q差多項式

組合せ 数学において、q差分多項式またはq調和多項式は、 q微分を用いて定義される多項式列である。これらはブレンケ多項式の一般化型であり、アペル多項式を一般化する。シェッファー列も参照のこと。

意味

q差多項式は次の関係を満たす。

${\displaystyle \left({\frac {d}{dz}}\right)_{q}p_{n}(z)={\frac {p_{n}(qz)-p_{n}(z)}{qz-z}}={\frac {q^{n}-1}{q-1}}p_{n-1}(z)=[n]_{q}p_{n-1}(z)}$

ここで、左辺の微分記号はq微分である。 の極限において、これはAppell多項式の定義となる。 ${\displaystyle q\to 1}$

${\displaystyle {\frac {d}{dz}}p_{n}(z)=np_{n-1}(z).}$

母関数

これらの多項式の一般化された生成関数はブレンケ多項式の生成関数と同じ型であり、すなわち

${\displaystyle A(w)e_{q}(zw)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {p_{n}(z)}{[n]_{q}!}}w^{n}}$

ここでq指数は次のようになります。 ${\displaystyle e_{q}(t)}$

${\displaystyle e_{q}(t)=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {t^{n}}{[n]_{q}!}}=\sum _{n=0}^{\infty}{\frac {t^{n}(1-q)^{n}}{(q;q)_{n}}}.}$

ここで、はq階乗で あり、${\displaystyle [n]_{q}!}$

${\displaystyle (q;q)_{n}=(1-q^{n})(1-q^{n-1})\cdots (1-q)}$

はq-ポッホハンマー記号である。関数は任意であるが、展開を持つと仮定される。 ${\displaystyle A(w)}$

${\displaystyle A(w)=\sum _{n=0}^{\infty }a_{n}w^{n}{\mbox{ }}a_{0}\neq 0.}$

このようなものはどれもq 差多項式のシーケンスを与えます。 ${\displaystyle A(w)}$

参考文献

• A. SharmaとAM Chak、「多項式のクラスの基本アナログ」、Riv. Mat. Univ. Parma、5 (1954) 325–337。
• Ralph P. Boas, Jr. および R. Creighton Buck, Polynomial Expansions of Analytic Functions (Second Printing Corrected)（1964年）Academic Press Inc., Publishers New York, Springer-Verlag, Berlin. Library of Congress Card Number 63-23263. （収束について簡潔に解説している。）