二次関数の変化

数学において、二次変分はブラウン運動やその他のマルチンゲールといった確率過程の解析に用いられます。二次変分は、過程の 変分の一種にすぎません。

意味

が確率空間上で定義され、時間指数が非負の実数の範囲にある実数値確率過程であるとする。その二次変分は、 と書かれ、次のように定義される 過程である。${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle (\Omega ,{\mathcal {F}},\mathbb {P} )}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle [X]_{t}}$

${\displaystyle [X]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \rightarrow 0}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}}$

ここで、区間 の分割上の値域であり、分割のノルムはメッシュです。この極限は、もし存在するならば、確率 の収束を用いて定義されます。ここで定義した意味で、あるプロセスが有限の2乗変化を持つ場合でも、その経路は、すべての分割の和の上限を取るという古典的な意味で、ほぼ確実に任意の に対して無限の1変化を持つことに注意してください。これは特にブラウン運動の場合に当てはまります。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle t>0}$

より一般的には、 2つのプロセスと間の共分散（または相互分散）は ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle Y}$

${\displaystyle [X,Y]_{t}=\lim _{\Vert P\Vert \to 0}\sum _{k=1}^{n}\left(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}\right)\left(Y_{t_{k}}-Y_{t_{k-1}}\right).}$

共変量は分極恒等式の2次関数で表すことができます。

${\displaystyle [X,Y]_{t}={\tfrac {1}{2}}([X+Y]_{t}-[X]_{t}-[Y]_{t}).}$

表記: 2 次変化は または としても表記されます。 ${\displaystyle \langle X\rangle _{t}}$ ${\displaystyle \langle X,X\rangle _{t}}$

有限変化過程

ある過程が有限時間間隔（確率1）にわたって有限な変化を示す場合、その過程は有限変化を持つと言われる。このような過程は非常に一般的であり、特に連続微分可能関数はすべてこれに該当する。すべての連続有限変化過程には二次変化が存在し、その値は0である。 ${\displaystyle X}$

この記述は非連続過程にも一般化できる。任意の有限変化過程は、のジャンプの二乗の和に等しい二次変化を持つ。より正確に述べると、の に関する左極限は で表され、 の時刻におけるジャンプは と表される。この場合、二次変化は で与えられる。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X_{t}}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X_{t-}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle \Delta X_{t}=X_{t}-X_{t-}}$

${\displaystyle [X]_{t}=\sum _{0<s\leq t}(\Delta X_{s})^{2}.}$

連続有限変化過程が零二次変化を持つことの証明は、次の不等式から導かれる。ここで、は区間 の分割であり、はにおけるの変化である。 ${\displaystyle P}$ ${\displaystyle [0,t]}$ ${\displaystyle V_{t}(X)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle [0,t]}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{k=1}^{n}(X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}})^{2}&\leq \max _{k\leq n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\sum _{k=1}^{n}|X_{t_{k}}-X_{t_{k-1}}|\\&\leq \max _{|u-v|\leq \Vert P\Vert }|X_{u}-X_{v}|V_{t}(X).\end{aligned}}}$

の連続性により、 がゼロに近づくにつれて、これは極限で消えます。 ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \Vert P\Vert }$

伊藤プロセス

標準的なブラウン運動 の二次変分は存在し、 で与えられるが、定義における極限はほぼ確実に、 の意味で意味され、経路的に意味されるものではない。これは伊藤過程に一般化され、定義により伊藤積分で表される。${\displaystyle B}$ ${\displaystyle [B]_{t}=t}$ ${\displaystyle L^{2}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}X_{t}&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,d[B]_{s}\\&=X_{0}+\int _{0}^{t}\sigma _{s}\,dB_{s}+\int _{0}^{t}\mu _{s}\,ds,\end{aligned}}}$

ここでブラウン運動である。このような過程はいずれも次式で表される二次関数的変化を示す。 ${\displaystyle B}$

${\displaystyle [X]_{t}=\int _{0}^{t}\sigma _{s}^{2}\,ds.}$

セミマルチンゲール

すべてのセミマルチンゲールには、二次変分と共変が存在することが示されます。これらは確率微分理論の重要な部分であり、連鎖律を伊藤積分に一般化した伊藤の補題に現れます。二次共変は、部分積分公式 にも現れます。

