確率密度関数

正規分布N (0, σ2 ⁾のボックスプロットと確率密度関数。

任意の単峰性確率密度関数の最頻値、中央値、平均の幾何学的視覚化。 ^{[ 1 ]}

確率論において、確率密度関数( PDF )、密度関数、または絶対連続ランダム変数の密度は、サンプル空間(ランダム変数が取る可能性のある値の集合)内の任意のサンプル (またはポイント) でのその値が、ランダム変数の値がそのサンプルに等しい相対的な尤度を提供すると解釈できる関数です。 ^{[ 2 ] [ 3 ]}言い換えれば、確率密度は単位長さあたりの確率です。連続ランダム変数が特定の値を取る絶対尤度は、そもそも取り得る値が無限にあるとすれば 0 です。したがって、2 つの異なるサンプルにおける PDF の値を使用して、ランダム変数の任意の特定の抽出において、ランダム変数がもう一方のサンプルと比較して 1 つのサンプルに近くなる可能性がどれだけ高いかを推測できます。

より正確には、PDFは、ランダム変数が特定の値の範囲に収まる確率を指定するために使用されます。これは、特定の値を取る確率とは対照的です。この確率は、連続変数のPDFをその範囲で積分することによって与えられます。ここで、積分とは、範囲の最小値と最大値の間の密度関数の下の非負の領域です。PDFはどこでも非負であり、曲線全体の下面積は1に等しいため、ランダム変数が可能な値の集合に収まる確率は100%です。

確率分布関数および確率関数という用語は、確率密度関数を指すこともあります。しかし、この用法は確率論者および統計学者の間では標準的ではありません。他の資料では、「確率分布関数」は、確率分布が一般的な値の集合に対する関数として定義されている場合に使用されることがあり、累積分布関数(CDF) を指す場合や、密度ではなく確率質量関数(PMF) を指す場合もあります。密度関数自体も確率質量関数に使用されるため、混乱がさらに生じています。^{[ 4 ]}一般に、PMF は離散確率変数(可算集合上の値を取る確率変数)のコンテキストで使用され、PDF は連続確率変数のコンテキストで使用されます。PMF と PDF はどちらも統計的推論における基本的な概念です。

例

4 つの連続確率密度関数の例。

ある種の細菌が通常20～30時間生存するとします。細菌がちょうど5時間生存する確率はゼロです。多くの細菌は約5時間生存しますが、特定の細菌がちょうど5.00時間で死ぬ可能性はありません。しかし、細菌が5時間から5.01時間の間に死亡する確率は定量化できます。答えが0.02（つまり2%）だとします。すると、細菌が5時間から5.001時間の間に死亡する確率は約0.002になります。この時間間隔は前の10分の1だからです。細菌が5時間から5.0001時間の間に死亡する確率は約0.0002になるはずです。以下同様に続きます。

この例では、比率（間隔中に生存する確率）/（間隔の長さ）はほぼ一定で、1時間あたり2（または2時間^-1）に等しくなります。たとえば、5時間と5.01時間の間の0.01時間間隔で死亡する確率は0.02であり、（0.02の確率/ 0.01時間）= 2時間^-1です。この量2時間^-1は、約5時間で死亡する確率密度と呼ばれます。したがって、細菌が5時間で死亡する確率は、（2時間^-1）dtと表すことができます。これは、細菌が5時間周辺の無限小の時間枠内で死亡する確率であり、dtはこの時間枠の長さです。たとえば、細菌が5時間より長く生存するが、（5時間+1ナノ秒）より短く生存する確率は、（2時間^-1）×（1ナノ秒）≈です。6 × 10 ⁻¹³（単位変換を使用）3.6 × 10 ¹²ナノ秒 = 1 時間)。

確率密度関数fはf (5 時間) = 2 時間⁻¹となる。任意の時間枠（微小時間枠だけでなく、大きな時間枠も含む）にわたるfの積分は、その時間枠内で細菌が死滅する確率である。

