数学において、代数的数論の一分野である類体論の主イデアル定理は、イデアルの拡張によって代数的数体の類群からそのヒルベルト類体の類群への写像が得られ、それによりすべてのイデアル類が主イデアルの類に写像されることを述べている。この現象はプリンシパル化、あるいは時にはキャピチュレーションとも呼ばれる。
正式な声明
任意の代数体 KとKの整数環の任意の イデアルIに対して、L がKのヒルベルト類体であるとき、
は主イデアルα O Lである。O LはLの整数環であり、その環には元 α がある。
歴史
主イデアル定理はデイヴィッド・ヒルベルト (1902) によって推測され、1929 年に完成した類体に関する彼のプログラムの最後の残りの部分でした。
エミール・アルティン (1927, 1929) は主イデアル定理を有限アーベル群に関する問題へと還元した。アルティンは、有限群からその導来部分群への変換が自明であれば、主イデアル定理が成り立つことを示した。この結果はフィリップ・フルトヴェングラー(1929) によって証明された。
参考文献
- Artin, Emil (1927)、「Beweis des allgemeinen Reziprozitätsgesetzes」、ハンブルク大学数学セミナーAbhandlungen aus dem Mathematischen der Universität Hamburg、5 (1): 353–363、doi :10.1007/BF02952531、S2CID 123050778
- Artin, Emil (1929)、「Idealklassen in Oberkörpern und allgemeines Reziprozitätsgesetz」、Abhandlungen aus dem Mathematischen セミナー der Universität Hamburg、7 (1): 46–51、doi :10.1007/BF02941159、S2CID 121475651
- フィリップ・フルトヴェングラー（1929年）。 「Beweis des Hauptidealsatzes fur Klassenkörper algebraischer Zahlkörper」。ハンブルク大学アブハンドルゲン数学セミナー。7 (1): 14–36 .土井:10.1007/BF02941157。JFM 55.0699.02。S2CID 123544263。
- グラス、ジョルジュ（2003）『類体理論 理論から実践へ』Springer Monographs in Mathematics. ベルリン：Springer-Verlag . ISBN 3-540-44133-6. Zbl 1019.11032。
- デイヴィッド・ヒルベルト (1902 年) [1898]、「相対性理論の相対性理論 (Abel'schen Zahlkörper)」、Acta Mathematica、26 (1): 99–131、doi : 10.1007/BF02415486
- コッホ, ヘルムート (1997).代数的数論. Encycl. Math. Sci. 第62巻 (第1版第2刷). Springer-Verlag . p. 104. ISBN 3-540-63003-1. Zbl 0819.11044。
- セール、ジャン＝ピエール（1979年）『局所場』、大学院数学テキスト、第67巻、マーヴィン・ジェイ・グリーンバーグ訳、シュプリンガー出版社、 120～ 122頁、 ISBN 0-387-90424-7. Zbl 0423.12016.