${\displaystyle X_{t}Y_{t}=X_{0}Y_{0}+\int _{0}^{t}X_{s-}\,dY_{s}+\int _{0}^{t}Y_{s-}\,dX_{s}+[X,Y]_{t},}$

これを使って を計算することができます。 ${\displaystyle [X,Y]}$

あるいはこれを確率微分方程式として書くこともできます。

${\displaystyle \,d(X_{t}Y_{t})=X_{t-}\,dY_{t}+Y_{t-}\,dX_{t}+\,dX_{t}\,dY_{t},}$

どこ${\displaystyle \,dX_{t}\,dY_{t}=\,d[X,Y]_{t}.}$

マーチンゲール

すべてのカドラーグ・マルチンゲールおよび局所マルチンゲールは、明確に定義された二次変分を持ちます。これは、そのような過程がセミマルチンゲールの例であるという事実から導かれます。一般的な局所二乗可積分マルチンゲールの二次変分は、ゼロから始まり、ジャンプなどを伴う唯一の右連続かつ増加過程であり、局所マルチンゲールであることが示されます。確率計算を用いないマルチンゲールの存在証明は、Karandikar–Rao (2014) に示されています。 ${\displaystyle [M]}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle \Delta [M]=\Delta M^{2}}$ ${\displaystyle M^{2}-[M]}$ ${\displaystyle M}$

二乗積分マルチンゲールの有用な結果はイトー等長変換であり、これを使ってイトー積分の分散を計算することができる。

${\displaystyle \operatorname {E} \left(\left(\int _{0}^{t}H\,dM\right)^{2}\right)=\operatorname {E} \left(\int _{0}^{t}H^{2}\,d[M]\right).}$

この結果は、が càdlàg 平方積分可能マルチンゲールであり、が有界予測可能プロセスである場合に常に成立し、伊藤積分の構築によく使用されます。 ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle H}$

もう一つの重要な結果は、バークホルダー・デイビス・ガンディ不等式である。これは、ドナルド・バークホルダー、バージェス・デイビス、リチャード・フロイド・ガンディにちなんで名付けられた。これは、マルチンゲールの最大値の境界を二次変分で与える。ゼロから始まり、最大値を で表し、任意の実数 とする局所マルチンゲールの場合、不等式は ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle M_{t}*=\operatorname {sup} _{s\in [0,t]}|M_{s}|}$ ${\displaystyle p\geq 1}$

${\displaystyle c_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2})\leq \operatorname {E} ((M_{t}^{*})^{p})\leq C_{p}\operatorname {E} ([M]_{t}^{p/2}).}$

ここで、は の選択に依存する定数ですが、使用するマルチンゲールや時間には依存しません。 が連続局所マルチンゲールである場合、任意の に対してバークホルダー・デイビス・ガンディ不等式が成立します。 ${\displaystyle c_{p}<C_{p}}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle p>0}$

代替過程である予測可能な二次変分は、局所的に二乗可積分なマルチンゲールに対して用いられることがある。これは と書かれ、ゼロから始まり、 が局所マルチンゲールとなるような唯一の右連続かつ増加する予測可能な過程として定義される。その存在はドゥーブ・マイヤー分解定理から導かれ、連続な局所マルチンゲールに対しては二次変分と同じである。 ${\displaystyle \langle M_{t}\rangle }$ ${\displaystyle M^{2}-\langle M\rangle }$

参照

• 総変動
• 制限された変動
• p変動

参考文献

• プロッター、フィリップ E. (2004)、確率積分と微分方程式（第 2 版）、Springer、ISBN 978-3-540-00313-7
• カランディカール、ラジーヴァ L.。バージニア州ラオ (2014)。「マーチンゲールの二次変分について」。議事録 - 数理科学。124 (3): 457–469 .土井:10.1007/s12044-014-0179-2。S2CID  120031445。