絶対連続一変量分布

確率密度関数は、絶対連続な一変量分布に最もよく関連付けられます。確率変数の 密度は であり、は非負のルベーグ積分関数である場合、次の式が成り立ちます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle f_{X}}$ ${\displaystyle f_{X}}$ $${\displaystyle \Pr[a\leq X\leq b]=\int _{a}^{b}f_{X}(x)\,dx.}$$

したがって、が の累積分布関数である場合、次の式 が成り立ちます。 また、が で微分可能である 場合、${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle F_{X}(x)=\int _{-\infty}^{x}f_{X}(u)\,du,}$$ ${\displaystyle F_{X}}$ ${\displaystyle x}$ $${\displaystyle f_{X}(x)={\frac {d}{dx}}F_{X}(x).}$$

直感的には、 は無限小間隔内に入る確率であると考えることができます。 ${\displaystyle f_{X}(x)\,dx}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [x,x+dx]}$

正式な定義

（この定義は、測度論的な確率の定義を使用して任意の確率分布に拡張できます。）

測定可能な空間（通常は測定可能な部分集合としてボレル集合を持つ）に値を持つ確率変数は、確率分布としてにおけるプッシュフォワード測度X ∗ _Pを持つ。における参照測度に関するの密度はラドン・ニコディム導関数である。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle ({\mathcal {X}},{\mathcal {A}})}$ $${\displaystyle f={\frac {dX_{*}P}{d\mu }}.}$$

つまり、fは、以下の性質を持つ任意の測定可能な関数である： 任意の測定可能な集合に対して$${\displaystyle \Pr[X\in A]=\int _{X^{-1}A}\,dP=\int _{A}f\,d\mu }$$ ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}.}$

議論

上記の連続一変数の場合、基準測度はルベーグ測度です。離散確率変数の確率質量関数は、標本空間（通常は整数の集合、またはその部分集合） 上の計数測度に関する密度です。

任意の測度を参照して密度を定義することは不可能である（例えば、連続確率変数の参照として計数測度を選択することはできない）。さらに、密度が存在する場合、その密度はほぼ一意であり、任意の2つの密度はほぼすべての点で一致する。

詳細情報

確率とは異なり、確率密度関数は 1 より大きい値を取ることができます。たとえば、区間[0, 1/2]上の連続均一分布では、 0 ≤ x ≤ 1/2の場合に確率密度f ( x ) = 2となり、それ以外の場合にはf ( x ) = 0 となります。

標準正規分布の確率密度は$${\displaystyle f(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}\,e^{-x^{2}/2}.}$$

確率変数Xが与えられ、その分布が確率密度関数fを許容する場合、Xの期待値（期待値が存在する場合）は次のように計算できる。$${\displaystyle \operatorname {E} [X]=\int _{-\infty }^{\infty }x\,f(x)\,dx.}$$

すべての確率分布が密度関数を持つわけではありません。離散ランダム変数の分布は密度関数を持ちません。また、カントール分布は離散要素を持たない（つまり、個々の点に正の確率を割り当てない）にもかかわらず、密度関数を持ちません。

分布が密度関数を持つとは、その累積分布関数F ( x )が絶対的に連続する場合を言う。^{[ 5 ]}この場合、Fはほぼどこでも微分可能であり、その導関数は確率密度として使用できる。$${\displaystyle {\frac {d}{dx}}F(x)=f(x).}$$

確率分布が密度を許容する場合、すべての 1 点集合{ a }の確率は0 です。有限集合と可算集合についても同様です。

2 つの確率密度fとg は、ルベーグ測度 0の集合上でのみ異なる場合、まったく同じ確率分布を表します。

統計物理学の分野では、累積分布関数の導関数と確率密度関数の関係を非形式的に再定式化したものが、確率密度関数の定義として一般的に用いられています。この別の定義は以下のとおりです。

dtが無限に小さい数である場合、 Xが区間( t、t + dt )内に含まれる確率はf ( t ) dtに等しくなります。つまり、 $${\displaystyle \Pr(t<X<t+dt)=f(t)\,dt.}$$

