プロペラ理論

プロペラ理論は、効率的なプロペラの設計を規定する科学です。プロペラは船舶や小型航空機において最も一般的な推進装置です。

歴史

19世紀後半には、いくつかの理論が発展しました。理想的なプロペラの数学的モデルを記述する理論である運動量理論、あるいはディスクアクチュエータ理論は、WJMランキン（1865年）、アルフレッド・ジョージ・グリーンヒル（1888年） 、ロバート・エドマンド・フルード（1889年）によって提唱されました。プロペラは無限に薄いディスクとしてモデル化され、回転軸に沿って一定速度を誘導します。このディスクはプロペラの周囲に流れを作り出します。流体に関する特定の数学的前提の下では、出力、プロペラの半径、トルク、および誘導速度の間に数学的な関係性を見出すことができます。摩擦は考慮されていません。

翼要素理論（BET）は、ロバート・エドマンド・フルード（1878年）、デイヴィッド・W・テイラー（1893年） 、ステファン・ドゥジェヴィエツキの父であるウィリアム・フルードによって、プロペラの挙動を決定するために考案された数学的手法です。翼を複数の小さな部分に分解し、それらに作用する力を決定します。これらの力は加速度に変換され、速度と位置を積分することができます。

動作原理

船舶用プロペラの命名法

1) 先端 2) 面 3) フィレット領域 4) ハブまたはボス 5) ハブまたはボスキャップ	6) 後縁 7) 後部 8) プロペラシャフト 9) 船尾管ベアリング 10) 船尾管

プロペラは流体に運動量を与え、それが船に力を作用させる。^{[ 1 ]}あらゆる推進装置の理想的な効率は、理想的な流体におけるアクチュエータ ディスクの効率である。これはフルード効率と呼ばれ、どんなに優れた装置でも超えることのできない自然の限界である。水中での滑りが実質的にゼロである推進装置は、非常に大きなプロペラであれ、巨大な抗力装置であれ、100 % のフルード効率に近​​づく。アクチュエータ ディスク理論の本質は、滑りをディスクを通る流体の速度増加と船の速度の比として定義すると、フルード効率は 1/(滑り + 1) に等しいという点である。^{[ 2 ]}したがって、大きな掃引面積を持つ軽荷重のプロペラは、高いフルード効率を持つことができる。

実際のプロペラは、流体を「ねじる」ように回転する螺旋状の面を持つブレード（羽根）を備えています（そのため、プロペラは一般的に「スクリュー」と呼ばれます）。実際には、ブレードはねじれた翼型または水中翼であり、各ブレードが全体の推力に寄与します。2枚から5枚のブレードが最も一般的ですが、低騒音運転を目的とした設計ではブレード枚数が多く、カウンターウェイト付きの1枚ブレードのプロペラも使用されています。軽飛行機や人力ボートの軽量プロペラは2枚ブレード、モーターボートは3枚ブレードのプロペラが一般的です。ブレードはボス（ハブ）に取り付けられており、ボスは大きくても構いませんが、強度上の観点から可能な限り小さくする必要があります。固定ピッチプロペラでは、ブレードとボスは通常、一体成形されています。

代替設計として、可変ピッチプロペラ（CPP、または可変可逆ピッチの略で CRP）があります。このプロペラでは、ハブにある追加機械（通常は油圧）と、シャフトに沿って走る制御リンケージによって、ブレードが駆動シャフトに対して垂直に回転します。これにより、駆動機械は一定速度で動作し、プロペラの負荷は動作条件に合わせて変化します。また、逆転ギアが不要になり、回転数が一定であるため、より迅速な推力変更が可能になります。このタイプのプロペラは、曳航時と自由走行時とでプロペラの負荷に大きな差が生じる可能性があるタグボートなどの船舶で最も一般的です。CPP/CRP の欠点には、キャビテーションを引き起こすために必要なトルクを減少させる大きなハブ、伝達力を制限する機械の複雑さ、およびプロペラ設計者に課せられる追加のブレード成形要件などがあります。

小型モーターにはセルフピッチングプロペラがあります。プロペラブレードは、シャフトに直角な軸上で円周方向に自由に回転します。これにより、流体力と遠心力によってプロペラブレードの角度が「設定」され、プロペラのピッチも調整されます。

