多重一般性の問題とは、伝統的な論理において、複数の量指定子を含む有効な推論を記述できないことを指します。例えば、以下の場合、直感的に明らかです。
- 全てのネズミが恐れる猫がいる
すると、論理的に次のようになります。
- すべてのネズミは少なくとも一匹の猫を怖がります。
伝統的論理（TL）の構文では、量指定子は1つしか許されません。つまり、文の種類は4つあります。「すべてのAはBである」「すべてのAはBではない」「一部のAはBである」「一部のAはBではない」です。上記の文はそれぞれ2つの量指定子（最初の文では「一部」と「すべての」、2番目の文では「すべて」と「少なくとも1つ」）を含んでいるため、TLでは適切に表現できません。TLでできる最善のことは、各文の2番目の量指定子を2番目の項に組み込み、「すべてのネズミが恐れている」と「少なくとも1匹の猫が恐れている」という人工的な響きの項を作成することです。これは、推論の妥当性に不可欠なこれらの量指定子を、ハイフンでつながれた項の中に「埋め込む」ことになります。したがって、「ある猫はすべてのネズミに恐れられている」という文は、「ある猫は空腹だ」という文と同じ論理形式に割り当てられます。したがって、TLにおける論理形式は次のようになります。
- Aの中にはBもある
- すべてのCはDです
これは明らかに無効です。
このような推論を扱うことができる最初の論理計算は、ゴットロープ・フレーゲの『述語論理』 （1879年）であり、これは現代の述語論理の祖先であり、変数束縛を用いて量化子を扱った。フレーゲは控えめに言っても、自身の論理が既存の論理計算よりも表現力に富んでいるとは主張しなかったが、フレーゲ論理の評論家たちはこれを彼の主要な業績の一つとみなしている。
現代の述語計算を使用すると、この文が曖昧であることがすぐにわかります。
- 全てのネズミが恐れる猫がいる
全てのネズミが（ある猫を恐れている）という意味になる（言い換えると、全てのネズミは何らかの猫を恐れている）。
- ネズミmごとに猫cが存在し、cはmに恐れられている。
その場合、結論は自明です。
しかし、これはまた、ある猫が（すべてのネズミに恐れられている）（言い換えると、すべてのネズミに恐れられている猫がいる）という意味にもなり得る。
- 猫 c が 1 匹存在し、ネズミ m ごとに、猫 c は m に恐れられている。
この例は、すべてに対して が存在し、が存在するなどの量指定子のスコープを指定することの重要性を示しています。
さらに読む
- パトリック・サップス著『論理学入門』 D.ヴァン・ノストランド、1957年、ISBN 978-0-442-08072-3。
- AGハミルトン『数学者のための論理学』ケンブリッジ大学出版局、1978年、ISBN 0-521-29291-3。
- Paul Halmosおよび Steven Givant、『代数としての論理』、MAA、1998 年、ISBN 0-88385-327-2。
