ピタゴラス音律
Method of tuning a musical instrument
シントニックチューニングの連続体。702セントでピタゴラスチューニングを示しています。[1]
C のピタゴラス (トニック) メジャーコード。Play ⓘ (Play ⓘ平均律とPlay ⓘ純正律を比較してください)。
平均律 (黒) とピタゴラス音程 (緑) の比較。周波数比と音程の値 (セント単位) の関係を示しています。

ピタゴラス音律は、すべての音程の周波数比を、比率 を持つ「純粋」または完全5 度のシーケンス [2]を選択することで決定する音楽調律システムです。これが選択されるのは、振動弦の次の倍音であり、オクターブ（比率）の次に来るため、次に最も協和的な「純粋」音程であり、耳で調律するのが最も容易だからです。ノヴァーリスは、「音楽の比率は、私にとって特に正しい自然比率であるように思われる」と述べています[3]。あるいは、これはシントニック音律[1]の調律とも言え、その生成音は比率3:2（つまり、平均律のない完全 5 度）で、幅は約 702セントです。 3 : 2 {\displaystyle 3:2} 2 : 1 {\displaystyle 2:1}

このシステムは古代メソポタミアにまで遡る[4]（メソポタミアの音楽§音楽理論を参照）。このシステムは古代ギリシャ人、特にピタゴラス（紀元前6世紀）に名付けられ、現代の音楽理論家によって広く誤解されてきた。プトレマイオス、そして後にボエティウスは、テトラコルドをラテン語で「セミトニウム」と「トーヌス」（256:243 × 9:8 × 9:8）と呼ばれる2つの音程に分割することをエラトステネスに帰した。いわゆる「ピタゴラス音律」は16世紀初頭まで音楽家によって用いられていた。「ピタゴラス音律は5度音程の純粋さゆえに理想的に見えるが、他の音程、特に長3度音程はひどく不協和音であると考える者もいる。」[2]

ピタゴラス音階とは、純粋な完全五度（3:2）とオクターブ（2:1）のみから構成できる音階のことである。 [5]ギリシャ音楽では、1オクターブにわたる音階を構成するテトラコルドの調律に用いられた。[6]拡張ピタゴラス音律と12音ピタゴラス音律は区別できる。拡張ピタゴラス音律は西洋音楽の記譜法と1対1で対応し、五度の数に制限はない。しかし、12音ピタゴラス音律ではオクターブあたり12音に制限されるため、異名同音記譜法に対応するピタゴラス音階に従って演奏する音楽はほとんどない。例えば、減六度は「ウルフ五度」になる。

方法

12音ピタゴラス音律は、完全五度音階の連続を基本としており、各音は2:1（オクターブ）の次に単純な3:2の比率で調律されています。例えばD（Dベース調律）から始まり、他の6つの音は3:2の比率を6回ずつ上方にずらすことで生成され、残りの音は同じ比率を下方にずらすことで生成されます。

E♭–B♭–F–C–G– D –A–E–B–F#–C#–G#

この 11 個の 3:2 音程の連続は、広範囲の周波数に及びます(ピアノの鍵盤では 77 個のキーが含まれます)。周波数が 2 倍異なる音は類似していると認識され、同じ名前が付けられるため (オクターブ等価)、これらの音の周波数を 2 で除算または乗算するのが一般的です (2 の累乗)。この調整の目的は、12 個の音をより狭い周波数範囲内、つまり基本音のD とその上の D (その 2 倍の周波数の音) の間の音程内に移動することです。この音程は通常、基本オクターブと呼ばれます(ピアノの鍵盤では、1オクターブには 12 個のキーしかありません)。これは古代に遡ります。古代メソポタミアでは、5度を積み重ねるのではなく、上昇する5度と下降する4度を交互に使用するチューニング（上昇する5度に下降するオクターブが続く）に基づいており、その結果、ペンタトニックまたはヘプタトニックスケールの音が1オクターブ以内に収まりました。

