原始要素定理

体論において、原始元定理は、すべての有限 可分 体拡大は単純、すなわち単一の元によって生成されることを述べています。この定理は、特に、有理数体上のすべての代数体、および両方の体が有限であるすべての拡大が単純であることを意味します。

用語

を体拡大とする。の元が の原始元であるとは、すなわち のすべての元がの係数を持つ の有理関数として表せる場合である。そのような原始元が存在する場合、 は単純拡大と呼ばれる。 ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle E=F(\alpha ),}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E/F}$

体の拡大が原始元を持ち、有限次である場合、すべての元は次の形式で書くことができる。 ${\displaystyle E/F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle n=[E:F]}$ ${\displaystyle \gamma \in E}$

${\displaystyle \gamma =a_{0}+a_{1}{\alpha }+\cdots +a_{n-1}{\alpha }^{n-1},}$

一意の係数 に対して、つまり集合 ${\displaystyle a_{0},a_{1},\ldots ,a_{n-1}\in F}$

${\displaystyle \{1,\alpha ,\ldots ,{\alpha }^{n-1}\}}$

は、 F上のベクトル空間としてのEの基底である。次数nは、 F上のαの既約多項式の次数、すなわちαを根とする最小次数の唯一のモニック（ の線型従属）に等しい。 ${\displaystyle f(X)\in F[X]}$ ${\displaystyle \{1,\alpha ,\ldots ,\alpha ^{n-1},\alpha ^{n}\}}$

L がn 個の異なる根を含むの分解体である場合、およびに対してによって定義されるn個の体埋め込みが存在し、これらはガロア群におけるLの自己同型に拡張されます。実際、 を持つ拡大体に対して、元が原始元となるのは、 がある分解体 においてn個の異なる共役を持つ場合のみです。 ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{n}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}:F(\alpha )\hookrightarrow L}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\alpha _{i}}$ ${\displaystyle \sigma (a)=a}$ ${\displaystyle a\in F}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\ldots ,\sigma _{n}\in \mathrm {Gal} (L/F)}$ ${\displaystyle [E:F]=n}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle \sigma _{1}(\alpha ),\ldots ,\sigma _{n}(\alpha )}$ ${\displaystyle L\supseteq E}$

例

有理数 に2つの無理数とを付加して4次拡大体を得ると、この拡大は単純であることがわかります。つまり、単一の に対して となります。 を取ると、べき乗 1、α、α ²、α ³は、整数係数を持つ1、、、の線型結合として展開できます。この線型方程式系をとについて解くと、 と が得られます 。これは、αが確かに原始元であることを示しています。 ${\displaystyle F=\mathbb {Q} }$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle \alpha \in E}$ ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {6}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle \mathbb {Q} (\alpha )}$ ${\displaystyle {\sqrt {2}}={\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-9\alpha )}$ ${\displaystyle {\sqrt {3}}=-{\tfrac {1}{2}}(\alpha ^{3}-11\alpha )}$

${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}).}$

より一般的な議論として、次のようなものも挙げられる。^[1]体には、符号の選択ごとに とで定義される4つの体自己同型が明らかに存在する。の最小多項式はを持たなければならないので、 は少なくとも4つの異なる根を持つ必要がある。したがって は次数が少なくとも4であり であるが、これは体全体の次数であり、 なので となる 。 ${\displaystyle E=\mathbb {Q} ({\sqrt {2}},{\sqrt {3}})}$ ${\displaystyle \sigma _{1},\sigma _{2},\sigma _{3},\sigma _{4}:E\to E}$ ${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {2}})=\pm {\sqrt {2}}}$ ${\displaystyle \sigma _{i}({\sqrt {3}})=\pm {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle f(X)\in \mathbb {Q} [X]}$ ${\displaystyle \alpha ={\sqrt {2}}+{\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle f(\sigma _{i}(\alpha ))=\sigma _{i}(f(\alpha ))=0}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \sigma _{i}(\alpha )=\pm {\sqrt {2}}\pm {\sqrt {3}}}$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle [\mathbb {Q} (\alpha ):\mathbb {Q} ]\geq 4}$ ${\displaystyle [E:\mathbb {Q} ]=4}$ ${\displaystyle E=\mathbb {Q} (\alpha )}$

定理の記述

原始要素定理は次のように述べます。

有限次数のあらゆる可分体拡大は単純である。

この定理は代数体、つまり有理数Qの有限拡大に適用されます。これは、Q が特性0を持ち、したがってQ上のすべての有限拡大が分離可能であるためです。

ガロア理論の基本定理を用いると、前者の定理はシュタイニッツの定理から直ちに導かれる。

特性p

特性 pの非分離拡張の場合でも、次数 [ E  :  F ] がpであれば原始元が存在します。実際、次数は素数pの因数となるため、非自明な中間部分体は存在できません。 ${\displaystyle E/F}$

[ E  :  F ] = p ²のとき、原始元が存在しない可能性がある（その場合、シュタイニッツの定理により、中間体は無限に存在する）。最も単純な例は、 p個の元を持つ有限体上の2つの不定元TとUの有理関数体 と である。実際、 の任意の に対して、フロベニウス自己準同型により、元はFに存在するため、αは の根であり、αは（ F上の次数p ²の）原始元にはならず、代わりにF ( α ) は非自明な中間体であることが示される。 ${\displaystyle E=\mathbb {F} _{p}(T,U)}$ ${\displaystyle F=\mathbb {F} _{p}(T^{p},U^{p})}$ ${\displaystyle \alpha =g(T,U)}$ ${\displaystyle E\setminus F}$ ${\displaystyle \alpha ^{p}}$ ${\displaystyle f(X)=X^{p}-\alpha ^{p}\in F[X]}$

