次元解析

工学および科学において、異なる物理量の次元解析とは、それらの物理的次元または 量次元の解析であり、関係する基本量（長さ、質量、時間など）の累乗を識別する数式として定義され、計算または比較の実行時にこれらの次元を追跡します。[ 1 ] 次元解析と量次元の概念は、1822年にジョセフ・フーリエによって導入されました。 [ 2 ]：42

通約可能な物理量は同じ次元を持ち、同じ種類であるため、たとえ異なる測定単位（例えば、メートルとフィート、グラムとポンド、秒と年）で表現されていても、直接比較することができます。通約不​​可能な物理量は異なる次元を持つため、メートルとグラム、秒とグラム、メートルと秒など、どのような単位で表現されていても、直接比較することはできません。例えば、1グラムが1時間より大きいかどうかを問うことは意味がありません。

物理的に意味のある方程式や不等式は、必ず左辺と右辺の次元が同じでなければなりません。これは次元同次性と呼ばれる性質です。次元同次性の検証は次元解析の一般的な応用であり、導出された方程式や計算の妥当性チェックとして機能します。また、より厳密な導出がない場合に、 物理系を記述する可能性のある方程式を導出する際のガイドや制約としても機能します。

処方

バッキンガムのπ定理は、n個の変数を含む物理的に意味のあるすべての方程式が、 n − m個の無次元パラメータ（mは次元行列の階数）の方程式として等価に書き直せることを記述する。さらに、そして最も重要なのは、この定理は与えられた変数からこれらの無次元パラメータを計算する方法を提供していることである。

次元方程式は、次元解析から始まり、システムの特性単位または自然界の物理定数によって量をスケーリングする無次元化によって、次元を削減または除去することができます。[ 2 ]：43 これは、以下の例に示すように、システムの基本的な特性についての洞察を与える可能性があります。

物理量の次元は、長さ、質量、時間といった基本的な物理次元の積として表すことができます。これらの次元は、それぞれを整数（場合によっては有理数）乗したものです。物理量の次元は、その物理量の大きさを表す尺度や単位よりも根本的なものです。例えば、質量は次元ですが、キログラムは質量の量を表すために選ばれた特定の基準量です。単位の選択は任意であり、多くの場合、歴史的な前例に基づいています。自然単位は普遍的な定数のみに基づいているため、「より任意性が低い」と考えられます。

基本的な物理的寸法には多くの選択肢があります。SI規格では、以下の寸法と対応する寸法記号が選択されます。

時間(T)、長さ(L)、質量(M)、電流(I)、絶対温度(Θ)、物質量(N)、光度(J)。

慣例により、記号は通常ローマンサンセリフ体で書かれる。[ 3 ]数学的には、量Qの次元は次のように与えられる。

薄暗い⁡質問＝T1つのLbMc私dΘe北fJグラム{\displaystyle \operatorname {dim} Q={\mathsf {T}}^{a}{\mathsf {L}}^{b}{\mathsf {M}}^{c}{\mathsf {I}}^{d}{\mathsf {\Theta }}^{e}{\mathsf {N}}^{f}{\mathsf {J}}^{g}}

ここで、 a、b、c、d、e、f、gは次元指数です。他の物理量も、基底を形成する限り、基底量として定義できます。例えば、 SI基底における電流の次元（I）を電荷の次元（Q）に置き換えることができます。Q = TIだからです。

b ≠ 0のみ（他の指数はすべてゼロ）である量は、幾何学的量と呼ばれます。a ≠ 0とb ≠ 0の両方のみである量は、運動量と呼ばれます。a ≠ 0、b ≠ 0、c ≠ 0のすべてのみである量は、動的量と呼ばれます。[ 4 ]すべての指数がゼロである量は、次元が1 であると言われています。[ 3 ]

物理量を表すために選択された単位とその次元は関連していますが、同一の概念ではありません。物理量の単位は慣習によって定義され、何らかの標準規格と関連しています。例えば、長さはメートル、フィート、インチ、マイル、マイクロメートルなどの単位を持つことができますが、長さを表すために選択された長さの単位に関係なく、長さの次元は常にLです。同じ物理量を表す2つの異なる単位には、それらを関連付ける変換係数があります。例えば、1 in = 2.54 cmです。この場合、2.54 cm/in が変換係数であり、それ自体は無次元です。したがって、この変換係数を乗じても、物理量の次元は変わりません。

物理量の両立しない基本次元の存在そのものに疑問を投げかける物理学者もいるが[ 5 ] 、これは次元解析の有用性を無効にするものではない。

単純なケース

例えば、物理量速度vの次元は 薄暗い⁡v＝長さ時間＝LT＝T−1L。{\displaystyle \operatorname {dim} v={\frac {\text{長さ}}{\text{時間}}}={\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}.}

物理量加速度aの次元は 薄暗い⁡1つの＝スピード時間＝T−1LT＝T−2L。{\displaystyle \operatorname {dim} a={\frac {\text{速度}}{\text{時間}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}.}

物理量力Fの次元は 薄暗い⁡F＝質量×加速度＝M×T−2L＝T−2LM。{\displaystyle \operatorname {dim} F={\text{質量}}\times {\text{加速度}}={\mathsf {M}}\times {\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}.}

物理量圧力Pの次元は 薄暗い⁡P＝力エリア＝T−2LML2＝T−2L−1M。{\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{力}}{\text{面積}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}}{{\mathsf {L}}^{2}}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{-1}{\mathsf {M}}.}

物理量エネルギーEの次元は 薄暗い⁡E＝力×変位＝T−2LM×L＝T−2L2M。{\displaystyle \operatorname {dim} E={\text{力}}\times {\text{変位}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}{\mathsf {M}}\times {\mathsf {L}}={\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}

物理量力Pの次元は 薄暗い⁡P＝エネルギー時間＝T−2L2MT＝T−3L2M。{\displaystyle \operatorname {dim} P={\frac {\text{エネルギー}}{\text{時間}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {T}}}={\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}.}

物理量電荷Qの次元は 薄暗い⁡質問＝現在×時間＝T私。{\displaystyle \operatorname {dim} Q={\text{current}}\times {\text{time}}={\mathsf {T}}{\mathsf {I}}.}

物理量電圧Vの次元は 薄暗い⁡V＝力現在＝T−3L2M私＝T−3L2M私−1。{\displaystyle \operatorname {dim} V={\frac {\text{べき乗}}{\text{電流}}}={\frac {{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}}{\mathsf {I}}}={\mathsf {T^{-3}}}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}.}

