確率的設計
適用荷重と材料強度の分布の統計的干渉。適用荷重と破壊応力は正規分布すると仮定し、破壊確率は灰色で示された重なり部分である。[ 1 ]

確率的設計は工学設計の一分野である。これは主に、設計フェーズでランダム変動が工学システムの性能に与える影響を考慮し、最小限に抑えることを取り扱う。通常、調査および最適化されるこれらの影響は品質と信頼性に関連する。これは安全係数を使用する代わりに、故障の確率が小さいと想定する点で、従来の設計手法と異なる。[ 2 ] [ 3 ]確率的設計は、故障の可能性を評価するためにさまざまなアプリケーションで使用されている。確率的設計の原理を広く使用する分野には、製品設計、品質管理、システム工学、機械設計、土木工学（特に限界状態設計で有用）、製造業などがある。

目的と動機

確率的アプローチを用いて設計する場合、設計者は各変数を単一の値や数値として考えることはなくなります。代わりに、各変数は確率分布を持つ連続した確率変数として扱われます。この観点から、確率的設計はシステムにおける変動性（または分布）の流れを予測します。[ 4 ]

材料や構造物を設計する際には、ランダム変動やシステム変動の要因が非常に多く存在するため、設計者が検討対象の要因をランダム変数としてモデル化することは非常に有益です。このモデルを考慮することで、設計者はランダム変動の流れを減らすための調整を行うことができ、ひいてはエンジニアリング品質を向上させることができます。確率論的設計アプローチの支持者は、多くの品質問題を設計初期段階で予測し、大幅にコストを削減して修正できると主張しています。[ 4 ] [ 5 ]

一般的に、確率的設計の目的は、ランダム変動の影響が最も小さい設計を特定することです。ランダム変動の最小化は、制御不能な要因を制限しながら、故障確率をより正確に決定できるため、確率的設計にとって不可欠です。これは、複数の設計オプションの中から最も堅牢であると判断された唯一の設計オプションである可能性があります。あるいは、入力変数とパラメータの最適な組み合わせを持つ、利用可能な唯一の設計オプションである可能性もあります。この後者のアプローチは、ロバスト化、パラメータ設計、またはシックスシグマ設計と呼ばれることもあります。[ 4 ]

変動の原因

物理法則は、力、応力、歪み、たわみなどの測定可能な量と変数の関係を規定していますが、これらの関係を考慮すると、依然として3つの主要な変動源があります。[ 6 ]

変動性の最初の発生源は統計的なものであり、降伏応力、ヤング率、真ひずみなどのパラメータを推定するためのサンプルサイズが限られていることに起因します。[ 7 ]測定の不確実性は、分散がサンプルサイズの逆数に比例するため、これら3つの発生源の中で最も簡単に最小化できます。

測定の不確実性による分散は補正係数 として表すことができ、これを真の平均に掛けると の測定平均が得られます。同様に、 となります。 B{\displaystyle B}X{\displaystyle X}X¯{\displaystyle {\bar {X}}}X¯＝B¯X{\displaystyle {\bar {X}}={\bar {B}}X}

これにより、結果 が得られ、補正係数の分散は次のように与えられます。 B¯＝X¯X{\displaystyle {\bar {B}}={\frac {\bar {X}}{X}}}B{\displaystyle B}

V1つのr[B]＝V1つのr[X¯]X＝V1つのr[X]nX{\displaystyle Var[B]={\frac {Var[{\bar {X}}]}{X}}={\frac {Var[X]}{nX}}}

ここで、は補正係数、は真の平均、は測定された平均、は測定回数である。[ 6 ]B{\displaystyle B}X{\displaystyle X}X¯{\displaystyle {\bar {X}}}n{\displaystyle n}

変動性の2つ目の原因は、そのようなパラメータを計算するために使用されるモデルの不正確さと不確実性に起因します。これには、材料への荷重とそれに伴う影響を理解するために使用する物理モデルが含まれます。物理的測定量のモデルによる不確実性は、モデルによる理論値と実験結果の両方が利用可能であれば決定できます。

測定値は、理論モデルの予測値にモデル誤差を乗じ、実験誤差を加えた値に等しい。[ 8 ]同様に、 H^（ω）{\displaystyle {\hat {H}}(\omega )}H（ω）{\displaystyle H(\omega )}ϕ（ω）{\displaystyle \phi (\omega )}ε（ω）{\displaystyle \varepsilon (\omega )}

H^（ω）＝H（ω）ϕ（ω）+ε（ω）{\displaystyle {\hat {H}}(\omega )=H(\omega )\phi (\omega )+\varepsilon (\omega )}