後方から見て時計回りに回転して前進推力を生み出すプロペラは、右回転と呼ばれます。反時計回りに回転するプロペラは左回転と呼ばれます。大型船舶では、傾斜トルクを低減するために2本のスクリューを備えた二重反転プロペラが使用されることが多く、これは右舷側のスクリューが通常右回転、左舷側のスクリューが左回転であるため、外回転と呼ばれます。反対の場合は内回転と呼ばれます。もう一つの選択肢として、二重反転プロペラがあります。これは、2つのプロペラが単一の軸上、またはほぼ同軸上の別々の軸上で反対方向に回転するものです。二重反転プロペラは、前方プロペラによって流体に与えられる接線速度で失われるエネルギー（「プロペラスワール」と呼ばれる）を回収することで効率を向上させます。二重反転プロペラの後部プロペラ後方の流れ場には「スワール」がほとんどないため、このエネルギー損失の低減は後部プロペラの効率向上として見られます。

アジマスプロペラは、垂直軸を中心に回転するプロペラです。翼状の個々のブレードはプロペラの動きに合わせて回転し、常に船の進行方向に揚力を発生させます。このタイプのプロペラは、非常に迅速に推力方向を反転または変更することができます。

固定翼航空機もP 係数効果の影響を受けます。P 係数効果では、回転するプロペラが作り出す相対的な風が非対称であるため、航空機がわずかに片側にヨーします。上昇時に特に顕著になりますが、通常、航空機の方向舵で簡単に補正できます。多発エンジン航空機で、特に P 係数を高める側にあるエンジンの 1 つが出力を失った場合、より深刻な状況が発生する可能性があります。この動力装置は臨界エンジンと呼ばれ、その損失によりパイロットはより多くの制御補正が必要になります。幾何ピッチとは、航空機のプロペラの要素が、その弦とプロペラ軸に垂直な面との間の角度に等しい角度を持つらせんに沿って動いているとした場合に、1 回転で進む距離です。

フォイルに作用する力

翼が受ける力 (F) は、面積 (A)、流体の密度 (ρ)、速度 (V)、および流体の流れに対する翼の角度 (迎え角( )) によって決まります。 ${\displaystyle \alpha}$

${\displaystyle {\frac {F}{\rho AV^{2}}}=f(R_{n},\alpha )}$

力は2つの部分から成ります。流れの方向に垂直な力が揚力（L）で、流れの方向の力が抗力（D）です。どちらも数学的に次のように表すことができます。

${\displaystyle L=C_{L}{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}A}$ そして${\displaystyle D=C_{D}{{\tfrac {1}{2}}\rho V^{2}A}}$

ここで、C _Lと C _{Dはそれぞれ}揚力係数と抗力係数です。

各係数は、迎え角とレイノルズ数の関数です。迎え角が増加すると、揚力は無揚力角から急速に増加し、その後増加率は緩やかになり、その後減少します。失速角に達して流れが乱れると、抗力は急激に低下します。抗力は最初は緩やかに増加しますが、揚力の増加率が低下し、迎え角が増加すると、抗力はより急激に増加します。

与えられた循環強度（）の場合、翼上の流れと翼周りの循環の影響により、翼面上の速度は低下し、翼背面上の速度は上昇します。流体の周囲圧力に比べて圧力低下が大きすぎるとキャビテーションが発生し、低圧領域に気泡が形成されて翼後縁に向かって移動し、圧力上昇に伴い崩壊します。これによりプロペラの効率が低下し、騒音が増加します。気泡の崩壊によって発生する力は、翼表面に永久的な損傷を引き起こす可能性があります。 ${\displaystyle \tau}$ ${\displaystyle {\mbox{揚力}}=L=\rho V\tau }$

プロペラ推力方程式

シングルブレード

ブレードの任意の半径方向断面をrで取り、回転数をNとすると、回転速度は となる。もしブレードが完全なスクリューであれば、固体中をNPの速度で進むことになる。ここでPはブレードのピッチである。水中では、前進速度 はかなり低くなる。その差、つまりスリップ率 は、以下の式で表される。 ${\displaystyle \scriptstyle 2\pi Nr}$ ${\displaystyle \scriptstyle V_{a}}$

${\displaystyle {\mbox{Slip}}={\frac {NP-V_{a}}{NP}}=1-{\frac {J}{p}}}$

ここで、 は進み係数、 はピッチ比、 はプロペラの直径です。 ${\displaystyle \scriptstyle J={\frac {V_{a}}{ND}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle p={\frac {P}{D}}}$ ${\displaystyle \scriptstyle D}$