物理量静電容量Cの次元は 薄暗い⁡C＝電荷電位差＝T私T−3L2M私−1＝T4L−2M−1私2。{\displaystyle \operatorname {dim} C={\frac {\text{電荷}}{\text{電位差}}}={\frac {{\mathsf {T}}{\mathsf {I}}}{{\mathsf {T}}^{-3}{\mathsf {L}}^{2}{\mathsf {M}}{\mathsf {I}}^{-1}}}={\mathsf {T^{4}}}{\mathsf {L^{-2}}}{\mathsf {M^{-1}}}{\mathsf {I^{2}}}.}

レイリー法

次元解析において、レイリー法は物理学、化学、工学において用いられる概念的なツールです。いくつかの変数の関数関係を指数方程式の形で表現します。レイリー卿にちなんで名付けられました。

この方法は次のステップで構成されます。

  1. 従属変数に影響を及ぼす可能性のあるすべての独立変数を収集します。
  2. Rが独立変数R 1、R 2、R 3、 ...、R nに依存する変数である場合、関数方程式はR = F ( R 1、R 2、R 3、 ...、R n )と表すことができます。
  3. 上記の式をR = C R 1 a R 2 b R 3 c ... R n mの形式で書きます。ここで、Cは無次元定数、a、b、c、...、mは任意の指数です。
  4. 方程式内の各量を、解を求めるために必要な基本単位で表します。
  5. 次元同次性を利用して、指数a、b、c、...、mを含む連立方程式のセットを取得します。
  6. これらの方程式を解いて指数a、b、c、...、mの値を取得します。
  7. 主方程式の指数の値を代入し、同じ指数を持つ変数をグループ化して無次元パラメータを形成します。

欠点としては、レイリー法では、次元解析の結果として得られる無次元グループの数に関する情報が提供されないことです。

具体的な数値と基本単位

物理科学や工学における多くのパラメータや測定値は、具体的な数値、つまり数値量とそれに対応する次元単位で表されます。ある量は、しばしば複数の他の量によって表されます。例えば、速度は長さと時間の組み合わせで表されます（例：時速60キロメートル、秒速1.4キロメートル）。「あたり」を含む複合関係は、除算で表されます（例：時速60キロメートル）。その他の関係には、乗算（多くの場合、中央の点またはで示される）、累乗（平方メートルをm 2で表すなど）、またはそれらの組み合わせが含まれる場合があります。

計測システムの基本単位とは、慣習的に選択された単位の集合であり、その単位は他の単位との組み合わせで表現することはできず、そのシステムの残りの単位すべてを表現できるものである。[ 6 ]例えば、長さと時間の単位は通常、基本単位として選択される。しかし、体積の単位は長さの基本単位（m 3）に組み込むことができるため、派生単位または複合単位とみなされる。

単位の名前によっては、それが組立単位であるという事実が分かりにくい場合があります。例えば、ニュートン（N）は力の単位で、質量（単位はkg）と加速度（単位はm⋅s −2 ）の積として表されます。ニュートンは1 N = 1 kg⋅m⋅s −2と定義されます。

パーセンテージ、微分、積分

パーセンテージは、同じ次元を持つ2つの量の比であるため、無次元量です。言い換えれば、1% = 1/100なので、%記号は「100分の1」と読み取ることができます。

ある量について微分するとは、その量の次元を、微分する変数の次元で割ることです。つまり、

  • 位置（x）の次元はL（長さ）です。
  • 位置の時間に対する微分（dx / dt、速度）の次元はT −1 L（微分による位置からの長さ、時間）です。
  • 2番目の導関数（d 2 x / dt 2 = d ( dx / dt ) / dt、加速度）はT −2 L次元を持ちます。

同様に、積分を行うと、積分する変数の次元が分子に追加されます。

  • 力の次元はT −2 L M（質量×加速度）である。
  • 物体が移動した距離（s）に対する力の積分（仕事∫F ds{\displaystyle \textstyle \int F\ ds}）の次元はT −2 L 2 Mです。

経済学では、ストックとフローを区別します。ストックには単位（たとえば、ウィジェットまたはドル）があり、フローはストックの派生語であり、この単位を時間で割った形式の単位（たとえば、ドル/年）があります。

文脈によっては、次元のある量は、一部の次元を省略することで無次元量、つまりパーセンテージとして表されます。例えば、債務対GDP比率は通常、パーセンテージで表されます。つまり、未払い債務総額（通貨の次元）を年間GDP（通貨の次元）で割ったものです。しかし、ストックとフローを比較する場合、年間GDPは通貨／時間（例えばドル／年）の次元を持つべきであり、したがって債務対GDP比率は年という単位を持つべきだと主張する人もいます。これは、債務対GDP比率は、GDPのすべてが債務に充てられ、債務がそれ以外は変化しないという条件で、一定のGDPが債務を返済するのに必要な年数であることを示しています。

次元の均質性（通約性）

次元解析の最も基本的な規則は次元の同質性である。[ 7 ]

比較、等号化、加算、または減算できるのは、共通量（同じ次元を持つ物理量）だけです。

しかし、次元は乗算によって アーベル群を形成するので、次のようになります。

通約不可能な量（異なる次元を持つ量）の比率を取って、それを掛け合わせたり割ったりすることができます。

例えば、1時間は1キロメートルより大きいのか、同じなのか、それとも少ないのかを問うことは意味がありません。これらは次元が異なるからです。また、1時間に1時間を加算することも意味がありません。しかし、1マイルは1キロメートルより大きいのか、同じなのか、それとも少ないのかを問うことは意味があります。単位は異なっていても、物理量の次元は同じだからです。一方、物体が2時間で100km移動した場合、これらを割り算することで、その物体の平均速度は時速50kmだったと結論付けることができます。

この規則は、物理的に意味のある表現においては、同じ次元の量のみが加算、減算、比較可能であることを示唆しています。例えば、m man、m rat、L manがそれぞれ、ある男性の質量、ネズミの質量、その男性の長さを表す場合、次元的に同質な表現m man + m ratは意味を持ちますが、異質な表現m man + L manは意味を持ちません。ただし、m man / L 2 man は問題ありません。したがって、次元解析は物理方程式の妥当性チェックとして使用できます。つまり、方程式の両辺は通約可能、または同じ次元を持つ必要があります。

2つの物理量が同一の次元を持つ場合でも、それらを比較したり加算したりすることは無意味な場合があります。例えば、トルクとエネルギーはT −2 L 2 Mという次元を共有していますが、これらは根本的に異なる物理量です。