離散分布と連続分布のリンク

ディラックのデルタ関数を用いた一般化確率密度関数では、特定の離散確率変数や、連続部分と離散部分の両方を含む確率変数を表すことができます。（これは、上で定義した意味での確率密度関数では不可能ですが、分布を用いることで可能です。）例えば、ラデマッハ分布に従う2値離散確率変数（つまり、値が-1または1で、それぞれの確率が1 ⁄ 2 ）を考える。この変数に関連付けられた確率密度は、次の式で表されます。 $${\displaystyle f(t)={\frac {1}{2}}(\delta (t+1)+\delta (t-1)).}$$

より一般的には、離散変数が実数の中で n個の異なる値をとることができる場合、関連する確率密度関数は次のようになります。 ここで、は変数にアクセスできる離散値であり、はこれらの値に関連付けられた確率です。 $${\displaystyle f(t)=\sum _{i=1}^{n}p_{i}\,\delta (t-x_{i}),}$$ ${\displaystyle x_{1},\ldots ,x_{n}}$ ${\displaystyle p_{1},\ldots ,p_{n}}$

これにより、離散確率分布と連続確率分布の扱いが実質的に統一されます。上記の式により、確率の連続分布に与えられた公式から出発して、離散変数の統計的特性（平均、分散、尖度など）を決定することができます。

密度のファミリー

確率密度関数（および確率質量関数）は、パラメータ化されること、つまり、指定されていないパラメータによって特徴付けられることが一般的です。たとえば、正規分布は平均と分散でパラメータ化され、それぞれ、および で表され、密度族 が得られます。 パラメータの異なる値は、同じ標本空間（変数のすべての可能な値の同じ集合）上の異なる確率変数の異なる分布を表します。この標本空間は、この分布族が表す確率変数族の領域です。特定のパラメータ集合は、密度の関数形式を共有する族内の単一の分布を表します。特定の分布の観点からは、パラメータは定数であり、密度関数の項でパラメータのみを含み変数を含まない項は、分布の正規化係数（密度の下の領域（領域で何かが発生する確率）が 1 に等しくなるようにする乗法係数）の一部です。この正規化係数は、分布の カーネルの外側にあります。${\displaystyle \mu }$ ${\displaystyle \sigma ^{2}}$ $${\displaystyle f(x;\mu ,\sigma ^{2})={\frac {1}{\sigma {\sqrt {2\pi }}}}e^{-{\frac {1}{2}}\left({\frac {x-\mu }{\sigma }}\right)^{2}}.}$$

パラメータは定数であるため、異なるパラメータに関して密度を再パラメータ化し、ファミリ内の異なるランダム変数の特性を与えることは、単に新しいパラメータ値を古い値の代わりに式に代入することを意味します。

複数の変数に関連する密度

連続確率変数X ₁ , ..., X _nに対して、集合全体に関連する確率密度関数を定義することも可能であり、これはしばしば結合確率密度関数と呼ばれる。この密度関数はn個の変数の関数として定義され、変数X ₁ , ..., X _nの値のn次元空間内の任意の領域Dについて、集合変数の実現が領域D内に含まれる確率は、 $${\displaystyle \Pr \left(X_{1},\ldots ,X_{n}\in D\right)=\int _{D}f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{n}.}$$

F ( x ₁ , ..., x _n ) = Pr( X ₁ ≤ x ₁ , ..., X _n ≤ x _n )がベクトル( X ₁ , ..., X _n )の累積分布関数である場合、結合確率密度関数は偏微分として計算できます。 $${\displaystyle f(x)=\left.{\frac {\partial ^{n}F}{\partial x_{1}\cdots \partial x_{n}}}\right|_{x}}$$

