原始順列群

数学において、空でない有限集合Xに作用する置換群 G は、 G がXに推移的に作用し、かつGの作用が保存する分割が単一の集合または | X | 単独集合への自明な分割のみである場合、原始的と呼ばれます。そうでない場合、Gが推移的であり、かつG が非自明な分割を保存する場合、Gは原始的と呼ばれます。

原始置換群は推移的ですが、すべての推移的置換群が原始的であるとは限りません。最も単純な例は、正方形の頂点に作用するクラインの4元群で、対角線への分割が保存されます。一方、置換群が自明な分割のみを保存する場合、 2元集合に作用する自明群を除き、推移的です。これは、非推移的作用の場合、Gの軌道がGによって保存される非自明な分割を形成するか、群作用が自明であるためです。後者の場合、Xのすべての非自明な分割（| X | ≥ 3 の場合に存在する）はGによって保存されます。

この用語はエヴァリスト・ガロアが最後の手紙の中で導入したもので、ガロア群が原始的な方程式を表すためにフランス語のéquation primitiveという用語を使用しました。^[1]

プロパティ

ガロアは「原始的」という用語を導入した同じ手紙の中で、次のような定理を述べている。^[2]

G が有限集合Xに作用する原始可解群である場合、 Xの位数は素数pの冪である。さらに、X はp個の元を持つ有限体上のアフィン空間と同一視され、G はXに対してアフィン群の部分群として作用する。

Gが作用する集合Xが有限である場合、その濃度はGの次数と呼ばれます。

ガロアのこの結果の系は、p が奇数の素数である場合、次数pの可解な推移群の位数は の約数であるということです。実際、素数次数のすべての推移群は原始的であり ( Gによって固定された分割の要素の数はpの約数でなければならないため)、p個の要素を持つアフィン空間のアフィン群の濃度です。 ${\displaystyle p(p-1).}$ ${\displaystyle p(p-1)}$

したがって、p が3 より大きい素数である場合、対称群と次数pの交代群は、それらの位数が より大きいため解くことができません。このことと、対称ガロア群を持つ多項式が存在するという事実から、アーベル・ルフィニの定理が導き出されます。 ${\displaystyle p(p-1).}$

原始性の同等の定義は、群Gのすべての推移的作用が、 Gの部分群Hに対する剰余類集合G / HへのGの標準作用から生じる作用と同型であるという事実に基づいています。群作用は、 Gの最大部分群Hに対してG / Hと同型である場合に原始的であり、そうでない場合（つまり、 Gの真部分群Kが存在し、その真部分群Hが真部分群である場合）に非原始的です。これらの非原始的作用は、誘導表現の例です。

小さな次数の原始群の数は、 1937 年にロバート カーマイケルによって述べられました。

程度	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20	21	22	23	24	OEIS
番号	1	2	2	5	4	7	7	11	9	8	6	9	4	6	22	10	4	8	4	9	4	7	5	A000019

16次の原始群は数多く存在する。カーマイケルが指摘するように、^{[必要ページ数] 、}対称群と交代群を除くこれらすべての群は、 2元有限体上の4次元空間上のアフィン群のサブグループである。

例

• 集合に作用する対称群 と順列を考える${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle X=\{1,2,3\}}$

${\displaystyle \eta ={\begin{pmatrix}1&2&3\\2&3&1\end{pmatrix}}.}$

とによって生成されるグループは両方ともプリミティブです。 ${\displaystyle S_{3}}$ ${\displaystyle \eta}$

• ここで、集合に作用する対称群 と順列について考える。${\displaystyle S_{4}}$ ${\displaystyle \{1,2,3,4\}}$

${\displaystyle \sigma ={\begin{pmatrix}1&2&3&4\\2&3&4&1\end{pmatrix}}.}$

によって生成される群は原始的ではありません。なぜなら、 および の分割がのもとで保存されるからです。つまり、および です。 ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle (X_{1},X_{2})}$ ${\displaystyle X_{1}=\{1,3\}}$ ${\displaystyle X_{2}=\{2,4\}}$ ${\displaystyle \sigma }$ ${\displaystyle \sigma (X_{1})=X_{2}}$ ${\displaystyle \sigma (X_{2})=X_{1}}$

• 素次数の推移群はすべて原始的である
• 集合に作用する対称群はすべての nに対して原始的であり、集合に作用する交代群はすべてのn  > 2に対して原始的である 。${\displaystyle S_{n}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$ ${\displaystyle A_{n}}$ ${\displaystyle \{1,\ldots ,n\}}$

参照

• ブロック（順列群論）
• ジョルダンの定理（対称群）
• オナン・スコット定理、有限原始群を様々な型に分類する定理

参考文献

1. ガロアの最後の手紙: http://www.galois.ihp.fr/ressources/vie-et-oeuvre-de-galois/lettres/lettre-testament
2. ガロアは異なる用語を使用したが、これはこの文中の用語のほとんどが、ガロアが導入した概念を明確にするために後から導入されたものであるからである。

• Roney-Dougal, Colva M. 「2500 未満の次数の原始置換群」、Journal of Algebra 292 (2005)、第1号、154–183。
• GAP データ ライブラリ「プリミティブ順列群」。
• カーマイケル、ロバート・D. 『有限順序群論入門』、ギン社、ボストン、1937年。ドーバー出版、ニューヨーク、1956年再版。
• トッド・ローランド. 「原始群作用」. MathWorld .