同じ寸法だが単位が異なる量を比較、加算、減算する場合、標準的な手順は、まずすべてを同じ単位に変換することです。例えば、32メートルと35ヤードを比較する場合、1ヤード = 0.9144メートルを使用して、35ヤードを32.004メートルに変換します。

関連する原理として、現実世界を正確に記述する物理法則は、物理変数を測定する単位とは独立していなければならないというものがあります。[ 8 ]例えば、ニュートンの運動法則は、距離をマイルで測定してもキロメートルで測定しても成立しなければなりません。この原理から、同じ次元を測定する2つの単位間の変換係数は、単純な定数を乗じる必要があるという形式が生まれます。また、この原理は等価性も保証します。例えば、2つの建物の高さがフィートで同じであれば、メートルでも同じ高さでなければなりません。

たとえば、速度を計算する場合、単位は常に L/T に結合する必要があります。エネルギーを計算する場合、単位は常に ML 2 /T 2に結合する必要があります。たとえば、次の数式は、エネルギーの有効な表現になります。

Eけ＝12メートルv2;  E＝メートルc2;  E＝pv;  E＝hc/λ{\displaystyle E_{\text{k}}={\frac {1}{2}}mv^{2};~~E=mc^{2};~~E=pv;~~E=hc/\lambda }

mは質量、vとcは速度、pは運動量、hはプランク定数、λ は長さです。一方、右辺の単位が [質量][長さ] 2 / [時間] 2とならない場合、何らかのエネルギーを表す有効な式にはなりません。

同次であることは、必ずしも方程式が正しいことを意味するわけではありません。なぜなら、方程式は数値的な要素を考慮していないからです。例えば、E = mv 2 は、質量mの粒子が速度vで運動する際のエネルギーを表す正しい式である可能性もあれば、そうでない可能性もあります。また、hc / λ を2π で割るべきか、それとも 2π で掛けるべきかは分かりません。

変換係数

次元解析では、量を変えずに 1 つの測定単位を別の単位に変換する商を変換係数と呼びます。たとえば、 kPa と bar はどちらも圧力の単位で、100 kPa = 1 barです。代数の規則では、方程式の両辺を同じ式で割ることができるため、これは100 kPa / 1 bar = 1と等しくなります。任意の量は 1 を掛けても変化しないため、「100 kPa / 1 bar」という式に、単位を含む変換する量を掛けて bar から kPa に変換できます。たとえば、5 bar × 100 kPa / 1 bar = 500 kPa です。これは、 5 × 100 / 1 = 500であり、 bar/bar が打ち消されるため、5 bar = 500 kPaとなります。

アプリケーション

次元解析は物理学や化学、そしてそれらの数学の分野で最もよく使用されますが、それらの分野以外にも応用されています。

数学

次元解析を数学に応用する単純な例として、n次元球（ n次元の立体球）の体積、あるいはその表面積であるn球の体積の形を計算することが挙げられます。n次元の図形であるため、体積はx nに比例しますが、表面積は( n − 1)次元であるため、x n −1に比例します。したがって、 n次元球の体積は半径で表すとC n r nとなり、 C nは定数です。定数の決定にはより複雑な数学的処理が必要ですが、次元解析のみでその形を推定し、検証することができます。

金融、経済、会計

金融、経済、会計において、次元分析はストックとフローの区別という観点から最も一般的に言及されます。より一般的には、次元分析は様々な財務比率、経済比率、会計比率の解釈に用いられます。

  • たとえば、PERは時間（単位：年）の次元を持ち、「支払った価格を稼ぐために必要な収益の年数」と解釈できます。
  • 経済学では、債務対GDP比率にも年という単位があります（債務には通貨の単位があり、GDPには通貨/年の単位があります）。
  • 貨幣の流通速度の単位は 1/年です (GDP/マネーサプライの単位は通貨/年/通貨です)。つまり、通貨単位が 1 年に何回流通するかです。
  • 年利率と単利率は、多くの場合パーセンテージ（無次元量）で表されますが、時間は年数からなる無次元量で表されます。ただし、時間に年が測定単位として含まれる場合、利率の次元は1/年となります。もちろん、時間の単位として年を使用することは（慣例的な慣習を除き）特別なことではなく、他の時間単位も使用できます。さらに、利率と時間に測定単位が含まれる場合、それぞれに異なる単位を使用しても問題ありません。一方、利率と時間が無次元である場合は、共通の期間を参照する必要があります。（実効利率は無次元量としてのみ定義できることに注意してください。）
  • 金融分析において、債券デュレーションは( dV / dr )/ Vと定義されます。ここで、Vは債券（またはポートフォリオ）の価値、rは継続複利金利、dV / drはデリバティブです。前述の通り、rの次元は 1/時間 です。したがって、 drがデリバティブの「分母」となるため、デュレーションの次元は時間（通常は年数で表されます）となります。

流体力学

流体力学では、次元解析によって無次元π項またはπ群が得られる。次元解析の原理によれば、あらゆるプロトタイプは、システムの挙動を記述するこれらの項または群の連続によって記述できる。適切なπ項またはπ群を用いることで、同じ次元関係を持つモデルに対して、同様のπ項セットを開発することができる。[ 9 ]つまり、π項は特定のプロトタイプを表現するモデルを開発するための近道となる。流体力学における一般的な無次元群には、以下のものがある。

  • レイノルズ数（Re）、一般的にあらゆる種類の流体問題で重要：Re＝ρあなたdμ。{\displaystyle \mathrm {Re} ={\frac {\rho \,ud}{\mu }}.}
  • フルード数（Fr）、自由表面を持つ流れのモデル化：Fr＝あなたグラムL。{\displaystyle \mathrm {Fr} ={\frac {u}{\sqrt {g\,L}}}.}
  • オイラー数（Eu）。圧力が重要な問題で使用されます。Eあなた＝Δpρあなた2。{\displaystyle \mathrm {Eu} ={\frac {\Delta p}{\rho u^{2}}}.}
  • マッハ数( Ma ) は、速度が局所音速に近づくかそれを超える高速流れにおいて重要です。ここで、cは局所音速です。M1つの＝あなたc、{\displaystyle \mathrm {Ma} ={\frac {u}{c}},}

歴史

次元解析の起源については歴史家の間でも議論が続いてきた。[ 10 ] [ 11 ]次元解析を初めて文書に記したのは、ジョゼフ＝ルイ・ラグランジュの弟子であるフランソワ・ダヴィエで、1799年にトリノ科学アカデミーで発表された論文である。 [ 11 ]

