プローブスティングのパラドックス

確率論において、プローブスティングのパラドックスは、ケリー基準が破滅につながる可能性があることを示す議論です。数学的には解決できますが、特に投資において、ケリー基準の実際の適用に関して興味深い問題を提起します。このパラドックスは、 2008年にエドワード・O・ソープによって命名され、初めて議論されました。^[1]このパラドックスは、その考案者であるトッド・プローブスティングにちなんで名付けられました

パラドックスの表明

賭けが勝つか負けるかの確率が同じで、勝った場合は賭け金の b 倍が支払われる場合、ケリー賭けは次のようになります。

${\displaystyle f^{*}={\frac {b-1}{2b}}\!}$

資産の倍数です。^[2]例えば、50/50の賭けで配当が2倍の場合、ケリーは資産の25%を賭けるべきだとしています。50/50の賭けで配当が5倍の場合、ケリーは資産の40%を賭けるべきだとしています。

さて、ギャンブラーが2倍の配当を提示され、25%を賭けたとします。もし新たな賭け金の配当が5倍に変わったら、彼はどうすべきでしょうか？彼は以下の式を最大化するためにf * を選ぶべきです。

${\displaystyle 0.5\ln(1.5+5f^{*})+0.5\ln(0.75-f^{*})\!}$

なぜなら、勝てば1.5（2対1のオッズで25%の賭けに勝った場合の0.5）と5f *が得られるからです。負ければ、最初の賭けで0.25、2番目の賭けでf *を支払わなければなりません。f *について微分し、それを0とすると、次の式が得られます。

${\displaystyle 5(0.75-f^{*})=1.5+5f^{*}\!}$

これは書き直すと次のようになります。

${\displaystyle 2.25=10f^{*}\!}$

つまりf * = 0.225です。

パラドックスは、最初から5対1のオッズが提示された場合、合計賭け金0.25 + 0.225 = 0.475がケリーベットの0.4よりも大きくなることです。賭けの一部が不利なオッズである場合、賭け金を増やすのは直感に反します。トッド・プロブスティングはエド・ソープにこの件についてメールで質問しました。

エド・ソープは、この考え方を拡張して、ケリーの賭け手が破産する確率をゼロではないものにできることに気づきました。彼は、ギャンブラーに2対1のオッズ、次に4対1、8対1といった具合に（n = 1から無限大まで、2 ⁿ対 1 ）のオッズが提示された場合、ケリーは次のように賭けるべきだと示しました。

${\displaystyle {\frac {3^{n-1}}{4^{n}}}\!}$

毎回、これらの賭け金の合計は1です。つまり、ケリー・ギャンブラーは全財産を失う確率が50%です。

_{一般的に、賭け手が配当 b 1}の 50/50 の賭けにケリー賭けをし、その後 b ₂が提示された場合、賭け金の合計は次のようになります。

${\displaystyle f^{*}={\frac {b_{2}-1}{2b_{2}}}+{\frac {b_{1}-1}{4}}\left({\frac {1}{f_{1}}}-{\frac {1}{f_{2}}}\right).\!}$

最初の項は、賭け手が最初にb ₂を提示された場合に賭けるであろう金額です。2番目の項は、f ₂ > f ₁の場合に正の値になります。つまり、配当が改善した場合、ケリー基準の賭け手は2番目の配当のみを提示された場合よりも賭け金を増やし、配当が悪化した場合、2番目の配当のみを提示された場合よりも賭け金を減らします。

実用化

多くの賭けには、結果が決まる前に配当や確率が変化するという特徴があります。例えばスポーツ賭博では、イベントが開催される前にラインが何度か変更される可能性があり、結果の確率を変えるニュース（怪我や天気予報など）が出ることもあります。投資では、当初1株20ドルで購入した株が、今では10ドル、30ドル、あるいは他の価格で入手できる可能性があります。スポーツ賭博をする人の中には、イベントの結果を予測するのではなく、ラインの変化を予想することで収入を得ようとする人もいます。トレーダーの中には、証券の長期的なファンダメンタルズ見通しよりも、短期的な価格変動の可能性に集中する人もいます。^[3]

典型的な投資の例として、エクスポージャー制限のあるトレーダーが挙げられます。例えば、ある銘柄に100万ドル以上のリスクを負うことは許可されていません。しかし、これは100万ドル以上の損失を出さないという意味ではありません。100万ドル分の株を20ドルで購入し、その後10ドルになった場合、さらに50万ドル分を追加で購入できます。さらに5ドルになった場合、さらに50万ドル分を追加で購入できます。もし価格が0ドルになった場合、100万ドル以上のリスクを負うことなく、無限の損失を被る可能性があります。^[4]

