性質Pの予想

幾何学的位相幾何学において、性質P予想は、 3次元球面上の結び目にデーン手術を施すことで得られる3次元多様体に関する命題である。3次元球面上の結び目が性質Pを持つとは、その結び目に（非自明な）デーン手術を施して得られるすべての3次元多様体が単連結でないことを意味する。^[1]この予想は、非結び目を除くすべての結び目が性質Pを持つと述べている。

特性 P に関する研究は、その名前と推測を広めたRH Bingによって開始されました。

この予想は、ポアンカレ予想を解決するための第一歩と考えることができます。なぜなら、リコリッシュ・ウォレスの定理によれば、任意の閉じた有向3次元多様体はリンク上のデーン手術から得られるからです。^[2] 結び目が特性Pを持つ場合、 に沿った手術でポアンカレ予想の反例を構成することはできません。 ${\displaystyle K\subset \mathbb {S} ^{3}}$ ${\displaystyle K}$

2004 年に、さまざまな分野で研究している数学者の努力の成果として証明が発表されました。

代数的定式化

の管状近傍の優先経度と子午線に対応する要素を とします。 ${\displaystyle [l],[m]\in \pi _{1}(\mathbb {S} ^{3}\setminus K)}$ ${\displaystyle K}$

${\displaystyle K}$ が特性 P を持つのは、その結び目群が何らかの に対してという形式の関係を付加することによって決して自明化されない場合のみです。 ${\displaystyle m=l^{a}}$ ${\displaystyle 0\neq a\in \mathbb {Z} }$

参考文献

1. “Celebratio Mathematica — Eliashberg — Filling and topology”. celebratio.org . 2025年4月24日閲覧。
2. ミヒラー、フィン（2024年6月）. リコリッシュ＝ウォレス定理（学士論文）. ETHチューリッヒ. doi :10.3929/ethz-b-000694486.

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• ロルフセン、デール (1976)、「第9章 J」、結び目とつながり、数学講義シリーズ、第7巻、カリフォルニア州バークレー：Publish or Perish、pp.  280– 283、ISBN 0-914098-16-0、MR  0515288
• アダムス、コリン (2004). 『結び目の本：結び目の数学理論への初歩的入門』アメリカ数学会. p. 262. ISBN 0-8218-3678-1。