このことから、意味のある法則は、様々な測定単位において同次方程式でなければならないという結論に至り、この結果は後にバッキンガムのπ定理として形式化されました。 シメオン・ポアソンもまた、1811年と1833年の論文（第1巻、39ページ）で、ダヴィエの平行四辺形法則に関する同じ問題を扱っています。 [ 12 ] 1833年の第2版では、ポアソンはダヴィエの同次性の代わりに次元という用語を明示的に導入しています。

1822年、ナポレオン時代の重要な科学者ジョセフ・フーリエは、F = maのような物理法則は物理変数を測定するために使用される単位から独立しているべきである という考えに基づいて、最初の重要な貢献[13 ]を行いました。

ジェームズ・クラーク・マクスウェルとフリーミング・ジェンキンは、質量、長さ、時間を基本単位として区別し、他の単位を派生単位と呼ぶことで、次元解析の現代的な使用法を確立する上で重要な役割を果たしました。[ 14 ] [ 15 ]マクスウェルは長さ、時間、質量を「3つの基本単位」と定義しましたが、ニュートンの万有引力の法則の一種で重力定数G を1と仮定し、 M = T −2 L 3と定義することで、長さと時間から重力質量を導くことができることにも注目しました。[ 16 ]クーロンの法則の一種でクーロン定数k e を1 と仮定すると、マクスウェルは静電電荷単位の次元がQ = T −1 L 3/2 M 1/2であることを決定しました。[ 17 ]この式に質量を代入すると、電荷は質量と同じ次元、すなわち Q になります。 Q = T −2 L 3 です。

次元解析は、理解し特徴づけたい特定の現象に関係する物理量間の関係性を導き出すためにも用いられます。次元解析は1872年、空がなぜ青いのかを解明しようとしていたレイリー卿によって初めてこの手法で用いられました。 [ 18 ]レイリーは1877年に出版した著書『音響理論』 の中で、この手法を初めて発表しました。[ 19 ]

フーリエの『運動の理論』における「次元」という言葉の本来の意味は、基本単位の指数の数値でした。例えば、加速度は長さの単位に関して1次元、時間の単位に関して-2次元を持つと考えられていました。[ 20 ]これはマクスウェルによって若干変更され、加速度の次元は指数だけでなくT -2 Lであると述べました。 [ 21 ]

例

簡単な例：調和振動子の周期

質量mが、バネ定数kを持つ理想的な線形バネに取り付けられ、重力gのもとで吊り下げられている場合、振動 周期Tはどれくらいでしょうか。その周期は、変数T、m、k、gに関する無次元方程式のTに対する解です。4つの量の次元は、 T (T)、 m (M)、k (M/T 2 )、g (L/T 2 ) です。これらから、選択した変数の無次元積G 1 = T 2 k / m (T 2 · M/T 2 / M = 1)のみを作成できます。そして、ある無次元定数Cに対してG 1 = Cと置くと、求める無次元方程式が得られます。変数の無次元積は、変数の無次元群と呼ばれることがあります。ここで「群」という用語は、数学的な群ではなく「集合」を意味します。これらはしばしば無次元数とも呼ばれます。

変数gはこの群には現れません。 g は次元 L を伴う唯一の量であるため、gとk、m、Tを組み合わせた無次元の累乗を形成することは不可能であることが容易にわかります。これは、この問題ではgが無関係であることを意味します。次元解析により、問題における一部の量の無関係性や追加のパラメータの必要性について、強い主張がなされることがあります。問題を適切に記述するのに十分な変数を選択した場合、この議論から、バネ上の質量の周期はgとは無関係であり、地球上でも月上でも同じであると結論付けることができます。この問題の累乗の存在を示す方程式は、まったく同等の方法で記述できます。⁠ ⁠、ある無次元定数κ (元の無次元方程式の に等しい)。T＝κメートルけ{\displaystyle T=\kappa {\sqrt {\tfrac {m}{k}}}}C{\displaystyle {\sqrt {C}}}

次元解析によって、状況の物理的記述に直観的に含まれると予想される変数（ここではg）が棄却されるケースに直面した場合、棄却された変数は実際には関連しているものの、棄却された変数と組み合わさって無次元量を形成する可能性のある他の関連変数が省略されている可能性も考えられます。しかし、ここではそうではありません。

ここでのように次元解析によって無次元群が 1 つだけ生成される場合、未知の関数は存在せず、解は「完全」であると言われます。ただし、κなどの未知の無次元定数が含まれる可能性はあります。

より複雑な例：振動するワイヤーのエネルギー

長さℓ (L)の振動する電線が振幅A (L)で振動している場合を考える。電線の線密度はρ (M/L)で、張力s (LM/T 2 )がかかっている。ここで、電線のエネルギーE (L 2 M/T 2 )を求める。π 1とπ 2 を、選択された変数の べき乗の無次元積とし、以下のように表される。

π1＝Eあsπ2＝ℓあ。{\displaystyle {\begin{aligned}\pi _{1}&={\frac {E}{As}}\\\pi _{2}&={\frac {\ell }{A}}.\end{aligned}}}

線密度は考慮されていない。発見された2つのグループは、等価な式として結合することができる。

F（Eあs、ℓあ）＝0、{\displaystyle F\left({\frac {E}{As}},{\frac {\ell }{A}}\right)=0,}

ここでFは未知の関数であり、

E＝あsf（ℓあ）、{\displaystyle E=Asf\left({\frac {\ell }{A}}\right),}

ここでfは他の未知の関数です。未知の関数であるということは、解が不完全であることを意味しますが、次元解析によって、エネルギーは張力の1乗に比例するという、これまで明らかではなかったことが明らかになりました。さらなる解析的解析が不可能であれば、未知の関数 fの形を見つけるための実験に進むことができます。しかし、次元解析を行わない場合よりも実験は単純になります。エネルギーが張力に比例することを確認するために実験を行う必要はありません。あるいは、エネルギーが ℓに比例すると推測し、E = ℓsと推論することもできます。実験と仮説形成を支援する次元解析の威力は明らかです。

次元解析の威力が真に発揮されるのは、上記のような状況とは異なり、より複雑で、関与する変数のセットが明らかでなく、基礎となる方程式がどうしようもなく複雑な状況に適用した場合です。たとえば、川底にある小さな小石を考えてみましょう。川の流れが速ければ、小石は実際に持ち上げられ、水とともに流れていきます。臨界速度はどの程度でしょうか。推測された変数を整理するのは、以前ほど簡単ではありません。しかし、次元解析はこのような問題を理解する上で強力な助けとなり、基礎となる方程式や制約が十分に理解されていない複雑な問題に適用される最初のツールになるのが通常です。このような場合、答えはレイノルズ数などの次元なしの数に依存することがあり、これは次元解析によって解釈できる場合があります。