限界密度

i = 1, 2, ..., nに対して、変数X _iのみに関連する確率密度関数をf _{X i} ( x _i )とする。これは周辺密度関数と呼ばれ、確率変数X ₁ , ..., X _nに関連する確率密度から、他のn − 1 個の変数の値すべてにわたって積分することで導出される。 $${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})=\int f(x_{1},\ldots ,x_{n})\,dx_{1}\cdots dx_{i-1}\,dx_{i+1}\cdots dx_{n}.}$$

独立

結合密度を許容する連続確率変数X ₁ , ... , X _{n は}、 $${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{X_{1}}(x_{1})\cdots f_{X_{n}}(x_{n}).}$$

推論

n個の確率変数のベクトルの結合確率密度関数が、1変数の n個の関数の積に因数分解できる場合 （各f _{i は}必ずしも密度ではない） 、その集合内のn個の変数はすべて互いに独立しており、それぞれの周辺確率密度関数は次のように与えられる。 $${\displaystyle f_{X_{1},\ldots ,X_{n}}(x_{1},\ldots ,x_{n})=f_{1}(x_{1})\cdots f_{n}(x_{n}),}$$ $${\displaystyle f_{X_{i}}(x_{i})={\frac {f_{i}(x_{i})}{\int f_{i}(x)\,dx}}.}$$

例

この基本的な例は、2変数関数という単純なケースにおける多次元確率密度関数の定義を示しています。2次元のランダムベクトルを座標( X , Y )と呼びましょう。正のxとyの1/4平面において、次の式が得られる確率は、 ${\displaystyle {\vec {R}}}$ ${\displaystyle {\vec {R}}}$ $${\displaystyle \Pr \left(X>0,Y>0\right)=\int _{0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }f_{X,Y}(x,y)\,dx\,dy.}$$

確率変数の関数と確率密度関数における変数の変化

確率変数（またはベクトル） Xの確率密度関数がf _X ( x )と与えられた場合、ある変数Y = g ( X )の確率密度関数を計算することが可能です（ただし、多くの場合、計算は不要です。下記参照）。これは「変数変換」とも呼ばれ、実際には既知の（例えば一様）乱数生成器を用いて 任意の形状の確率変数f _{g ( X )} = f _{Yを生成するために使用されます。}

期待値E( g ( X ))を求めるには、まず新しい確率変数Y = g ( X )の確率密度f _{g ( X )}を求めなければならないと考えるのは魅力的である。しかし、計算する代わりに 、 $${\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }yf_{g(X)}(y)\,dy,}$$ $${\displaystyle \operatorname {E} {\big (}g(X){\big )}=\int _{-\infty }^{\infty }g(x)f_{X}(x)\,dx.}$$

Xとg ( X )の両方が実際に確率密度関数を持つ場合、2つの積分の値は必ず同じになります。gが1対1関数である必要はありません。場合によっては、後者の積分の方が前者よりもはるかに簡単に計算できます。「無意識の統計学者の法則」を参照してください。

スカラーからスカラー

を単調関数とすると、結果として得られる密度関数は^{[ 6 ]となる。}${\displaystyle g:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ $${\displaystyle f_{Y}(y)=f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|.}$$

ここでg ⁻¹は逆関数を表す。

これは、微分領域に含まれる確率は変数変換に対して不変でなければならないという事実から導かれる。つまり 、 $${\displaystyle \left|f_{Y}(y)\,dy\right|=\left|f_{X}(x)\,dx\right|,}$$ $${\displaystyle f_{Y}(y)=\left|{\frac {dx}{dy}}\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}(x)\right|f_{X}(x)=\left|{\frac {d}{dy}}{\big (}g^{-1}(y){\big )}\right|f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}={\left|\left(g^{-1}\right)'(y)\right|}\cdot f_{X}{\big (}g^{-1}(y){\big )}.}$$