注記 Dからの間隔 式 ＝ ＝ 頻度
比 		サイズ
（セント） 		12-TET-dif
（セント）
D ユニゾン 1 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}} 3 0 × 2 0 {\displaystyle 3^{0}\times 2^{0}} 3 0 2 0 {\displaystyle {\frac {3^{0}}{2^{0}}}} 1 1 {\displaystyle {\frac {1}{1}}} 0.00 0.00
E ♭ 短二度 ( 2 3 ) 5 × 2 3 {\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{5}\times 2^{3}} 3 − 5 × 2 8 {\displaystyle 3^{-5}\times 2^{8}} 2 8 3 5 {\displaystyle {\frac {2^{8}}{3^{5}}}} 256 243 {\displaystyle {\frac {256}{243}}} 90.22 −9.78
E 長二度 ( 3 2 ) 2 × 1 2 {\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{2}\times {\frac {1}{2}}} 3 2 × 2 − 3 {\displaystyle 3^{2}\times 2^{-3}} 3 2 2 3 {\displaystyle {\frac {3^{2}}{2^{3}}}} 9 8 {\displaystyle {\frac {9}{8}}} 203.91 3.91
F 短3度 ( 2 3 ) 3 × 2 2 {\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{3}\times 2^{2}} 3 − 3 × 2 5 {\displaystyle 3^{-3}\times 2^{5}} 2 5 3 3 {\displaystyle {\frac {2^{5}}{3^{3}}}} 32 27 {\displaystyle {\frac {32}{27}}} 294.13 −5.87
F ＃ 長三度 ( 3 2 ) 4 × ( 1 2 ) 2 {\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{4}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}} 3 4 × 2 − 6 {\displaystyle 3^{4}\times 2^{-6}} 3 4 2 6 {\displaystyle {\frac {3^{4}}{2^{6}}}} 81 64 {\displaystyle {\frac {81}{64}}} 407.82 7.82
G 完全4度 2 3 × 2 {\displaystyle {\frac {2}{3}}\times 2} 3 − 1 × 2 2 {\displaystyle 3^{-1}\times 2^{2}} 2 2 3 1 {\displaystyle {\frac {2^{2}}{3^{1}}}} 4 3 {\displaystyle {\frac {4}{3}}} 498.04 −1.96
A ♭ 減五度 ( 2 3 ) 6 × 2 4 {\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{6}\times 2^{4}} 3 − 6 × 2 10 {\displaystyle 3^{-6}\times 2^{10}} 2 10 3 6 {\displaystyle {\frac {2^{10}}{3^{6}}}} 1024 729 {\displaystyle {\frac {1024}{729}}} 588.27 −11.73
G ＃ 増四度 ( 3 2 ) 6 × ( 1 2 ) 3 {\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{6}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{3}} 3 6 × 2 − 9 {\displaystyle 3^{6}\times 2^{-9}} 3 6 2 9 {\displaystyle {\frac {3^{6}}{2^{9}}}} 729 512 {\displaystyle {\frac {729}{512}}} 611.73 11.73
あ 完全五度 3 2 {\displaystyle {\frac {3}{2}}} 3 1 × 2 − 1 {\displaystyle 3^{1}\times 2^{-1}} 3 1 2 1 {\displaystyle {\frac {3^{1}}{2^{1}}}} 3 2 {\displaystyle {\frac {3}{2}}} 701.96 1.96
ロ♭ 短6度 ( 2 3 ) 4 × 2 3 {\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{4}\times 2^{3}} 3 − 4 × 2 7 {\displaystyle 3^{-4}\times 2^{7}} 2 7 3 4 {\displaystyle {\frac {2^{7}}{3^{4}}}} 128 81 {\displaystyle {\frac {128}{81}}} 792.18 −7.82
B 長六度 ( 3 2 ) 3 × 1 2 {\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{3}\times {\frac {1}{2}}} 3 3 × 2 − 4 {\displaystyle 3^{3}\times 2^{-4}} 3 3 2 4 {\displaystyle {\frac {3^{3}}{2^{4}}}} 27 16 {\displaystyle {\frac {27}{16}}} 905.87 5.87
C 短七度 ( 2 3 ) 2 × 2 2 {\displaystyle \left({\frac {2}{3}}\right)^{2}\times 2^{2}} 3 − 2 × 2 4 {\displaystyle 3^{-2}\times 2^{4}} 2 4 3 2 {\displaystyle {\frac {2^{4}}{3^{2}}}} 16 9 {\displaystyle {\frac {16}{9}}} 996.09 −3.91
ハ＃ 長七度 ( 3 2 ) 5 × ( 1 2 ) 2 {\displaystyle \left({\frac {3}{2}}\right)^{5}\times \left({\frac {1}{2}}\right)^{2}} 3 5 × 2 − 7 {\displaystyle 3^{5}\times 2^{-7}} 3 5 2 7 {\displaystyle {\frac {3^{5}}{2^{7}}}} 243 128 {\displaystyle {\frac {243}{128}}} 1109.78 9.78
D オクターブ 2 1 {\displaystyle {\frac {2}{1}}} 3 0 × 2 1 {\displaystyle 3^{0}\times 2^{1}} 2 1 3 0 {\displaystyle {\frac {2^{1}}{3^{0}}}} 2 1 {\displaystyle {\frac {2}{1}}} 1200.00 0.00

