素イデアルの導入は大きな前進であった。算術の基本定理で表現される一意因数分解の重要な性質は代数的整数のすべての環で成り立つわけではないことが認識されたが、リヒャルト・デデキントが元をイデアルに、素元を素イデアルに置き換えることで代替物が見つかった（デデキント域を参照）。

非可換環の素イデアル

素イデアルの概念は、可換定義を「イデアル単位」で用いることで、非可換環にも一般化できる。ヴォルフガング・クルルはこの考えを1928年に提唱した。^{[ 5 ]以下の内容は、グッドアール[ 6 ]}やラム^{[ 7 ]}などの文献に見られる。Rが（おそらく非可換な）環であり、PがRの真イデアルであるとき、 Rの任意の2つのイデアルAとBに対して、 Pが素数であるとは、次の条件を満たすことを言う。

• イデアルABの積がPに含まれる場合、 AとBの少なくとも 1 つはPに含まれます。

この定義は可換環における可換定義と同値であることが示せます。非可換環Rのイデアルが可換な素数定義を満たす場合、非可換版も満たすことは容易に証明できます。可換な素数定義を満たすイデアルP は、環内の他の単なる素イデアルと区別するために、完全に素なイデアルと呼ばれることがあります。完全に素なイデアルは素イデアルですが、その逆は成り立ちません。例えば、体上のn × n行列の環における零イデアルは素イデアルですが、完全に素ではありません。

これは、イデアルをイデアル数とみなす歴史的な観点に近いもので、環の場合、「AはPに含まれる」というのは「 P はAを割り切る」という言い方と同じであり、単位イデアルR は統一を表します。 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

理想的なP ≠ Rが素数であることの同等の定式化には、次の特性が含まれます。

• Rのすべてのaとbについて、( a )( b ) ⊆ P はa ∈ Pまたはb ∈ Pを意味します。
• Rの任意の 2 つの右イデアルについて、AB ⊆ PはA ⊆ PまたはB ⊆ Pを意味します。
• Rの任意の 2 つの左イデアルについて、AB ⊆ PはA ⊆ PまたはB ⊆ Pを意味します。
• Rの任意の要素aとbについて、aRb ⊆ Pであれば、a ∈ Pまたはb ∈ Pです。

可換環の素イデアルはRに乗法的に閉じた補集合を持つという特徴があり、若干の修正を加えることで非可換環の素イデアルに対しても同様の特徴付けを定式化できる。空でない部分集合S ⊆ Rがm-システムと呼ばれるのは、 Sの任意のaとbに対して、 Rにrが存在してarbがSに含まれるような場合である。^{[ 8 ]}上記の同値な条件のリストに以下の項目を追加することができる。

• 補集合R ∖ Pは m-システムです。

例

• あらゆる原始イデアルは素数である。
• 可換環と同様に、極大イデアルは素であり、また素イデアルには極小素イデアルが含まれます。
• 環が素環となるのは、零イデアルが素イデアルである場合に限ります。また、環が整域となるのは、零イデアルが完全に素イデアルである場合に限ります。
• 非可換理論に反映されている可換理論からのもう 1 つの事実は、A が非ゼロのR加群であり、PがAのサブ加群の消滅イデアルの半集合における最大元である場合、Pは素数であるということです。