そしてモデル誤差は一般的に次の形式をとります。

ϕ（ω）＝∑私＝0n1つの私ωn{\displaystyle \phi (\omega )=\sum _{i=0}^{n}a_{i}\omega ^{n}}

ここで、回帰係数は実験データから決定されたものである。[ 8 ]1つの私{\displaystyle a_{i}}

最後に、最後の変動源は、あらゆる物理的測定可能物に内在する変動性から生じます。あらゆる物理現象には根本的なランダム不確実性が伴い、この変動性を最小限に抑えることは比較的困難です。したがって、それぞれの物理的変数と測定可能量は、平均値と変動性を持つランダム変数として表すことができます。

古典的な設計原則との比較

材料の引張試験を行うための古典的なアプローチを考えてみましょう。材料が受ける応力は特異値（つまり、加えられた力を荷重軸に垂直な断面積で割った値）として与えられます。降伏応力、つまり材料が塑性変形前に耐えられる最大応力も特異値として与えられます。このアプローチでは、降伏応力以下では材料が破損する確率は0%、降伏応力以上では材料が破損する確率は100%です。しかし、現実の世界ではこれらの仮定は成り立ちません。

金属の古典的な応力-ひずみモデル。応力が降伏応力を超えると、材料は破損すると推定されます。

材料の降伏応力は、ある一定の精度でしか知られていないことが多く、不確実性が存在するため、既知の値に関連する確率分布が存在することを意味します。[ 6 ] [ 8 ]降伏強度の確率分布関数を次のように与えます。 f（R）{\displaystyle f(R)}

同様に、適用される荷重または予測される荷重も一定の精度でしか知ることはできず、材料が受ける応力の範囲も不明です。この確率分布を とします。 f（S）{\displaystyle f(S)}

失敗の確率は、数学的には、次の 2 つの分布関数の間の領域に相当します。

Pf＝P（R<S）＝∫−∞∞∫−∞∞f（R）f（S）dSdR{\displaystyle P_{f}=P(R<S)=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(R)f(S)dSdR}

あるいは、降伏応力と適用荷重の差を第3の関数と等しくすると、次のようになります。 R−S＝質問{\displaystyle RS=Q}

Pf＝∫−∞∞∫−∞∞f（R）f（S）dSdR＝∫−∞0f（質問）d質問{\displaystyle P_{f}=\int \limits _{-\infty }^{\infty }\int \limits _{-\infty }^{\infty }f(R)f(S)dSdR=\int \limits _{-\infty }^{0}f(Q)dQ}

ここで平均差の分散は で与えられます。 Q{\displaystyle Q}σQ2=σR2+σS2{\displaystyle \sigma _{Q}^{2}={\sqrt {\sigma _{R}^{2}+\sigma _{S}^{2}}}}

確率論的設計原理は、破壊確率を正確に決定することを可能にする一方、古典的なモデルは降伏強度に達する前に破壊は絶対に起こらないと仮定する。[ 9 ]古典的な適用荷重対降伏応力モデルには限界があることは明らかであるため、これらの変数を確率分布でモデル化して破壊確率を計算する方がより正確なアプローチとなる。確率論的設計アプローチは、あらゆる荷重条件下での材料破壊を決定し、破壊の可能性を明確な「はい」または「いいえ」ではなく、定量的な確率と関連付けることを可能にする。

変動性を決定するために使用される方法

有限要素解析（ここでは一軸応力を受けるドッグボーンの画像）は、確率論的設計における応力と破損の理論値を提供するために使用される主要な方法です。[ 10 ]

本質的に、確率的設計は変動の影響の予測に焦点を当てています。モデルの不確実性に関連する変動を予測・計算するために、応力やひずみなどのパラメータの理論値を決定するための多くの手法が、様々な分野で考案・利用されてきました。確率的設計と併用される理論モデルの例としては、以下のものが挙げられます。

さらに、測定対象となるデータのランダム変動を定量化し予測するために用いられる統計手法は数多く存在します。出力データのランダム変動を予測するために使用される手法には、以下のようなものがあります。