3つ目の例:回転ディスクの需要と容量

回転円板の寸法解析と数値実験

軸方向の厚さがt (L)、半径がR (L)の薄い固体の平行側面を持つ回転ディスクの場合を考えます。ディスクの密度はρ (M/L 3 ) で、角速度ω (T −1 ) で回転し、材料に応力S (T −2 L −1 M) が生じます。この問題に対して、ディスクがその半径に比べて薄く、ディスクの面が軸方向に自由に移動でき、平面応力の構成関係が有効であると仮定できる場合、Lame によって示された理論的な線形弾性解が存在します。ディスクが半径に比べて厚くなると、平面応力解は成り立ちません。ディスクが自由面で軸方向に拘束されている場合、平面ひずみの状態が発生します。ただし、そうでない場合、応力の状態は 3 次元弾性を考慮することによってのみ決定でき、この場合の理論的解は存在しません。したがって、エンジニアは 5 つの変数間の関係を確立することに関心を持つかもしれません。この場合の次元解析により、次の（5−3=2）無次元グループが得られます。

需要/容量 = ρR 2 ω 2 / S
厚さ/半径またはアスペクト比 = t / R

有限要素法などを用いた数値実験を用いることで、図に示すように、2つの無次元群間の関係性の性質を得ることができます。この問題は2つの無次元群のみを対象としているため、全体像は1つのグラフで示され、回転ディスクの設計・評価チャートとして使用することができます。[ 22 ]

プロパティ

数学的性質

T、L、M などの基本的な物理次元の特定のコレクションから形成できる次元は、アーベル群を形成します。単位元は 1; L 0 = 1と書き、 L の逆数は 1/L または L −1です。 L の任意の整数p乗はこの群のメンバーであり、 L − pまたは 1/L pの逆数を持ちます。この群の演算は乗算であり、指数の取り扱いに関する通常の規則に従います ( L n × L m = L n + m )。物理的には、 1/L は長さの逆数、 1/T は時間の逆数 (秒の逆数 を参照)として解釈できます。

アーベル群は整数上の加群と等価であり、次元記号T i L j M k は組( i , j , k )に対応する。物理的に測定された量（同次元であろうと異次元であろうと）を互いに乗算または除算する場合、それらの次元単位も同様に乗算または除算される。これは加群における加算または減算に対応する。測定可能な量を整数乗する場合、それらの量に付随する次元記号も同様に乗算または除算される。これは加群における スカラー乗算に対応する。

このような次元記号のモジュールの基底は基底量集合と呼ばれ、その他のベクトルはすべて組立単位と呼ばれます。他のモジュールと同様に、異なる基底を選択することで、異なる単位系が得られます（例えば、電荷の単位を電流の単位から派生させるか、あるいはその逆かを選択するなど）。

グループのアイデンティティ、つまり無次元量の次元は、このモジュールの原点(0, 0, 0)に対応します。

場合によっては、V L 1/2のような1次元ベクトル空間の分数冪を正式に定義することによって分数次元を定義することができる。[ 23 ]しかし、表現論的な障害のため、任意の単位の分数冪を取ることはできない。 [ 24 ]

与えられた次元を持つベクトル空間は、単位（ベクトル空間の座標系に対応）を必要とせずに扱うことができる。例えば、次元MとLが与えられたとき、ベクトル空間V MとV Lが存在し、テンソル積としてV ML  := V M ⊗ V Lを定義できる。同様に、双対空間は「負の」次元を持つと解釈できる。[ 25 ]これは、ベクトル空間とその双対空間との自然なペアリングにおいて、次元が打ち消され、無次元スカラーが残るという事実に対応する。

問題に含まれる物理量の単位集合は、ベクトル集合（または行列）に対応する。零ベクトルとは、これらのベクトルを組み合わせて零ベクトルを生成する、いくつかの（例えばm個の）方法を表す。これらは、（測定値から）無次元量{π 1 , ..., π m }を生成することに対応する。（実際、これらの方法は、測定値のべき乗の、別の異なる空間の零部分空間を完全に覆う。）測定量を乗じて（およびべき乗して）、導出量Xと同じ単位を持つものを生成するあらゆる方法は、以下の一般形で表される。

X＝∏私＝1メートル（π私）け私。{\displaystyle X=\prod _{i=1}^{m}(\pi _{i})^{k_{i}}\,.}

その結果、システムの物理法則に関する あらゆる可能な等式は、次のように書き直すことができる。

f（π1、π2、。。。、πメートル）＝0。{\displaystyle f(\pi _{1},\pi _{2},...,\pi _{m})=0\,.}

この制限を知ることは、システムに対する新たな洞察を得るための強力なツールとなります。

力学

力学における対象となる物理量の次元は、基本次元 T、L、M で表現できます。これらは 3 次元ベクトル空間を形成します。これは基本次元の唯一の有効な選択ではありませんが、最も一般的に使用されています。たとえば、力、長さ、質量を基本次元として選択し (一部の人が行ったように)、それに関連付けられた次元 F、L、M を選択できます。これは異なる基底に対応し、基底を変更することでこれらの表現を変換できます。したがって、基本次元セットの選択は慣例であり、実用性と親しみやすさが向上します。基本次元の選択は完全に任意ではありません。なぜなら、基本次元は基底を形成する必要があり、空間に広がり、線形独立でなければならないためです。

たとえば、F、L、M は、T、L、M と同等の基底を形成するため、基本次元のセットを形成します。前者は [F = LM/T 2 ]、L、M と表現でき、後者は [T = (LM/F) 1/2 ]、L、M と表現できます。

一方、長さ、速度、時間 (T、L、V) は、次の 2 つの理由により、力学の基本次元のセットを形成しません。

  • 別の基本次元を導入せずに質量 (または力など、質量から派生するもの) を取得する方法はありません (したがって、それらは空間に広がりません)。
  • 速度は長さと時間 ( V = L/T )で表現できるため冗長です (集合は線形独立ではありません)。

