プロクルステス分析
プロクラステスの重ね合わせ。この図は、2つのランドマーク構成に対する通常のプロクラステス近似の3つの変換ステップを示しています。(a) 両方の構成を同じサイズにスケーリングする。(b) 重心を同じ位置に転置する。(c) 対応するランドマーク間の距離の二乗和が最小となる方向に回転させる。

統計学において、プロクルステス分析は統計的形状分析の一種であり、一連の形状の分布を分析するために用いられます。プロクルステス（ギリシャ語：Προκρούστης ）という名前は、ギリシャ神話に登場する盗賊に由来します。彼は犠牲者の手足を伸ばしたり切り落としたりして、自分の寝床に寝かせました。

数学では：

ある形状を別の形状と比較する場合、または一連の形状を任意に選択した基準形状と比較する場合、プロクラステス分析は、3 つ以上の形状を最適に決定された「平均形状」と比較する一般化プロクラステス分析(GPA)とは対照的に、さらに古典的または通常の分析として分類されることがあります。

導入

2つ以上の物体の形状を比較するには、まず物体を最適に「重ね合わせる」必要があります。プロクラステス重ね合わせ（PS）は、物体を最適に移動、回転、均一にスケーリングすることで行われます。言い換えれば、物体の空間配置とサイズの両方が自由に調整されます。その目的は、物体間のプロクラステス距離と呼ばれる形状の差を最小化することで、配置とサイズを類似させることです。これは、スケーリングを行わない（つまり物体のサイズが維持される）部分PSとは対照的に、完全PSと呼ばれることもあります。完全PSの後、物体の形状が同一であれば、物体は完全に一致することに注意してください。例えば、完全PSでは、半径が異なる2つの球体は常に一致します。なぜなら、それらは全く同じ形状をしているからです。一方、部分PSでは、それらは決して一致しません。これは、幾何学における「形状」という用語の厳密な定義により、形状分析は完全PSを用いて行うべきであることを意味します。部分PSに基づく統計分析は、形状の違いだけでなくサイズの違いにも敏感であるため、純粋な形状分析ではありません。完全PSでも部分PSでも、立方体と球体、右手と左手など、形状の異なる2つの物体を完全に一致させることは不可能です。

場合によっては、完全なPSと部分的なPSの両方に反転が含まれることもあります。反転を使用すると、例えば右手を左手に（おそらく完璧に）重ね合わせることができます。したがって、反転を有効にした部分的なPSはサイズを維持しながら、平行移動、回転、反転が可能です。一方、反射を有効にした完全なPSは、平行移動、回転、拡大縮小、反転が可能です。

最適な変換とスケーリングは、はるかに簡単な操作で決定されます (以下を参照)。

通常のプロクルステス分析

ここでは、 n次元上の有限個kの点からなる物体についてのみ考察します。これらの点は、人間の骨のような複雑な物体の連続面上で選択されることが多く、この場合はランドマーク点と呼ばれます。

オブジェクトの形状は、並進、回転、均一なスケーリング要素を削除することによって形成される同値クラスのメンバーとして考えることができます。

翻訳

たとえば、オブジェクトのすべての点の平均(つまり、オブジェクトの重心) が原点に位置するようにオブジェクトを移動することによって、オブジェクトから移動コンポーネントを削除できます。

数学的に言うと、2次元上の点を 取り、け{\displaystyle k}

（（×1、y1）、（×2、y2）、…、（×け、yけ））{\displaystyle ((x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),\dots ,(x_{k},y_{k}))\,}。

これらの点の平均は （ׯ、y¯）{\displaystyle ({\bar {x}},{\bar {y}})}

ׯ＝×1+×2+⋯+×けけ、y¯＝y1+y2+⋯+yけけ。{\displaystyle {\bar {x}}={\frac {x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{k}}{k}},\quad {\bar {y}}={\frac {y_{1}+y_{2}+\cdots +y_{k}}{k}}.}

ここで、これらの点の平均が原点に移動されるように移動すると、点 が得られます。 （×、y）→（×−ׯ、y−y¯）{\displaystyle (x,y)\to (x-{\bar {x}},y-{\bar {y}})}（×1−ׯ、y1−y¯）、…{\displaystyle (x_{1}-{\bar {x}},y_{1}-{\bar {y}}),\dots }

均一なスケーリング

同様に、ポイントから移動原点までの二乗平均平方根距離 ( RMSD ) が 1 になるようにオブジェクトをスケーリングすることで、スケール コンポーネントを削除できます。この RMSD は、オブジェクトのスケールまたはサイズの統計的測定値です。

s＝（×1−ׯ）2+（y1−y¯）2+⋯け{\displaystyle s={\sqrt {{(x_{1}-{\bar {x}})^{2}+(y_{1}-{\bar {y}})^{2}+\cdots } \over k}}}

ポイントの座標をオブジェクトの初期スケールで割ると、スケールは 1 になります。

（（×1−ׯ）/s、（y1−y¯）/s）{\displaystyle ((x_{1}-{\bar {x}})/s,(y_{1}-{\bar {y}})/s)}。

文献では、スケールの定義と削除に他の方法が使用されることもあることに注意してください。

回転

回転成分の除去は、標準的な基準方向が必ずしも利用できるとは限らないため、より複雑です。スケールと移動が除去された、同じ数の点で構成される2つのオブジェクトを考えてみましょう。これらの点を、とします。これらのオブジェクトの一方を使用して基準方向を提供できます。基準オブジェクトを固定し、もう一方のオブジェクトを原点を中心に回転させ、対応する点間の距離の二乗和 ( SSD ) が最小となる最適な回転角度を見つけます (最小二乗法の例)。 （（×1、y1）、…）{\displaystyle ((x_{1},y_{1}),\ldots )}（（わ1、z1）、…）{\displaystyle ((w_{1},z_{1}),\ldots )}θ{\displaystyle \theta \,\!}