公式において、3:2または2:3の比率は上昇または下降する完全五度（つまり、周波数が完全五度だけ増加または減少すること）を表し、2:1または1:2は上昇または下降するオクターブを表します。これらの公式は、第3倍音と第2倍音のべき乗で表すこともできます。

このチューニングから得られるCをベースとしたメジャースケールは次の通りである: [ 7 ]

注記 C D E F G あ B C
比率 1 ⁄ 1 9 ⁄ 8 81 ⁄ 64 4 ⁄ 3 3 ⁄ 2 27 ⁄ 16 243 ⁄ 128 2 ⁄ 1
ステップ — 9 ⁄ 8 9 ⁄ 8 256 ⁄ 243 9 ⁄ 8 9 ⁄ 8 9 ⁄ 8 256 ⁄ 243 —

平均律では、 A ♭とG #のような異名同音の音符は全く同じ音符であるとみなされます。しかし、上の表が示すように、ピタゴラス音律ではDに対する比率が異なり、つまり周波数が異なります。この約23.46セント、つまり半音の約4分の1の差は、ピタゴラス・コンマと呼ばれます。

この問題を回避するため、ピタゴラス音律では、上記のように 12 の音符のみを構成し、その間に 11 の五度を置きます。たとえば、 E ♭からG ♯までの 12 の音符のみを使用できます。これは、上で示したように、半音階全体を構成するのに 11 の正確な五度だけが使用されることを意味します。残りの音程 ( G ♯からE ♭までの減六度) は大きく音程がずれたままになり、この 2 つの音符を組み合わせた音楽はこの音律では演奏できません。このような大きく音程がずれた音程は、ウルフ音程と呼ばれます。ピタゴラス音律の場合、ウルフ五度だけを除いて、すべての五度は 701.96 セント幅で、比率は 3:2 とまったく同じです。ウルフ五度は 678.49 セント幅で、ほぼ 4 分の 1 半音低くなっています。

G ♯とE ♭を同時に鳴らす必要がある場合、ウルフ5度の位置を変更できます。例えば、Cを基準としたピタゴラス音律では、D ♭からF ♯までの5度が重なり、F ♯ -D ♭がウルフ5度となります。しかし、ピタゴラス音律では常に1つのウルフ5度が存在するため、すべてのキーで正確に 演奏することは不可能です。

間隔の大きさ

C ベースのピタゴラス音律の 144 の音程。

上記の表は、各音符の基音に対する周波数比のみを示しています。ただし、音程はどの音符からでも開始できるため、各音程タイプごとに12種類の音程を定義できます（ユニゾン12種類、半音12種類、2半音間隔12種類など）。

