求積領域

ポテンシャル理論と呼ばれる数学の分野において、 2次元実ユークリッド空間における求積法領域とは、領域D（開連結集合）とDの有限部分集合{ z ₁ , …, z _k }であり、面積測度に関してD上で調和かつ積分可能な任意の関数uに対して、この測度に関するuの積分が「求積法の公式」で与えられるようなものである。つまり、

${\displaystyle \iint _{D}u\,dxdy=\sum _{j=1}^{k}c_{j}u(z_{j}),}$

ここで、c _jはuに依存しない非ゼロの複素定数です。

最も明らかな例は、D が円板の場合です。ここで、k  = 1、z ₁は円の中心、c ₁ は D の面積に等しくなります。この求積法の公式は、円板に関する調和関数の 平均値特性を表しています。

直交領域はkのあらゆる値に対して存在することが知られています。次元d が2より大きいユークリッド空間にも、直交領域の類似した定義があります。また、直交領域には静電的な解釈もあります。つまり、領域 D が直交領域であるとは、D 上の電荷の均一分布が、点z ₁ , …,  z _kにおけるk組の点電荷が D の外部に生成するのと同じ静電場を生成することを意味します。

求積領域とその数多くの一般化（例えば、Dの境界上で面積測度を長さ測度に置き換えること）は、近年、ニュートン力学の逆問題、粘性流体のヘレ・ショー流、純粋に数学的な等周問題など、様々な関連分野で取り上げられており、その関心は着実に高まっているようだ。これらは2003年にカリフォルニア大学サンタバーバラ校で開催された国際会議のテーマであり、当時の最先端技術はビルクハウザー出版社が発行する同会議の議事録で見ることができる。

参考文献

• エベンフェルト、ピーター (2005).求積領域とその応用：ハロルド・S・シャピロ記念巻. ビルクハウザー. ISBN 3-7643-7145-5. 2007年4月11日閲覧。
• アハロノフ, ドヴ; シャピロ, ハロルド S. (1976). 「解析関数が求積恒等式を満たす領域」. Journal d'Analyse Mathématique . 30 : 39–73 . doi : 10.1007/BF02786704 . S2CID  121520007 .