クアドリフォリウム

回転四葉形

歯車で作られた四葉形

四葉曲線（四つ葉のクローバー^{[1]とも呼ばれる）は、}角周波数が2のバラ曲線の一種です。極方程式は次のようになります。

${\displaystyle r=a\cos(2\theta ),\,}$

対応する代数方程式

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=a^{2}(x^{2}-y^{2})^{2}.\,}$

これを反時計回りに45度回転させると、

${\displaystyle r=a\sin(2\theta )\,}$

対応する代数方程式

${\displaystyle (x^{2}+y^{2})^{3}=4a^{2}x^{2}y^{2}.\,}$

どちらの形式でも、種数0 の平面代数曲線です。

四葉形の 双曲線は

${\displaystyle (x^{2}-y^{2})^{4}+837(x^{2}+y^{2})^{2}+108x^{2}y^{2}=16(x^{2}+7y^{2})(y^{2}+7x^{2})(x^{2}+y^{2})+729(x^{2}+y^{2}).\,}$

二重四葉

四辺形の内側の面積は であり、これは四辺形の外接円の面積のちょうど半分である。四辺形の 周囲は${\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\pi a^{2}}$

${\displaystyle 8a\operatorname {E} \left({\frac {\sqrt {3}}{2}}\right)=4\pi a\left({\frac {(52{\sqrt {3}}-90)\operatorname {M} '(1,7-4{\sqrt {3}})}{\operatorname {M} ^{2}(1,7-4{\sqrt {3}})}}+{\frac {7-4{\sqrt {3}}}{\operatorname {M} (1,7-4{\sqrt {3}})}}\right)}$

ここでは を法とする第二種完全楕円積分、は算術幾何平均、は第二変数に関する微分を表す。 ^[2]${\displaystyle \operatorname {E} (k)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle \operatorname {M} }$ ${\displaystyle '}$

注記

1. CG Gibson,代数曲線の基本幾何学、学部生向け入門、ケンブリッジ大学出版局、ケンブリッジ、2001年、 ISBN 978-0-521-64641-392ページと93ページ
2. Quadrifolium - Wolfram MathWorldより

参考文献

• J. デニス・ローレンス (1972). 『特殊平面曲線カタログ』 ドーバー出版. p. 175. ISBN 0-486-60288-5。

外部リンク

• JSXGraph を使用したインタラクティブな例