参照

脚注

  1. ^ Sundarth, S; Woeste, Frank E.; Galligan, William (1978), Differential reliability : probabilistic engineering applied to wood members in bending-tension (PDF) , vol. Res. Pap. FPL-RP-302., US Forest Products Laboratory , 2015年1月21日閲覧{{citation}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
  2. ^ Sundararajan, S (1995).確率論的構造力学ハンドブック. Springer. ISBN 978-0412054815。
  3. ^ Long, MW; Narcico, JD (1999年6月),複合材航空機構造の設計方法論、DOT/FAA/AR-99/2、FAA、2016年3月3日時点のオリジナルよりアーカイブ、 2015年1月24日閲覧。
  4. ^ a b c Ang, Alfredo HS; Tang, Wilson H (2006).工学における確率概念：土木・環境工学への応用に重点を置いた第2版. John Wiley & Sons. ISBN 978-0471720645。
  5. ^ Doorn, Neelke; Hansson, Sven Ove (2011-06-01). 「確率論的設計は安全係数に取って代わるべきか？」 . Philosophy & Technology . 24 (2): 151– 168. doi : 10.1007/s13347-010-0003-6 . ISSN 2210-5441 . 
  6. ^ a b c Soares, C. Guedes (1997), Soares, C. Guedes (ed.), "Quantification of Model Uncertainty in Structural Reliability" , Probabilistic Methods for Structural Design , Solid Mechanics and Its Applications, vol. 56, Dordrecht: Springer Netherlands, pp.  17– 37, doi : 10.1007/978-94-011-5614-1_2 , ISBN 978-94-011-5614-1、 2023年12月11日取得{{citation}}: CS1 maint: work parameter with ISBN (link)
  7. ^ Soares, C. Guedes編 (1997). 「構造設計のための確率論的手法」 .固体力学とその応用. 56. doi : 10.1007/978-94-011-5614-1 . ISBN 978-94-010-6366-1. ISSN  0925-0042 .
  8. ^ a b c Ditlevsen, Ove (1982-01-01). 「構造信頼性におけるモデルの不確実性」 .構造安全性. 1 (1): 73– 86. doi : 10.1016/0167-4730(82)90016-9 . ISSN 0167-4730 . 
  9. ^ハウゲン、エドワード・B. (1980).確率論的機械設計：エドワード・B・ハウゲン. ニューヨーク: ワイリー. ISBN 978-0-471-05847-2。
  10. ^ a b Benaroya, H.; Rehak, M. (1988年5月1日). 「確率的構造解析における有限要素法：選択的レビュー」 .応用力学レビュー. 41 (5): 201– 213. Bibcode : 1988ApMRv..41..201B . doi : 10.1115/1.3151892 – ASMEデジタルコレクション経由.
  11. ^ Liu, WK; Belytschko, T.; Lua, YJ (1995), Sundararajan, C. (ed.), "Probabilistic Finite Element Method" , Probabilistic Structural Mechanics Handbook: Theory and Industrial Applications , Boston, MA: Springer US, pp.  70– 105, doi : 10.1007/978-1-4615-1771-9_5 , ISBN 978-1-4615-1771-9、 2023年12月11日取得{{citation}}: CS1 maint: work parameter with ISBN (link)
  12. ^ Kong, Depeng; Lu, Shouxiang; Frantzich, Hakan; Lo, SM (2013-12-01). 「火災安全工学における安全係数と目標故障確率を関連付ける方法」 . Journal of Civil Engineering and Management . 19 (S1): S212. doi : 10.3846/13923730.2013.802718 .

参考文献

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  • アッシュ（1993）『確率論入門：エンジニアと科学者（そしてその他すべての人）のための直感的なコース』Wiley-IEEE Press. ISBN 0-7803-1051-9
  • クラウジング（1994）『トータル・クオリティ・デベロップメント：世界クラスのコンカレント・エンジニアリングへのステップバイステップ・ガイド』アメリカ機械学会ISBN 0-7918-0035-0
  • ハウゲン（1980）『確率的機械設計』 Wiley. ISBN 0-471-05847-5
  • パプーリス（2002）『確率、ランダム変数、そして確率過程』マグロウヒル出版ISBN 0-07-119981-0
  • シダル（1982）『最適工学設計』 CRC. ISBN 0-8247-1633-7
  • Dodson, B., Hammett, P., Klerx, R. (2014)確率的設計による最適化とエンジニアのためのロバスト性John Wiley & Sons, Inc. ISBN 978-1-118-79619-1
  • Cederbaum G.、Elishakoff I.、Aboudi J.、Librescu L.、「複合構造のランダム振動と信頼性」、Technomic、Lancaster、1992年、XIII + pp. 191; ISBN 0 87762 865 3
  • Elishakoff I.、Lin YK、Zhu LP、「音響励起構造の確率的および凸型モデリング」、Elsevier Science Publishers、アムステルダム、1994年、VIII + pp. 296; ISBN 0 444 81624 0
  • エリシャコフ・I., 構造理論における確率的手法：材料のランダム強度、ランダム振動、座屈、ワールド・サイエンティフィック、シンガポール、ISBN 978-981-3149-84-7, 2017
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