純粋サブモジュール

数学、特に加群理論の分野において、純粋部分加群の概念は、加群の特に行儀の良い部分の一種である直和対象の一般化を提供する。純粋加群は平坦加群を補完し、プリューファーの純粋部分群の概念を一般化する。平坦加群はテンソル化後も短い完全列が完全となる加群であるのに対し、純粋部分加群は、どの加群ともテンソル化後も完全であり続ける短い完全列（純粋完全列と呼ばれる）を定義する。同様に、平坦加群は射影加群の直接極限であり、純粋完全列は分割完全列の直接極限である。

意味

R を環（結合的、1 を満たす）とし、 M をR上の（左）加群とし、P をMの部分加群とし、i : P → M を自然単射写像とする。このとき、PがMの純粋部分加群であるとは、任意の（右）R加群Xに対して、自然誘導写像 id _X ⊗ i  : X ⊗ P → X ⊗ M （テンソル積はR上でとられる）が単射であることを意味する。

同様に、短い完全列

${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

（左）R加群の列が純粋正確であるとは、任意の（右） R加群Xとテンソル化しても列が正確であることを意味する。これは、 f ( A ) がBの純粋部分加群であるということに等しい。

同等の特徴

部分加群の純粋性は要素ごとに表現することもできます。これは、実際には特定の線形方程式系の可解性に関する記述です。具体的には、PがMにおいて純粋であるためには、次の条件が成立する必要があります。Rに要素を持つ任意のm行n列行列( a _ij )と、Pの要素の任意の集合y ₁ , ..., y _{mに対して、} Mに要素x ₁ , ..., x _nが存在し、次の式が 成り立つ場合です。

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ }}i=1,\ldots ,m の場合}$

するとPにはx ₁ ′, ..., x _n ′という 元も存在し、

${\displaystyle \sum _{j=1}^{n}a_{ij}x'_{j}=y_{i}\qquad {\mbox{ }}i=1,\ldots ,m の場合}$

別の特徴付けは、あるシーケンスが純粋に正確であるのは、それが分割された正確なシーケンスのフィルタリングされた余極限（直接極限とも呼ばれる）である場合のみである、というものである。

${\displaystyle 0\longrightarrow A_{i}\longrightarrow B_{i}\longrightarrow C_{i}\longrightarrow 0.}$ ^{[ 1 ]}

例

• Mのすべての直和項はMにおいて純粋である。したがって、体上のベクトル空間のすべての部分空間は純粋である。

プロパティ

^{[ 2 ]}と仮定する

${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

がR加群の短い正確な列である場合、次のようになります。

1. Cが平坦加群であるための必要十分条件は、任意のAとBに対して完全列が純粋完全となることである。このことから、フォン・ノイマン正則環上において、任意のR加群のすべての部分加群は純粋であることが分かる。これは、フォン・ノイマン正則環上のすべての加群が平坦であるためである。逆もまた真である。^{[ 3 ]}
2. Bが平坦であると仮定する。すると、列が純粋完全であることと、Cが平坦であることは同値である。このことから、平坦加群の純粋部分加群は平坦であることが分かる。
3. Cが平坦であると仮定します。すると、Aが平坦である場合にのみ、B も平坦になります。

が純粋正確で、F が有限に提示されたR加群である 場合 、FからCへのすべての準同型はBに持ち上げることができます。つまり、すべてのu  : F → Cに対して、gv = uとなるv  : F → Bが存在します。 ${\displaystyle 0\longrightarrow A\,\ {\stackrel {f}{\longrightarrow }}\ B\,\ {\stackrel {g}{\longrightarrow }}\ C\longrightarrow 0}$

参考文献

1. アーベル群については、これはFuchs (2015 , Ch. 5, Thm. 3.4)
2. ラム1999、154ページ。
3. ラム1999、162ページ。

• フックス、ラースロー（2015年）、アーベル群、Springer Monographs in Mathematics、Springer、ISBN 9783319194226

• ラム・ツィット・ユエン（1999）「モジュールと環に関する講義」、大学院数学テキスト第189号、ベルリン、ニューヨーク：シュプリンガー・フェアラーク、ISBN 978-0-387-98428-5、MR  1653294