上で説明したように、12の五度音程のうちの1つ（ウルフ五度音程）は、他の11の五度音程とは大きさが異なります。同様の理由から、ユニゾンとオクターブを除く各音程タイプには、それぞれ2つの異なる大きさがあります。右の表は、それらの周波数比を示しており、ピタゴラスコンマの偏差は色分けされています。[8]これらの偏差は、音符が2つの異なる半音を決定するために生じます。

  • 短2度（m2）は、全音階半音とも呼ばれ、大きさは（例えばDとE ♭の間） S 1 = 2 8 3 5 = 256 243 ≈ 90.225  cents {\displaystyle S_{1}={2^{8} \over 3^{5}}={256 \over 243}\approx 90.225{\text{ cents}}}
  • 増音ユニゾン（A1）は半音半音とも呼ばれ、大きさはE ♭とEの間など S 2 = 3 7 2 11 = 2187 2048 ≈ 113.685  cents {\displaystyle S_{2}={3^{7} \over 2^{11}}={2187 \over 2048}\approx 113.685{\text{ cents}}}

対照的に、平均律の半音階では、すべての半音は

S E = 2 12 = 100.000  cents {\displaystyle S_{E}={\sqrt[{12}]{2}}=100.000{\text{ cents}}}

あらゆるタイプの音程は同じ大きさですが、ユニゾンとオクターブを除いて正しく調律されているものはありません。

定義上、ピタゴラス音律では、11個の完全五度（表のP5 ）の大きさは約701.955セント（700+εセント、 ε は1.955セント）です。12個の五度の平均の大きさは（平均律と同様に）ちょうど700セントに等しくなければならないため、残りの1個の大きさは700 - 11 εセント、つまり約678.495セント（ウルフ五度）になります。表に示されているように、後者の音程は異名同音的には五度に相当しますが、より正確には減六度（d6）と呼ばれます。同様に、

  • 9つの短3度（m3）は≈ 294.135セント（300 − 3 ε）、3つの増2度（A2）は≈ 317.595セント（300 + 9 ε）であり、平均は300セントです。
  • 8 つの長 3 度( M3 ) は約 407.820 セント (400 + 4 ε )、4 つの短 4 度( d4 ) は約 384.360 セント (400 − 8 ε ) で、平均は 400 セントです。
  • 7つの全音階半音（m2）は≈ 90.225セント（100 − 5 ε）、5つの半音階半音（A1）は≈ 113.685セント（100 + 7 ε）であり、平均は100セントです。

つまり、ユニゾンとオクターブを除くすべての音程タイプで同様の幅の違いが見られ、それらはすべて ピタゴラスの5度と平均5度の差である εの倍数です。

当然の帰結として、増音程または減音程は、それぞれ異名同音の音程よりも正確に12 ε (≈ 23.460)セント狭く、または広くなります。例えば、d6（ウルフ5度）は各P5よりも12 εセント狭く、各A2は各m3よりも12 εセント広くなります。この12 εの音程はピタゴラス・コンマと呼ばれ、減二度（≈ -23.460セント）の反対音に正確に等しくなります。これは、 εがピタゴラス・コンマの12分の1としても定義できること を意味します。

ピタゴラス音程

ピタゴラス音程のうち 4 つは、特定の名前が付けられます。次の表では、これらの特定の名前と、他のいくつかの音程で一般的に使用される別名を示します。ピタゴラスのコンマは、その大きさ (524288:531441) がピタゴラスの減二度 (531441:524288) の逆数であるため、減二度とは一致しません。また、全音と三全音はすべての調律システムに一般的に使用されますが、全音と三全音はピタゴラス音程に特有のものです。名前に反して、セミディトーン (3 半音、約 300 セント) を全音 (4 半音、約 400 セント) の半分と見なすことはほとんどできません。接頭辞sesqui-を持つすべての音程は正しく調律されており、表に示すように、その周波数比は超特異数(またはエピモリック比) です。オクターブについても同様です。