単調でない関数の場合、 yの確率密度関数は、 n ( y )が方程式 のxの解の数であり 、がこれらの解です。 $${\displaystyle \sum _{k=1}^{n(y)}\left|{\frac {d}{dy}}g_{k}^{-1}(y)\right|\cdot f_{X}{\big (}g_{k}^{-1}(y){\big )},}$$ ${\displaystyle g(x)=y}$ ${\displaystyle g_{k}^{-1}(y)}$

ベクトルからベクトルへ

x がn次元確率変数で、共分散密度がfであるとする。y = G ( x ) （ただしGは全単射かつ微分可能な関数）とすると、y の密度はp _Y : となる。ここで、 微分はG (⋅)の逆関数のヤコビアンをyで評価したものとみなされる。^{[ 7 ]}$${\displaystyle p_{Y}(\mathbf {y} )=f{\Bigl (}G^{-1}(\mathbf {y} ){\Bigr )}\left|\det \left[\left.{\frac {dG^{-1}(\mathbf {z} )}{d\mathbf {z} }}\right|_{\mathbf {z} =\mathbf {y} }\right]\right|}$$

例えば、2次元の場合x = ( x ₁ , x ₂ )において、変換Gがy ₁ = G ₁ ( x ₁ , x ₂ ) , y ₂ = G ₂ ( x ₁ , x ₂ )と与えられ、逆変換x ₁ = G ₁ ⁻¹ ( y ₁ , y ₂ ) , x ₂ = G ₂ ⁻¹ ( y ₁ , y ₂ )があるとする。 y  = ( y ₁ , y ₂ )の結合分布の密度は^{[ 8 ]}である。$${\displaystyle p_{Y_{1},Y_{2}}(y_{1},y_{2})=f_{X_{1},X_{2}}{\big (}G_{1}^{-1}(y_{1},y_{2}),G_{2}^{-1}(y_{1},y_{2}){\big )}\left\vert {\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{1}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{2}}}-{\frac {\partial G_{1}^{-1}}{\partial y_{2}}}{\frac {\partial G_{2}^{-1}}{\partial y_{1}}}\right\vert .}$$

ベクトルからスカラー

を微分可能関数、を に値を取るランダムベクトルとし、を の確率密度関数、をディラックのデルタ関数 とします。上記の式を用いての確率密度関数 を求めることができ、これは次のように与えられます 。${\displaystyle V:\mathbb {R} ^{n}\to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$ ${\displaystyle f_{X}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \delta (\cdot )}$ ${\displaystyle f_{Y}}$ ${\displaystyle Y=V(X)}$ $${\displaystyle f_{Y}(y)=\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} .}$$

この結果は、無意識の統計学者の法則につながります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} _{Y}[Y]&=\int _{\mathbb {R} }yf_{Y}(y)\,dy\\&=\int _{\mathbb {R} }y\int _{\mathbb {R} ^{n}}f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,d\mathbf {x} \,dy\\&=\int _{{\mathbb {R} }^{n}}\int _{\mathbb {R} }yf_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )}\,dy\,d\mathbf {x} \\&=\int _{\mathbb {R} ^{n}}V(\mathbf {x} )f_{X}(\mathbf {x} )\,d\mathbf {x} =\operatorname {E} _{X}[V(X)].\end{aligned}}}$$

証拠：

を確率密度関数（つまり定数がゼロ）を持つ縮退した確率変数とする。乱数ベクトルと変換を次のように定義する。 ${\displaystyle Z}$ ${\displaystyle p_{Z}(z)=\delta (z)}$ ${\displaystyle {\tilde {X}}}$ ${\displaystyle H}$ $${\displaystyle H(Z,X)={\begin{bmatrix}Z+V(X)\\X\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}Y\\{\tilde {X}}\end{bmatrix}}.}$$