ブレードにかかる揚力と抗力dA（表面に対する法線方向の力はdL ）は次の式で表されます。

${\displaystyle {\mbox{d}}L={\frac {1}{2}}\rho V_{1}^{2}C_{L}dA={\frac {1}{2}}\rho C_{L}[V_{a}^{2}(1+a)^{2}+4\pi ^{2}r^{2}(1-a')^{2}]b{\mbox{d}}r}$

どこ：

${\displaystyle {\begin{aligned}V_{1}^{2}&=V_{a}^{2}(1+a)^{2}+4\pi ^{2}r^{2}(1-a')^{2}\\{\mbox{d}}D&={\frac {1}{2}}\rho V_{1}^{2}C_{D}{\mbox{d}}A={\frac {1}{2}}\rho C_{D}[V_{a}^{2}(1+a)^{2}+4\pi ^{2}r^{2}(1-a')^{2}]b{\mbox{d}}r\end{aligned}}}$

これらの力はブレードの 推力Tに寄与します。

${\displaystyle {\mbox{d}}T={\mbox{d}}L\cos \varphi -{\mbox{d}}D\sin \varphi ={\mbox{d}}L(\cos \varphi -{\frac {{\mbox{d}}D}{{\mbox{d}}L}}\sin \varphi )}$

どこ：

${\displaystyle {\begin{aligned}\tan \beta &={\frac {{\mbox{d}}D}{{\mbox{d}}L}}={\frac {C_{D}}{C_{L}}}\\&={\frac {1}{2}}\rho V_{1}^{2}C_{L}{\frac {\cos(\varphi +\beta )}{\cos \beta }}b{\mbox{d}}r\end{aligned}}}$

として、 ${\displaystyle \scriptstyle V_{1}={\frac {V_{a}(1+a)}{\sin \varphi }}}$

${\displaystyle {\mbox{d}}T={\frac {1}{2}}\rho C_{L}{\frac {V_{a}^{2}(1+a)^{2}\cos(\varphi +\beta )}{\sin ^{2}\varphi \cos \beta }}b{\mbox{d}}r}$

この式をブレードに沿って積分することで、総推力が得られます。横方向の力も同様の方法で求められます。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\mbox{d}}M&={\mbox{d}}L\sin \varphi +{\mbox{d}}D\cos \varphi \\&={\mbox{d}}L(\sin \varphi +{\frac {{\mbox{d}}D}{{\mbox{d}}L}}\cos \varphi )\\&={\frac {1}{2}}\rho V_{1}^{2}C_{L}{\frac {\sin(\varphi +\beta )}{\cos \varphi }}b{\mbox{d}}r\end{aligned}}}$

を代入してrを掛けると、トルクは次のようになります。 ${\displaystyle \scriptstyle V_{1}}$

${\displaystyle {\mbox{d}}Q=r{\mbox{d}}M={\frac {1}{2}}\rho C_{L}{\frac {V_{a}^{2}(1+a)^{2}\sin(\varphi +\beta )}{\sin ^{2}\varphi \cos \beta }}br{\mbox{d}}r}$

これまでと同様に統合できます。

プロペラの全推力は に比例し、軸動力は に比例します。したがって、効率は です。ブレード効率は、推力とトルクの比で表されます。 ${\displaystyle \scriptstyle TV_{a}}$ ${\displaystyle \scriptstyle 2\pi NQ}$ ${\displaystyle \scriptstyle {\frac {TV_{a}}{2\pi NQ}}}$

${\displaystyle {\mbox{blade element efficiency}}={\frac {V_{a}}{2\pi Nr}}\cdot {\frac {1}{\tan(\varphi +\beta )}}}$

ブレードの効率は、その運動量と角度およびという形で表される特性によって決まることを示しています。ここで、は抗力係数と揚力係数の比です。 ${\displaystyle \scriptstyle \varphi }$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$ ${\displaystyle \scriptstyle \beta }$

この解析は簡略化されており、ブレード間の干渉や先端渦の影響など、いくつかの重要な要素が無視されています。

推力とトルク

推力TとトルクQは、プロペラの直径D、回転数N、前進速度 、そしてプロペラが作動する流体の性質と重力に依存します。これらの要因により、以下の無次元関係が成立します。 ${\displaystyle V_{a}}$

${\displaystyle T=\rho V^{2}D^{2}\left[f_{1}\left({\frac {ND}{V_{a}}}\right),f_{2}\left({\frac {v}{V_{a}D}}\right),f_{3}\left({\frac {gD}{V_{a}^{2}}}\right)\right]}$