証拠

まず、 が無限であると仮定する。帰納法によって、任意の有限拡張が単純であることを証明すれば十分である。 に対して、 は原始元 ではないと仮定する。そうでない場合は となるので、 となる。 、 のそれぞれ上の極小多項式を考え、 とのすべての根を含む分解体を取る。 であるため、別の根 が存在し、を固定しを取る体自己同型が存在する。すると となり、以下が 得られる。${\displaystyle F}$ ${\displaystyle E=F(\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle c\in F}$ ${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$ ${\displaystyle F(\alpha )\subsetneq F(\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$ ${\displaystyle \beta =\alpha -c\gamma \in F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$ ${\displaystyle \beta ,\gamma }$ ${\displaystyle F(\alpha )}$ ${\displaystyle f(X),g(X)\in F(\alpha )[X]}$ ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle \beta ,\beta ',\ldots }$ ${\displaystyle f(X)}$ ${\displaystyle \gamma ,\gamma ',\ldots }$ ${\displaystyle g(X)}$ ${\displaystyle \gamma \notin F(\alpha )}$ ${\displaystyle \gamma '\neq \gamma }$ ${\displaystyle \sigma :L\to L}$ ${\displaystyle F(\alpha )}$ ${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$ ${\displaystyle \sigma (\alpha )=\alpha }$

${\displaystyle \beta +c\gamma =\sigma (\beta +c\gamma )=\sigma (\beta )+c\,\sigma (\gamma )}$ 、したがって 。${\displaystyle c={\frac {\sigma (\beta )-\beta }{\gamma -\sigma (\gamma )}}}$

と の可能性は有限個しかないため、 が原始元 にならないのは有限個だけです。その他の値はすべて になります。 ${\displaystyle \sigma (\beta )=\beta '}$ ${\displaystyle \sigma (\gamma )=\gamma '}$ ${\displaystyle c\in F}$ ${\displaystyle \alpha =\beta +c\gamma }$ ${\displaystyle F(\alpha )=F(\beta ,\gamma )}$

が有限である場合、単に を有限拡大体 の原始根としてとります。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha }$ ${\displaystyle E}$

歴史

1831年に出版され1846年に出版された第一回顧録^[2]で、 エヴァリスト・ガロアは有理数上の多項式の分解体の場合における古典的な原始元定理の証明を概説している。彼の概説の欠落部分は、ガロアが確かに知っていた1771年のラグランジュの定理^{[4] [5]}を利用することで簡単に埋めることができた^[3]（査読者のポアソンが指摘したように） 。ラグランジュは分解体の原始元定理をすでに知っていた可能性が高い。^{[5]ガロアはその後、この定理を}ガロア群の展開に多用した。それ以来、この定理はガロア理論の展開とガロア理論の基本定理に使用されてきた。

原始元定理は、 1910年にエルンスト・シュタイニッツによって場の理論に関する影響力のある論文の中で現代的な形で証明されました。この論文にはシュタイニッツの定理も含まれています。^[6]シュタイニッツは「古典的な」結果を原始元の定理と呼び、現代版を中間体の定理と呼びました。

エミール・アルティンは1930年代に原始元に頼らずにガロア理論を再定式化した。^{[7] [8]}

参考文献

1. ラング、セルジュ (2002). 代数学. 大学院数学テキスト. 第211巻. ニューヨーク: シュプリンガー・ニューヨーク. p. 243. doi :10.1007/978-1-4613-0041-0. ISBN 978-1-4612-6551-1。
2. ニューマン、ピーター M. (2011)。エヴァリスト・ガロアの数学的著作。チューリッヒ: ヨーロッパ数学協会。ISBN 978-3-03719-104-0. OCLC  757486602。
3. ティニョール、ジャン＝ピエール（2016年2月）『ガロアの代数方程式理論』（第2版）WORLD SCIENTIFIC. p. 231. doi :10.1142/9719. ISBN 978-981-4704-69-4. OCLC  1020698655.
4. ティニョール、ジャン＝ピエール（2016年2月）『ガロアの代数方程式理論』（第2版）WORLD SCIENTIFIC. p. 135. doi :10.1142/9719. ISBN 978-981-4704-69-4. OCLC  1020698655.
5. コックス、デビッド A. (2012)。ガロア理論(第 2 版)。ニュージャージー州ホーボーケン：ジョン・ワイリー＆サンズ。 p. 322.ISBN​ 978-1-118-21845-7. OCLC  784952441.
6. シュタイニッツ、エルンスト (1910)。「ケルパー代数理論」。Journal für die reine und angewandte Mathematik (ドイツ語)。1910 (137): 167–309 . doi :10.1515/crll.1910.137.167。ISSN  1435-5345。S2CID  120807300。
7. クライナー、イスラエル (2007). 「§4.1 ガロア理論」.抽象代数の歴史. シュプリンガー. p. 64. ISBN 978-0-8176-4685-1。
8. アルティン、エミール (1998).ガロア理論. アーサー・N・ミルグラム (ノートルダム大学出版局編集による1942年初版の1944年改訂版の再出版). ミネオラ, ニューヨーク州: Dover Publications. ISBN 0-486-62342-4. OCLC  38144376。

外部リンク

• J.ミルンの体とガロア理論に関する講義ノート
• mathreference.com の原始元定理
• planetmath.org の原始元定理
• ケン・ブラウンのウェブサイトにある原始要素定理（PDFファイル）