物理学と化学の他の分野

物理学の分野によっては、拡張された次元記号の組を選択することが有利な場合があります。例えば、電磁気学では、T、L、M、Qといった次元を用いると便利です。ここで、Qは電荷の次元を表します。熱力学では、基本となる次元組に温度の次元Θが加えられることがよくあります。化学では、物質の量（分子の数をアボガドロ定数で割った値、≈6.02 × 10 23  mol −1）も基本次元Nとして定義されます。相対論的プラズマと強力なレーザーパルスとの相互作用において、無衝突ブラソフ方程式の対称性と関連した無次元相対論的相似性パラメータは、電磁ベクトルポテンシャルに加えて、プラズマ密度、電子密度、臨界密度から構成されます。物理学の様々な分野で使用される次元、あるいは次元数の選択はある程度任意ですが、使用の一貫性とコミュニケーションの容易さは共通かつ必要な特徴です。

多項式と超越関数

ブリッジマンの定理は、物理量を定義するために使用できる関数の種類を、一般的な（次元的に複合された）量から量のべき乗の積のみに制限します。ただし、いくつかの独立した量が代数的に結合されて無次元群を生成し、その関数が無次元の数値乗係数にグループ化されている場合は除きます。[ 26 ] [ 27 ] これには、複数の項を持つ多項式や、その形式ではない超越関数は含まれません。

指数関数、三角関数、対数関数などの超越関数や、非同次多項式へのスカラー引数は、無次元量でなければなりません。（注：この要件は、後述するSianoの方向づけ解析では多少緩和されており、特定の次元付き量の2乗は無次元です。）

無次元数に関する数学的な恒等式のほとんどは、次元数にそのまま変換できますが、比の対数には注意が必要です。任意の底で対数をとった場合の恒等式log( a / b )=loga − logb は、無次元数aとbに対して成り立ちますが、aとbが次元数の場合は成り立ちません。なぜなら、この場合は左辺は明確に定義されていますが、右辺は定義されていないからです。[ 28 ]

同様に、次元量の単項式( x n )は評価できますが、次元量に無次元係数を持つ混合次数の多項式は評価できません。x 2の場合、式(3 m) 2 = 9 m 2は (面積として) 意味をなしますが、x 2 + xの場合、式(3 m) 2 + 3 m = 9 m 2 + 3 mは意味をなしません。

しかし、混合次数多項式は、係数が適切に選択された無次元ではない物理量であれば意味を成す。例えば、

12⋅（−9.8 メートル/s2）⋅t2+（500 メートル/s）⋅t。{\displaystyle {\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot t^{2}+(\mathrm {500~m/s} )\cdot t.}

これは、重力加速度が9.8メートル/秒で、初期の上昇速度が500メートル/秒の場合、物体が時間 tで上昇する高さです。tは秒単位である必要はありません。例えば、t  = 0.01分と仮定します。その場合、最初の項は次のようになります。

12⋅(−9.8 m/s2)⋅(0.01 min)2=12⋅−9.8⋅(0.012)(min/s)2⋅m=12⋅−9.8⋅(0.012)⋅602⋅m.{\displaystyle {\begin{aligned}&{\tfrac {1}{2}}\cdot (\mathrm {-9.8~m/s^{2}} )\cdot (\mathrm {0.01~min} )^{2}\\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)(\mathrm {min/s} )^{2}\cdot \mathrm {m} \\[10pt]={}&{\tfrac {1}{2}}\cdot -9.8\cdot \left(0.01^{2}\right)\cdot 60^{2}\cdot \mathrm {m} .\end{aligned}}}

単位と数値の組み合わせ

次元物理量Zの値は、その次元内の単位[ Z ]と無次元数値または数値係数nとの積として表される。[ 29 ]

Z=n×[Z]=n[Z]{\displaystyle Z=n\times [Z]=n[Z]}

同次元の量を加算、減算、または比較する場合、これらの量の数値を直接加算または減算できるように、同じ単位で表すのが便利です。しかし、概念的には、異なる単位で表された同じ次元の量を加算しても問題ありません。例えば、1メートルに1フィートを加算すると長さになりますが、単に1と1を加算するだけではその長さを導き出すことはできません。同次元の量の比であり、無次元の1に等しい 変換係数が必要です。

1ft=0.3048m{\displaystyle \mathrm {1\,ft} =\mathrm {0.3048\,m} }と同一である1=0.3048m1ft.{\displaystyle 1={\frac {\mathrm {0.3048\,m} }{\mathrm {1\,ft} }}.}

係数0.3048 m/ftは無次元の1と同じなので、この変換係数を掛けても変化はありません。次に、同じ寸法だが単位が異なる2つの量を加算する場合、適切な変換係数（基本的には無次元の1）を使用して、それらの量を同じ単位に変換し、数値を加算または減算できるようにします。

このようにしてのみ、異なる単位の同次元の量を加算することについて語ることは意味があります。

数量方程式

数量方程式は完全方程式とも呼ばれ、物理量を表現する際に使用される測定単位に依存せずに有効な方程式である。[ 30 ]

一方、数値方程式では、単位は考慮されず、数量の数値のみが示されます。したがって、各数値が特定の単位を参照している場合にのみ有効です。

たとえば、変位d を速度sに時間差tを乗じた量の方程式は次のようになります。

d = s t

s = 5 m/sの場合、 tとdは任意の単位で表すことができ、必要に応じて変換できます。これに対し、対応する数値方程式は次のようになります。

D = 5 T

ここで、T は秒単位で表されたtの数値であり、 D はメートル単位で表されたdの数値です。

一般的に、数値方程式の使用は推奨されません。[ 30 ]

無次元概念

定数

ポアズイユの法則の問題におけるCや、上述のバネの問題におけるκなど、得られた結果に現れる無次元定数は、基礎となる物理学のより詳細な分析から導き出され、多くの場合、何らかの微分方程式の積分から生じます。次元解析自体はこれらの定数についてほとんど言及しませんが、それらが非常に多くの場合1のオーダーの大きさを持つことを知っておくことは有用です。この観察により、関心のある現象について「大まかな」計算を行うことができ、その結果、その現象を測定するための実験をより効率的に設計したり、それが重要であるかどうかを判断したりできるようになります。

形式主義

逆説的ですが、基礎理論のすべてのパラメータが無次元であっても、次元解析は有用なツールとなり得ます。例えば、イジングモデルのような格子モデルは、相転移や臨界現象の研究に用いることができます。このようなモデルは、純粋に無次元的な方法で定式化できます。臨界点に近づくにつれて、格子モデル内の変数が相関する距離（いわゆる相関長、χ）はますます大きくなります。ここで、相関長は臨界現象に関連する重要な長さスケールであるため、例えば「次元的根拠」に基づいて、格子サイトあたりの自由エネルギーの非解析的部分は約1/ χ d （ dは格子の次元） であると推測することができます。