は全単射であることは明らかであり、 のヤコビアンは次のように与えられます。 これは主対角線上に 1 を持つ 上三角行列であるため、その行列式は 1 です。前のセクションの変数変換定理を適用すると、 が得られ、 これを について周辺化すると、目的の確率密度関数が得られます。 ${\displaystyle H}$ ${\displaystyle H^{-1}}$ $${\displaystyle {\frac {dH^{-1}(y,{\tilde {\mathbf {x} }})}{dy\,d{\tilde {\mathbf {x} }}}}={\begin{bmatrix}1&-{\frac {dV({\tilde {\mathbf {x} }})}{d{\tilde {\mathbf {x} }}}}\\\mathbf {0} _{n\times 1}&\mathbf {I} _{n\times n}\end{bmatrix}},}$$ $${\displaystyle f_{Y,X}(y,x)=f_{X}(\mathbf {x} )\delta {\big (}y-V(\mathbf {x} ){\big )},}$$ ${\displaystyle x}$

独立確率変数の合計

それぞれ確率密度関数を持つ 2 つの独立した確率変数UとVの合計の確率密度関数は、それらの個別の密度関数の 畳み込みです。$${\displaystyle f_{U+V}(x)=\int _{-\infty }^{\infty }f_{U}(y)f_{V}(x-y)\,dy=\left(f_{U}*f_{V}\right)(x)}$$

前述の関係を、密度がU ₁ , ..., U _NであるN個の独立した確率変数の合計に一般化することができます。 $${\displaystyle f_{U_{1}+\cdots +U}(x)=\left(f_{U_{1}}*\cdots *f_{U_{N}}\right)(x)}$$

これは、以下の独立確率変数の商の例と同様に、 Y = U + VおよびZ = Vを含む変数の双方向の変更から導き出すことができます。

独立確率変数の積と商

それぞれ確率密度関数を持つ2 つの独立したランダム変数UとVが与えられた場合、積Y = UVと商Y = U / Vの密度は変数の変更によって計算できます。

例: 商分布

2つの独立したランダム変数UとVの商Y = U / Vを計算するには、次の変換を定義します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}$$

次に、変数をU、VからY、Zに変更することで結合密度p ( y、z )を計算し、結合密度から Zを除外することでYを導出できます。

逆変換は $${\displaystyle {\begin{aligned}U&=YZ\\V&=Z\end{aligned}}}$$

この変換の ヤコビ行列式の絶対値は次のとおりです。${\displaystyle J(U,V\mid Y,Z)}$ $${\displaystyle \left|\det {\begin{bmatrix}{\frac {\partial u}{\partial y}}&{\frac {\partial u}{\partial z}}\\{\frac {\partial v}{\partial y}}&{\frac {\partial v}{\partial z}}\end{bmatrix}}\right|=\left|\det {\begin{bmatrix}z&y\\0&1\end{bmatrix}}\right|=|z|.}$$

したがって： $${\displaystyle p(y,z)=p(u,v)\,J(u,v\mid y,z)=p(u)\,p(v)\,J(u,v\mid y,z)=p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|.}$$

Yの分布はZを周辺化する ことで計算できます。 $${\displaystyle p(y)=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz}$$

この手法では、 U , VからY , Zへの変換が全単射であることが極めて重要です。上記の変換は、Z をVに直接写像でき、与えられたVに対して商U / Vが単調であるため、この要件を満たしています。これは、和U + V、差U − V、積UVについても同様です。

まったく同じ方法を使用して、複数の独立したランダム変数の他の関数の分布を計算することもできます。

例: 2つの標準正規分布の商

2つの標準正規分布変数UとVが与えられた場合、商は以下のように計算できます。まず、これらの変数は以下の密度関数を持ちます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}p(u)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{u^{2}}/{2}}\\[1ex]p(v)&={\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{v^{2}}/{2}}\end{aligned}}}$$