半音の数		 一般名 特定の名前
質と数 その他の命名規則 ピタゴラス音律
（音程比の名称）		 5制限チューニング 1/4コンマ・
ミーントーン
満杯 短い
0 増七度[a] A7 昇順コンマ ピタゴラス コンマ (531441:524288) ディエシス（128:125）
0 減二度 d2 下降コンマ （524288:531441）
1 短二度 平方メートル 半音、
半音、
半音階		 全音階半音、
短音階半音		 リンマ(λείμμα) (256:243)
1 増音ユニゾン A1 半音、
長音		 アポトーム(αποτομή) (2187:2048)
2 長二度 M2 全音、全音、全音階 エポグドン(επόγδοον)、セスキオクタヴム(9:8)
3 短3度 立方メートル 半二音階(32:27) セスキクイントゥム（6:5）
4 長三度 M3 ディトーン(δίτονον) (81:64) セスキクアルトゥム（5:4）
5 完全4度 P4 ディアテッサロン (διατεσσάρων) エピトライト (επίτριτος)、セスキテルチウム(4:3)
6 減五度 d5
6 増四度 A4 トリトーン (τρίτονον) (729:512)
7 完全五度 P5 diapente (διαπέντε) ヘミオリオン (ημιόλιον), sesquialterum (3:2)
12 （完全）オクターブ P8 ディアパソン（διαπασών） デュプレックス（2:1）

歴史と使用法

このシステムは古代メソポタミアに遡り[4]、上昇する五度と下降する四度を交互に繰り返すものであった。メソポタミアの音楽 § 音楽理論を参照。古代ギリシャ音楽において、このシステムは主にピタゴラス（紀元前500年頃の人物）に帰属すると考えられていた。古代ギリシャ人は、全音階、ピタゴラス音律、旋法など、多くの音楽理論をメソポタミアから借用した。中国のシーエルラ音階はピタゴラス音階と同じ音程を用いており、紀元前600年から240年の間に発明された。[2] [9]

12音ピタゴラス音律ではウルフ音程が存在するため、この調律はかつて広く用いられていたと考えられていますが、今日ではほとんど使用されていません。転調頻度の低い音楽や、和声的に冒険的な要素があまりない音楽では、ウルフ音程が問題となる可能性は低いでしょう。なぜなら、そのような曲では全ての5度が聴こえるわけではないからです。拡張ピタゴラス音律ではウルフ音程は存在せず、全ての完全5度は正確に3:2です。

12音ピタゴラス音律の五度音程のほとんどは3:2という単純な比率であるため、非常に「滑らか」で調和的に聞こえます。対照的に、三度音程は、そのほとんどが81:64（長三度）と32:27（短三度）という比較的複雑な比率であるため、楽器によってはそれほど滑らかに聞こえません。[10]

1510年頃以降、三度音程が協和音として扱われるようになり、ミーントーン音律、特に三度音程を比較的単純な5:4の比率に調律するクォーターコンマミーントーンが、鍵盤楽器の調律法として最も普及した。同時に、シントニック・ダイアトニック純正律は、歌手のための標準的な調律法として、まずラモス、次いでザルリーノによって提唱された。

しかし、ミーントーンには独自の和声上の課題がありました。そのウルフ音程はピタゴラス音律よりもさらに劣っていました（1オクターブにピタゴラス音律の12音程に対して、ミーントーンでは19音程を必要とすることさえありました）。結果​​として、ミーントーンはすべての音楽に適しているわけではありませんでした。18世紀頃から、楽器の調性を変えたいという要望が高まり、ウルフ音程を避けたいという要望が高まり、ウェル・テンペラメント、そして最終的には平均律が広く使用されるようになりました。