物理学者の中には、マイケル・J・ダフ[5] [31]など、物理法則は本質的に無次元であると主張する者もいる。この観点からすると、長さ、時間、質量に互いに相容れない次元を割り当ててきたのは、単に慣習上のことであり、現代物理学の出現以前には、質量、長さ、時間を互いに関連付ける方法がなかったという事実から生じている。したがって、物理学の基本方程式における3つの独立した次元定数c、ħ、Gは、質量、時間、長さを相互に変換するための単なる変換係数と見なす必要がある。

格子模型の臨界特性の場合と同様に、適切なスケーリング極限において次元解析の結果を回復することができる。例えば、力学における次元解析は、定数ħ、c、G （ただし、ここではこれらを無次元とみなすことができる）を再挿入し、 c → ∞、ħ → 0、G → 0の極限において量間の非特異関係が存在することを要求することによって導くことができる。重力場を含む問題においては、後者の極限は、場が有限のままとなるように取られるべきである。

次元の等価性

以下は、エネルギー、運動量、力の次元に関連する、物理学でよく使われる表現の表です。[ 32 ] [ 33 ] [ 34 ]

エネルギー、E

（T −2 L 2 M）

表現 命名法
機械 W=Fd{\displaystyle W=Fd}W =仕事、 F =力、 d =距離
S/t≡Pt{\displaystyle S/t\equiv Pt}S =アクション、 t = 時間、 P =パワー
mv2≡pv≡p2/m{\displaystyle mv^{2}\equiv pv\equiv p^{2}/m}m =質量、 v =速度、 p =運動量
Iω2≡Lω≡L2/I{\displaystyle I\omega ^{2}\equiv L\omega \equiv L^{2}/I}L =角運動量、 I =慣性モーメント、 ω =角速度
理想気体 pV≡NT{\displaystyle pV\equiv NT}p = 圧力、 V = 体積、 T = 温度、 N =物質の量
波 AIt≡ASt{\displaystyle AIt\equiv ASt}A =波面面積、 I = 波の強度、 t =時間、 S =ポインティングベクトル
電磁 qϕ{\displaystyle q\phi }q =電荷、 ϕ =電位（変化の場合は電圧）
εE2V≡B2V/μ{\displaystyle \varepsilon E^{2}V\equiv B^{2}V/\mu }E =電場、 B =磁場、 ε =誘電率、 μ =透磁率、 V = 3次元体積
pE≡mB≡IAB{\displaystyle pE\equiv mB\equiv IAB}p =電気双極子モーメント、 m = 磁気モーメント、 A = 面積（電流ループで囲まれた領域）、 I =ループ内の 電流
勢い、p

（T −1 LM）

表現 命名法
機械 mv≡Ft{\displaystyle mv\equiv Ft}m = 質量、 v = 速度、 F = 力、 t = 時間
S/r≡L/r{\displaystyle S/r\equiv L/r}S = 作用、 L = 角運動量、 r =変位
サーマル m⟨v2⟩{\displaystyle m{\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}}⟨v2⟩{\displaystyle {\sqrt {\left\langle v^{2}\right\rangle }}}=二乗平均速度、m = 質量（分子の）
波 ρVv{\displaystyle \rho Vv}ρ =密度、 V =体積、 v =位相速度
電磁 qA{\displaystyle qA}A =磁気ベクトルポテンシャル
力、F

（T −2 LM）

表現 命名法
機械 ma≡p/t{\displaystyle ma\equiv p/t}m = 質量、 a = 加速度
サーマル TδS/δr{\displaystyle T\delta S/\delta r}S = エントロピー、 T = 温度、 r = 変位（エントロピー力を参照）
電磁 Eq≡Bqv{\displaystyle Eq\equiv Bqv}E = 電場、 B = 磁場、 v = 速度、 q = 電荷

プログラミング言語

型チェックの一部としての次元の正確性は、1977年以来研究されてきました。[35] Ada [36] とC++ [37] の実装は1985年と1988年に説明されました。 Kennedyの1996年の論文では、Standard ML [ 38 ]で の実装について説明しており、後にF# [39] での実装も説明されています。 Haskell [ 40] OCaml [41] Rust [42] Python [43 ]の実装と、Fortranのコードチェッカーがあります。 [ 44 ] [ 45 ] Griffioenの2019年の論文では、 KennedyのHindley - Milner型システムを拡張し て、 Hartの行列をサポートしました。[ 46 ] [ 47 ]マクブライドとノルドヴァル＝フォルスバーグは、依存型を使って計測単位の型システムを拡張する 方法を示しています。 [ 48 ]

NondimensionalizationTransformMathematica 13.2には、方程式に無次元化変換を適用する、名前付き量の変換関数があります。 [ 49 ] Mathematicaには、次のような単位の次元を求める関数もあります。1 Jという関数がありますUnitDimensions。[ 50 ] Mathematica には、 という物理量のサブセットの次元的に等価な組み合わせを見つける関数もありますDimensionalCombinations。[ 51 ]UnitDimensions Mathematica では、関数 に引数を指定することにより、特定の次元を因数分解することもできますUnityDimensions。[ 52 ]たとえば、 を使用してUnityDimensions角度を因数分解することができます。[ 52 ]に加えて、Mathematica では関数 を使ってUnitDimensionsa の次元を求めることができます。[ 53 ]QuantityVariableQuantityVariableDimensions

幾何学：位置と変位

アフィン量

次元解析に関する議論の中には、暗黙的にすべての量を数学的ベクトルとして記述するものがあります。数学では、スカラーはベクトルの特殊なケースとみなされます。ベクトルは他のベクトルに加算または減算することができ、特にスカラーで乗算または除算することができます。ベクトルを用いて位置を定義する場合、暗黙的な参照点、すなわち原点が前提となります。これは有用であり、多くの場合完全に適切であり、多くの重要な誤りを検出できますが、物理学の特定の側面をモデル化できない場合があります。より厳密なアプローチでは、位置と変位（あるいは瞬間と継続時間、絶対温度と温度変化）を区別する必要があります。

直線上の点を考えてみましょう。それぞれの点は、与えられた原点に対する位置と、点間の距離を持ちます。位置と変位はいずれも長さの単位を持ちますが、その意味は互いに互換性がありません。

  • 2つの変位を加えると、新しい変位が得られる（10歩歩いてから20歩歩くと30歩前進する）。
  • 位置に変位を加えると、新しい位置が生成されます（交差点から1ブロック歩くと次の交差点に着きます）。
  • 2つの位置を減算すると変位が得られる。
  • ただし、 2 つのポジションを追加することはできません。

