共分散の原理

物理学では、共変性の原理は、異なる参照フレーム内の観測者によって測定値が明確に相関できる量のみを使用して物理法則を定式化することを強調しています。

数学的には、物理​​量は共変的に変換されなければならない。つまり、物理理論の許容参照フレーム間の座標変換群の特定の表現の下で変換されなければならない。[ 1 ]この群^は共分散群と呼ばれる。

共変原理は、物理法則が許容変換群の下で不変であることを要求しないが、多くの場合、方程式は確かに不変である。しかし、弱い相互作用の理論においては、方程式は反射の下で不変ではない（もちろん、それでも共変である）。

ニュートン力学における共変性

ニュートン力学では、許容される参照系は、相対速度が光速よりもはるかに小さい慣性系です。したがって時間は絶対的であり、許容される参照系間の変換はガリレイ変換であり、これは（回転、並進、反射とともに）ガリレイ群を形成します。共変物理量は、ユークリッドスカラー、ベクトル、テンソルです。共変方程式の例としては、ニュートンの運動の第2法則があります。 ここで共変量は、運動する物体の質量（スカラー）、物体の速度（ベクトル）、物体に作用する力、および不変時間です。 $${\displaystyle m{\frac {d{\vec {v}}}{dt}}={\vec {F}},}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle {\vec {v}}}$ ${\displaystyle {\vec {F}}}$ ${\displaystyle t}$

特殊相対論における共変性

特殊相対論では、許容される参照フレームはすべて慣性フレームです。フレーム間の変換はローレンツ変換で、回転、並進、反射とともにポアンカレ群を形成します。共変量はミンコフスキー空間のスカラー、4 次元ベクトルなどです(さらに、ビスピノルなどのより複雑なオブジェクトもあります)。共変方程式の例には、電磁場内の荷電粒子のローレンツ力の運動方程式 (ニュートンの第 2 法則の一般化) があります^{[引用が必要]。} ここで、 とは粒子の質量と電荷 (不変スカラー)、は不変間隔(スカラー)、は4 次元速度(4 次元ベクトル)、 は電磁場強度テンソル(4 次元テンソル) です。 $${\displaystyle m{\frac {du^{a}}{ds}}=qF^{ab}u_{b},}$$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle q}$ ${\displaystyle ds}$ ${\displaystyle u^{a}}$ ${\displaystyle F^{ab}}$

一般相対論における共変性

一般相対論において許容される参照系は、すべての参照系である。参照系間の変換は、すべて任意の（可逆かつ微分可能な）座標変換である。共変量は、多様体として捉えられた時空上で定義されるスカラー場、ベクトル場、テンソル場などである。共変方程式の主な例は、アインシュタイン場の方程式である。

参照

• 相対性原理
• ローレンツ共変性
• 一般共分散

参考文献

1. EJ Post、「電磁気学の形式的構造：一般的な共変性と電磁気学」、Dover publications。