重要な事実

• 素数回避補題。Rが可換環、 A が部分環（単位元を持たない可能性もある）であり、 I ₁ , ..., I _nがRのイデアルの集合で最大2つの要素が素数でないとすると、 A がどのI _jにも含まれない場合、 I ₁ , ..., I _nの和集合にも含まれない。 ^{[ 9 ]}特に、 A はRのイデアルになり得る。
• SがRの任意の m-システムである場合、本質的に Krull による補題は、Sと分離していることに関して最大​​のRのイデアルIが存在し、さらにイデアルI は素でなければならないことを示しています ( Iの素数は次のように証明できます。 の場合、 Iの最大値によりとなる元が存在する。ここで、の場合、 となり、これは矛盾です)。^{[ 4 ]} S = {1}の場合、 Krull の定理 が得られ、これによってRの最大イデアルが復元されます。もう 1 つの典型的な m-システムは、非冪零元のすべての正の冪の集合{ x、x ²、x ³、x ⁴、...}です。${\displaystyle a,b\not \in I}$ ${\displaystyle s,t\in S}$ ${\displaystyle s\in I+(a),t\in I+(b)}$ ${\displaystyle (a)(b)\subset I}$ ${\displaystyle st\in (I+(a))(I+(b))\subset I+(a)(b)\subset I}$
• 素イデアルPに対して、補集合R ∖ P はm-システムであることに加えて別の性質を持つ。xyがR ∖ Pに属するならば、Pはイデアルなので、xとy は両方ともR ∖ Pに属する必要がある。その元の約数を含む集合は飽和集合と呼ばれる。
• 可換環Rについては、前の命題の逆のようなものが存在する: S がRの任意の空でない飽和かつ乗法的に閉じた部分集合であるとき、その補集合R ∖ SはRの素イデアルの和集合である。^{[ 10 ]}
• 素イデアルの連鎖の要素の交わりは素イデアルであり、可換環においては素イデアルの連鎖の要素の和も素イデアルである。ツォルンの補題を用いると、これらの観察は、可換環の素イデアルの半集合（包含によって部分的に順序付けられている）が極大元と極小元を持つことを意味する。

最大化へのつながり

素イデアルは、特定のイデアルの集合の最大元として生成されることが多い。例えば、

• 固定された m システムとの空の交差を持つことに関する理想的な最大値は素数です。
• 固定されたR加群Mのサブ加群の消滅子間の理想的な最大値は素数です。
• 可換環において、非主環であることに関するイデアル極大値は素数である。^{[ 11 ]}
• 可換環において、可算生成でないというイデアル極大値は素数である。^{[ 12 ]}

参照

• 急進的な理想
• 最大理想
• デデキント・クンマーの定理
• 残留フィールド

参考文献

1. ダミット, デイビッド・S.; フット, リチャード・M. (2004). 『抽象代数（第3版）』John Wiley & Sons . ISBN 0-471-43334-9。
2. ラング、セルジュ(2002).代数学.大学院数学テキスト.シュプリンガー. ISBN 0-387-95385-X。
3. リード、マイルズ(1996). 『学部生のための可換代数』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 0-521-45889-7。
4. ラム『非可換環論入門』 156ページ
5. Krull、Wolfgang、 Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen、Sitzungsberichte Heidelberg。アカド。 Wissenschaft (1928)、7. Abhandl.、3-14。
6. グッドアール「非可換ネーター環入門」
7. ラム『非可換環論入門』
8. 明らかに、乗法的に閉じた集合は m-システムです。
9. ジェイコブソン『基礎代数II』390ページ
10. カプランスキー可換環、p. 2
11. Kaplansky可換環、p. 10、例10。
12. Kaplansky可換環、p. 10、例11。

さらに読む

• Goodearl, KR; Warfield, RB Jr. (2004), 『非可換ノイザン環入門』 , London Mathematical Society Student Texts, vol. 61 (2 ed.), Cambridge: Cambridge University Press, pp. xxiv+344, doi : 10.1017/CBO9780511841699 , ISBN 0-521-54537-4、MR  2080008
• ジェイコブソン、ネイサン（1989年）『Basic algebra. II（第2版）』ニューヨーク：WHフリーマン・アンド・カンパニー、pp. xviii+686、ISBN 0-7167-1933-9、MR  1009787
• カプランスキー、アーヴィング（1970）、可換環、ボストン、マサチューセッツ州：アリン＆ベーコン社、pp. x+180、MR  0254021
• ラム、TY（2001）、非可換環入門、Graduate Texts in Mathematics、第131巻（第2版）、ニューヨーク：Springer-Verlag、pp. xx+385、doi：10.1007 / 978-1-4419-8616-0、ISBN 0-387-95183-0、MR  1838439、Zbl  0980.16001
• ラム, テキサス州; Reyes、Manuel L. (2008)、「可換代数における主要な理想原理」、J. Algebra、319 (7): 3006–3027、doi : 10.1016/j.jalgebra.2007.07.016、ISSN  0021-8693、MR  2397420、Zbl  1168.13002
• 「素イデアル」、数学百科事典、EMSプレス、2001 [1994]