角度による回転は θ{\displaystyle \theta \,\!}

（あなた1、v1）＝（コス⁡θわ1−罪⁡θz1、罪⁡θわ1+コス⁡θz1）{\displaystyle (u_{1},v_{1})=(\cos \theta \,w_{1}-\sin \theta \,z_{1},\,\sin \theta \,w_{1}+\cos \theta \,z_{1})\,\!}。

ここで、(u,v)は回転した点の座標である。をについて微分し、微分がゼロのとき のを解くと、（あなた1−×1）2+（v1−y1）2+⋯{\displaystyle (u_{1}-x_{1})^{2}+(v_{1}-y_{1})^{2}+\cdots }θ{\displaystyle \theta}θ{\displaystyle \theta}

θ＝日焼け−1⁡（∑私＝1け（わ私y私−z私×私）∑私＝1け（わ私×私+z私y私））。{\displaystyle \theta =\tan ^{-1}\left({\frac {\sum _{i=1}^{k}(w_{i}y_{i}-z_{i}x_{i})}{\sum _{i=1}^{k}(w_{i}x_{i}+z_{i}y_{i})}}\right).}

オブジェクトが 3 次元の場合、最適な回転は単純な角度ではなく、 3 行 3 列の回転行列Rで表されます。この場合、特異値分解を使用してRの最適値を見つけることができます( det ( R ) = 1 を条件とする制約付き直交プロクラステス問題の解を参照)。

形状の比較

2つの物体の形状の違いは、前述のように、2つの物体を平行移動、拡大縮小、最適な回転によって「重ね合わせ」た後にのみ評価できます。対応する点間の前述のSSDの平方根は、この形状の違いの統計的尺度として使用できます。

d＝（あなた1−×1）2+（v1−y1）2+⋯。{\displaystyle d={\sqrt {(u_{1}-x_{1})^{2}+(v_{1}-y_{1})^{2}+\cdots }}.}

この尺度はしばしばプロクラステス距離と呼ばれます。文献によっては、プロクラステス距離のより複雑な定義や、「形状の違い」を表す他の尺度が用いられる場合があることに注意してください。

図形のセットを重ね合わせる

2つの図形を重ね合わせる方法を示しました。3つ以上の図形を重ね合わせる場合も、前述の基準方向をすべての図形に適用すれば、同じ方法を適用できます。ただし、この目的を達成するためのより優れた方法は、一般化プロクラステス分析です。

一般化プロクラステス分析（GPA）

GPA は、プロクラステス分析法を適用して、任意に選択された形状にオブジェクトを重ね合わせるのではなく、一連のオブジェクトを最適に重ね合わせます。

一般化プロクラステス解析と通常のプロクラステス解析は、物体の基準となる方向の決定方法のみが異なります。前者は物体の基準となる方向を最適に決定し、後者は任意に選択します。スケーリングと移動はどちらの手法でも同じ方法で行われます。2つの形状のみを比較する場合、GPAは通常のプロクラステス解析と同等です。

アルゴリズムの概要は次のとおりです。

  1. 参照シェイプを任意に選択する（通常は利用可能なインスタンスの中から選択する）
  2. すべてのインスタンスを現在の参照シェイプに重ね合わせる
  3. 現在の重ね合わせた形状セットの平均形状を計算する
  4. 平均形状と参照形状間のプロクラステス距離が閾値を超えている場合は、参照を平均形状に設定し、手順 2 に進みます。

バリエーション

物体の形状を表現する方法は数多く存在します。物体の形状は、n次元におけるk点の集合全体の集合、すなわち R knから、すべての並進、回転、およびスケーリングの集合を因数分解して形成される同値類の要素とみなすことができます。形状の特定の表現は、同値類の特定の表現を選択することで得られます。これはkn -4次元の多様体を与えます。プロクラステスは、特定の統計的根拠に基づいてこれを行う方法の一つです。

ブックシュタインは、基線と呼ばれる2点の位置を固定することで形状の表現を得ます。1点は原点、もう1点は(1,0)に固定され、残りの点はブックシュタイン座標を形成します。

並進および回転の要素を取り除いた 形状とスケールを考慮することも一般的です。

例

形状分析は、例えば顎骨の形状を考慮する場合など、ランドマークデータによって特徴付けられる解剖学的特徴の変化を識別するために生物学的データで使用されます。 [ 1 ]

デイヴィッド・ジョージ・ケンドールによる研究では、立石が形成する三角形を調べ、それらが直線状に並んでいることが多いかどうかを推測しました。三角形の形状は球面上の点として表すことができ、あらゆる形状の分布は球面上の分布と考えることができます。立石の標本分布を理論分布と比較したところ、直線状の出現頻度は平均的であることが示されました。[ 2 ]

参照

参考文献

  1. ^「空間形状の探究」 2006年9月1日アーカイブ、Wayback Machine、ナンシー・マリー・ブラウン著、Research/Penn State、第15巻第1号、1994年3月
  2. ^「形状の統計理論の概説」、デイビッド・G・ケンドール著、統計科学、第4巻第2号（1989年5月）、87～99ページ
  • FL Bookstein、「ランドマークデータのための形態測定ツール」、ケンブリッジ大学出版局、(1991)。
  • JC Gower、GB Dijksterhuis、『Procrustes 問題』、オックスフォード大学出版局 (2004)。
  • ILDryden、KV Mardia、「統計的形状分析」、Wiley、チチェスター、(1998)。
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