ここで、 は前進係数 の関数、はレイノルズ数 の関数、 はフルード数の関数です。 と はどちらも、通常の運転条件下では と比較して小さい値になる可能性が高いため、式は次のように簡略化されます。 ${\displaystyle f_{1}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle f_{2}}$ ${\displaystyle f_{3}}$ ${\displaystyle f_{1}}$

${\displaystyle T=\rho V_{a}^{2}D^{2}\times f_{r}\left({\frac {ND}{V_{a}}}\right)}$

同一のプロペラが2つある場合、どちらの式も同じになります。したがって、プロペラ、および各プロペラを表すのに同じ添え字を使用すると、次のようになります。 ${\displaystyle T_{1},T_{2}}$

${\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}\times {\frac {V_{a1}^{2}}{V_{a2}^{2}}}\times {\frac {D_{1}^{2}}{D_{2}^{2}}}}$

フルード数と前進係数の両方について：

${\displaystyle {\frac {T_{1}}{T_{2}}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}\times {\frac {D_{1}^{3}}{D_{2}^{3}}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}\lambda ^{3}}$

ここで、は線形寸法の比率です。 ${\displaystyle \lambda }$

推力と速度が同じフルード数で推力が得られます。

${\displaystyle {\frac {P_{T1}}{P_{T2}}}={\frac {\rho _{1}}{\rho _{2}}}\lambda ^{3.5}}$

トルクの場合:

${\displaystyle Q=\rho V_{a}^{2}D^{3}\times f_{q}\left({\frac {ND}{V_{a}}}\right)}$

${\displaystyle ...}$

実際のパフォーマンス

船舶にプロペラを取り付けると、その性能は変化します。動力伝達における機械的損失、全体的な抵抗の増加、そして船体によるプロペラを通る流れの阻害や不均一化などが原因です。船舶に取り付けられたプロペラの効率（）と開放水面におけるプロペラの効率（）の比は、相対回転効率と呼ばれます。${\displaystyle \scriptstyle P_{D}}$ ${\displaystyle \scriptstyle P'_{D}}$

総合推進効率（有効出力（）の拡張）は推進係数（）から導き出されます。推進係数は、付属装置付き船体の有効出力（）、プロペラの推力（）、および相対回転効率によって修正された設置軸出力（ ）から得られます。 ${\displaystyle \scriptstyle P_{E}}$ ${\displaystyle \scriptstyle PC}$ ${\displaystyle \scriptstyle P_{S}}$ ${\displaystyle \scriptstyle P'_{E}}$ ${\displaystyle \scriptstyle P_{T}}$

${\displaystyle P'_{E}}$ / = 船体効率 =${\displaystyle P_{T}}$ ${\displaystyle \eta _{H}}$

${\displaystyle P_{T}}$ / = プロペラ効率 =${\displaystyle P'_{D}}$ ${\displaystyle \eta _{O}}$

${\displaystyle P'_{D}}$ / = 相対回転効率 =${\displaystyle P_{D}}$ ${\displaystyle \eta _{R}}$

${\displaystyle P_{D}}$ / = シャフト伝達効率${\displaystyle P_{S}}$

以下を生産します:

${\displaystyle PC=\left({\frac {\eta _{H}\cdot \eta _{O}\cdot \eta _{R}}{\mbox{appendage coefficient}}}\right)\cdot {\mbox{transmission efficiency}}}$

括弧内の項は、一般に準推進係数（、）としてまとめられます。 は小規模実験から算出され、実船の荷重係数で修正されます。 ${\displaystyle \scriptstyle QPC}$ ${\displaystyle \scriptstyle \eta _{D}}$ ${\displaystyle \scriptstyle QPC}$

航跡とは、船と水との相互作用であり、水は船に対して相対的な速度を持ちます。航跡は3つの要素から成ります。船体周囲の水の速度、船体に引きずられる水と周囲の流れとの間の境界層、そして船の運動によって生じる波です。最初の2つの要素はプロペラに流入する水の速度を低下させ、最後の要素は、波がプロペラに山を作るか谷を作るかによって、速度を増減させます。

参照

• ブレード要素理論
• ブレード要素運動量理論
• プロペラ
• 可変ピッチプロペラ（曖昧さ回避）
• プロペラ（航空学）
• 地上調整式プロペラ
• キャビテーション

参考文献

1. Deep Blue Yacht Supply (2018年6月18日). 「ボートのプロペラ理論と推進力」 deepblueyachtsupply.com . 2020年7月10日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2020年7月10日閲覧。
2. Schmidt, Theo. 「PropSimによるプロペラシミュレーション」（PDF） . Human Power Number 48 .