解決

このパラドックスを否定する簡単な方法の一つは、ケリー原則が確率は変化しないと仮定していることに注目することです。オッズが変化する可能性があることを知っているケリー原則の賭け手は、これをより複雑なケリー原則の賭けに組み込むことができます。例えば、ケリー原則の賭け手が、50/50の賭けに2対1のオッズで一度だけ賭ける機会を与えられたとします。彼は、2回目の一度だけの機会が5対1のオッズで提供される確率が50%であることを知っています。ここで、彼は以下を最大化する必要があります

${\displaystyle 0.25\ln(1+2f_{1})+0.25\ln(1-f_{1})+0.25\ln(1+2f_{1}+5f_{2})+0.25\ln(1-f_{1}-f_{2})\!}$

f ₁とf _{2 の}両方に関して。答えは、2対1でゼロを賭け、5対1で賭ける機会を待つことです。その場合、資産の40％を賭けることになります。5対1のオッズが提供される確率が50％未満の場合、ゼロから25％の間の何らかの金額が2対1で賭けられます。5対1のオッズが提供される確率が50％を超える場合、ケリーの賭け手は実際には2対1のオッズでマイナスの賭けをします（つまり、勝てば1/2の支払い、負ければ1の支払いで50/50の結果に賭けます）。どちらの場合でも、機会が提供された場合の5対1のオッズでの賭けは、40％から2対1の賭けの0.7倍を引いた金額になります。

このパラドックスが本質的に示唆しているのは、ケリー基準の賭け手が将来の賭けについて誤った信念を持っている場合、最適とは言えない選択をし、場合によっては破産する可能性があるということです。ケリー基準は、賭け手が確率と配当を把握している限り、長期的には本質的に異なる戦略よりも優れた結果をもたらし、破産する可能性はゼロであると考えられています。^[2]

アーロン・ブラウン氏によるこの問題に関する独自の考察によって、この問題への理解が深まりました。この考察はエド・ソープ氏にもメールで伝えられました。この定式化では、賭け手がまず最初の賭け金を売却し、次に2回目の配当時に新たな賭けを行うと仮定しています。この場合、賭け金の合計は次のようになります。

${\displaystyle f^{*}={\frac {b_{2}-1}{2b_{2}}}-{\frac {b_{1}-1}{4}}\left({\frac {1}{f_{1}}}-{\frac {1}{f_{2}}}\right){\frac {f_{2}-1}{f_{2}+1}}\!}$

これは、2 番目の項の符号が反転され、追加の項が乗算されることを除けば、上記の Proebsting の定式化の式と非常によく似ています。

例えば、2対1の配当の後に5対1の配当が続くという最初の例を例に挙げると、この公式では、賭け手はまず資産の25%を2対1で賭けます。5対1の配当が提示されると、賭け手は元の賭け金を0.125の損失で売却できます。2対1の賭けは、勝てば0.5の配当、負ければ0.25の損失となります。新しい5対1の配当では、勝てば0.625の配当、負ければ0.125の損失となる賭け金を得ることができ、これはどちらの状態においても元の賭け金より0.125有利です。したがって、元の賭け金の価値は-0.125になります。新しい資産レベルが0.875であることを考えると、40%の賭け（5対1の配当のケリー基準値）は0.35です。

2つの公式は同等です。最初の公式では、賭け手は2倍のオッズで0.25ドル、5倍のオッズで0.225ドルを賭けます。勝てば2.625ドル、負ければ0.525ドルを受け取ります。2つ目の公式では、賭け手は5倍のオッズで0.875ドルと0.35ドルを賭けます。勝てば2.625ドル、負ければ0.525ドルを受け取ります。

2つ目の定式化は、投資家の行動変化が、新たな配当が提示された際に時価評価損を被ることによって生じることを明確に示しています。これは金融の世界では自然な考え方ですが、ギャンブラーにとってはそれほど自然なものではありません。この解釈では、配当が無限に倍増する現象は、ケリー・ベッターを過剰賭けに誘い込むことで破滅させるのではなく、むしろ、彼の制御不能な変化を通じて彼の富をすべて奪い取るのです。

参考文献

1. EO Thorp著『ケリー基準の理解：パートII』、Wilmott Magazine、2008年9月
2. JL Kelly, Jr,情報レートの新しい解釈、ベルシステム技術ジャーナル、35、(1956)、917–926
3. SA Zenios および WT Ziemba、資産および負債管理ハンドブック、北オランダ (2006)、ISBN 978-0-444-50875-1
4. モニッシュ・パブライ著『ダンドー投資家：低リスク・バリューメソッドで高収益を』、Wiley（2007年）、ISBN 978-0-470-04389-9