上記のように変換します。 $${\displaystyle {\begin{aligned}Y&=U/V\\[1ex]Z&=V\end{aligned}}}$$

この結果、次のようになります。 $${\displaystyle {\begin{aligned}p(y)&=\int _{-\infty }^{\infty }p_{U}(yz)\,p_{V}(z)\,|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}y^{2}z^{2}}{\frac {1}{\sqrt {2\pi }}}e^{-{\frac {1}{2}}z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=\int _{-\infty }^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}|z|\,dz\\[5pt]&=2\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{2\pi }}e^{-{\frac {1}{2}}\left(y^{2}+1\right)z^{2}}z\,dz\\[5pt]&=\int _{0}^{\infty }{\frac {1}{\pi }}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\,du&&u={\tfrac {1}{2}}z^{2}\\[5pt]&=\left.-{\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}e^{-\left(y^{2}+1\right)u}\right|_{u=0}^{\infty }\\[5pt]&={\frac {1}{\pi \left(y^{2}+1\right)}}\end{aligned}}}$$

これは標準コーシー分布の密度です。

参照

• 密度推定 – 観測不可能な基礎確率密度関数の推定
• カーネル密度推定 – EstimatorPages displaying short descriptions with no spaces
• 尤度関数 – 統計学と確率論に関連する関数
• 確率分布の一覧
• 確率振幅 – 絶対値の二乗が確率となる複素数
• 確率質量関数 – 離散変数確率分布
• 二次測度 – 数学における概念
• 位置確率密度として使用します:
  • 原子軌道 – 原子内の電子を記述する関数
  • 行動圏 – 動物が生息し移動する領域

参考文献

1. 「AP統計レビュー - 密度曲線と正規分布」 。 2015年4月2日時点のオリジナルよりアーカイブ。2015年3月16日閲覧。
2. グリンステッド、チャールズ・M.、スネル、J.ローリー (2009). 「条件付き確率 - 離散条件付き」(PDF) .グリンステッド＆スネルの確率入門. オレンジグローブ・テキスト. ISBN 978-1616100469. 2003年4月25日時点のオリジナルよりアーカイブ（PDF） . 2019年7月25日閲覧。
3. 「確率 - 実数直線上の一様乱数は有効な分布か？」 Cross Validated . 2021年10月6日閲覧。
4. Ord, JK (1972)頻度分布のファミリー、グリフィン。ISBN 0-85264-137-0（例えば、表5.1と例5.4）
5. Scalas, Enrico (2025).経済学者のための確率論入門(PDF) . 自費出版. p. 28. 2024年12月10日時点のオリジナルよりアーカイブ(PDF) . 2025年7月30日閲覧。
6. Siegrist, Kyle (2020年5月5日). 「ランダム変数の変換」 . LibreTexts Statistics . 2023年12月22日閲覧。
7. Devore, Jay L.; Berk, Kenneth N. (2007).現代数理統計とその応用. Cengage. p. 263. ISBN 978-0-534-40473-4。
8. デイヴィッド・スターザカー (2007年1月1日). 『初等確率論』ケンブリッジ大学出版局. ISBN 978-0521534284. OCLC  851313783 .

さらに読む

• ビリングスリー、パトリック（1979年）『確率と測度』ニューヨーク、トロント、ロンドン：ジョン・ワイリー・アンド・サンズ、ISBN 0-471-00710-2。
• Casella, George ; Berger, Roger L. (2002).統計的推論（第2版）. Thomson Learning. pp.  34– 37. ISBN 0-534-24312-6。
• スターザカー、デイヴィッド（2003年）『初等確率論』ケンブリッジ大学出版局、ISBN 0-521-42028-8。第 7 章から第 9 章は連続変数についてです。

外部リンク

• Ushakov, NG (2001) [1994]、「確率分布の密度」、数学百科事典、EMS Press
• ワイスタイン、エリック W. 「確率密度関数」。MathWorld 。