ピタゴラス音律は、現代クラシック音楽の一部において、歌手やヴァイオリンなどの固定調律のない楽器によって、今でも聴くことができます。演奏者が音階に基づく無伴奏のパッセージを演奏する場合、音階が最も調和して聞こえるピタゴラス音律を用いる傾向があり、その後、他のパッセージでは他の音律（和音やアルペジオの場合は純正律、ピアノやオーケストラの伴奏の場合は平均律）に戻ります。こうした変化は明示的に記譜されることはなく、聴衆にはほとんど気づかれず、単に「調和している」ように聞こえます。

ディスコグラフィー

参照

ウィキメディア コモンズには、ピタゴラス音程に関連するメディアがあります。

注記

  1. ^ 上昇ピタゴラスコンマはユニゾンから1オクターブ（ディアパゾン）下げたピタゴラス増七度であり、下降ピタゴラスコンマにも適用されますが、最初のものとは反対方向になります。

参考文献

引用

  1. ^ ab Milne, Andrew; Sethares, WA ; Plamondon, J. (2007年12月). 「チューニング連続体における不変運指法」. Computer Music Journal . 31 (4): 15– 32. doi : 10.1162/comj.2007.31.4.15 . S2CID  27906745.
  2. ^ abc ブルース・ベンワード、マリリン・ナディーン・セイカー (2003). 『音楽：理論と実践』第7版、全2巻 (ボストン：マグロウヒル). 第1巻: p. 56. ISBN 978-0-07-294262-0
  3. ^ ケネス・シルヴァン・ガスリー、デイヴィッド・R・フィデラー（1987年）『ピタゴラスの資料集と図書館：ピタゴラスとピタゴラス哲学に関連する古代文献のアンソロジー』 24ページ。レッドホイール/ワイザー社。ISBN 9780933999510。
  4. ^ ダンブリル 1998、18ページ。
  5. ^ Sethares, William A. (2005).チューニング、音色、スペクトル、スケール、p. 163. ISBN 1-85233-797-4。
  6. ^ Frazer, Peter A. (2001年4月). 「音楽チューニングシステムの開発」(PDF) . 2006年5月6日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2014年2月2日閲覧。
  7. ^ 日本アジア協会 (1879).日本アジア協会紀要、第7巻、82頁。日本アジア協会。
  8. ^ ウルフ音程は、ここでは3、4、5、7、8、または9半音（長3度または短6度、完全4度または5度、およびそれらの異名同音）で構成される音程で、その大きさが対応する正確な調律音程から1シントニック・コンマ（約21.5セント）以上ずれている音程と操作的に定義されます。1、2、6、10、または11半音（長2度または短7度、全音、およびそれらの異名同音同音）で構成される音程は、正確に調律されていても不協和音とみなされるため、正確な調律から1シントニック・コンマ以上ずれていてもウルフ音程とはみなされません。
  9. ^ ニーダム、ジョセフ（1962/2004）『中国の科学と文明 第4巻：物理学と物理技術』170～171頁。ISBN 978-0-521-05802-5。
  10. ^ しかし、3/2 8は「ほぼ正確な長3度」と説明されている。Sethares（2005）、60ページ。

出典

  • ダンブリル、リチャード・J. (1998). 『古代近東の考古音楽学』. タデマ・プレス、ロンドン. 2022年9月21日時点のオリジナルよりアーカイブ。 2022年9月18日閲覧。本書のタイトルは第2版である。初版は『古代近東の音楽学と器官学』であった。{{cite book}}: CS1 maint: postscript (link)
  • ダニエル・リーチ＝ウィルキンソン（1997年）「良いもの、悪いもの、そして退屈なもの」『中世・ルネサンス音楽入門』オックスフォード大学出版局、ISBN 0-19-816540-4。
  • 「全音階のピタゴラス音律」、オーディオサンプル付き。
  • 「ピタゴラス音律と中世のポリフォニー」、マーゴ・シュルター著。
  • スプレッドシートでピタゴラス音律を作成する方法、オーディオサンプル付きのビデオ。
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Pythagorean_tuning&oldid=1319084152"