これは、アフィン量（位置など、アフィン空間でモデル化される量）とベクトル量（変位など、 ベクトル空間でモデル化される量）の微妙な違いを示しています。

  • ベクトル量は互いに加算されて新しいベクトル量を生成することができ、またベクトル量は適切なアフィン量（ベクトル空間はアフィン空間に作用する）に加算されて新しいアフィン量を生成することができる。
  • アフィン量は加算できませんが、減算してベクトルである相対量を生成できます。その後、これらの相対的な差を互いに加算したり、アフィン量に加算したりできます。

したがって、位置はアフィン長の次元を持ち、変位はベクトル長の次元を持つことになります。アフィン単位に数値を割り当てるには、測定単位だけでなく参照点も選択する必要がありますが、ベクトル単位に数値を割り当てるには測定単位のみが必要です。

したがって、一部の物理量はベクトル量によってより適切にモデル化されますが、他の物理量はアフィン表現を必要とする傾向があり、その違いは次元分析に反映されます。

この区別は温度の場合に特に重要であり、温度の尺度によっては絶対零度の数値が原点0ではない場合がある。絶対零度の場合、

−273.15 °C ≘ 0 K = 0 °R ≘ −459.67 °F、

ここで、記号 ≘ はに対応することを意味します。これは、それぞれの温度スケール上のこれらの値は対応していますが、異なる開始点から同じ終了点までの距離が異なる量であるのと同じように、異なる量を表し、一般に等しくすることはできないためです。

温度差については、

1 K = 1 °C ≠ 1 °F = 1 °R。

（ここで、°Rはランキン温度尺度を指し、レオミュール温度尺度を指しません。）温度差の単位変換は、例えば1°F / 1Kを掛けるだけです。しかし、これらの温度尺度の中には絶対零度に対応しないものもあるため、ある温度尺度から別の温度尺度に変換する際には、その点を考慮する必要があります。その結果、1Kが摂氏温度-272.15°Cに対応する絶対温度を意味するのか、それとも1°Cの温度差を意味するのかが曖昧な場合、単純な次元解析でエラーが発生する可能性があります。

方向性と基準

基準点の問題に似ているのが向きの問題です。2次元または3次元での変位は単なる長さではなく、方向を伴う長さです。（1次元では、この問題は正と負の区別に相当します。）したがって、多次元ユークリッド空間で2次元の量を比較または組み合わせるには、方位も必要です。つまり、それらを基準フレームと比較する必要があります。

これにより、以下で説明する拡張、つまり Huntley の有向次元と Siano の方向解析が実現します。

ハントリーの拡張機能

ハントリーは、次元解析は、検討中の量に新しい独立した次元を発見し、次元行列の階数を上げることによって、より強力になることができると指摘した。 [ 54 ]m{\displaystyle m}

彼は2つのアプローチを紹介しました。

  • ベクトルの各成分の大きさは次元的に独立であるとみなされます。例えば、微分化されていない長さの次元Lの代わりに、L x がx方向の次元を表すなどです。この要件は、物理的に意味のある方程式（スカラー、ベクトル、またはテンソル）の各成分が次元的に一貫していなければならないという要件に最終的に起因します。
  • 物質の量の尺度としての質量は、慣性の尺度としての質量とは次元的に独立していると考えられる。

有向次元

最初のアプローチの有用性を示す例として、砲弾が平面上で発射された場合、垂直速度成分と水平速度成分⁠ ⁠で発射されたときに移動する距離を計算したいとします。有向長さを使用しないと仮定すると、関心のある量は、移動距離R （次元 L）、 ⁠ ⁠、⁠ ⁠（いずれも T −1 L）、そして重力による下向きの加速度g （次元 T −2 L） です。vy{\displaystyle v_{\text{y}}}vx{\displaystyle v_{\text{x}}}vx{\displaystyle v_{\text{x}}}vy{\displaystyle v_{\text{y}}}

これら 4 つの量から、範囲Rの式は次のように書けることがわかります。

R∝vxavybgc.{\displaystyle R\propto v_{\text{x}}^{a}\,v_{\text{y}}^{b}\,g^{c}.}

あるいは次元的に

L=(T−1L)a+b(T−2L)c{\displaystyle {\mathsf {L}}=\left({\mathsf {T}}^{-1}{\mathsf {L}}\right)^{a+b}\left({\mathsf {T}}^{-2}{\mathsf {L}}\right)^{c}}

そこから、 と⁠ ⁠が導き出されますが、1つの指数は未定です。これは、2つの基本次元TとL、そして4つのパラメータが1つの方程式で与えられていることを考えると当然のことです。 a+b+c=1{\displaystyle a+b+c=1}a+b+2c=0{\displaystyle a+b+2c=0}

しかし、有向長さ次元を用いると、 はT −1 L x、T −1 L y、Rは L x、gはT −2 L yとして次元化されます。次元方程式は以下のようになります。 vx{\displaystyle v_{\mathrm {x} }}vy{\displaystyle v_{\mathrm {y} }}

Lx=(T−1Lx)a(T−1Ly)b(T−2Ly)c{\displaystyle {\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }=\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {x} }}\right)^{a}\left({{\mathsf {T}}^{-1}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{b}\left({{\mathsf {T}}^{-2}}{{\mathsf {L}}_{\mathrm {y} }}\right)^{c}}

そして、 a = 1、b = 1、c = −1として完全に解くことができます。方向付けられた長さの次元を用いることで得られる演繹力の向上は明らかです。

しかし、ハントリーの方向付けられた長さの次元の概念には、いくつかの重大な制限があります。

  • 外積を含むベクトル方程式をうまく処理できない。
  • また、角度を物理的変数として使用することもうまく処理できません。

また、L、L x、L y、L zなどの記号を、関心のある問題に関係する物理変数に割り当てることも、しばしば非常に困難です。彼は、物理的問題の「対称性」を考慮した手順を用います。しかし、これを確実に適用することは非常に困難です。問題のどの部分に「対称性」の概念が用いられているのかが明確ではないからです。力が作用する物体の対称性なのか、それとも力が作用する点、線、あるいは面の対称性なのか？複数の物体が異なる対称性を持つ場合はどうなるのでしょうか？

円筒形の管に取り付けられた球状の気泡を考えてみましょう。ここで、空気の流量を二つの部分の圧力差の関数として求めます。接続された部分に含まれる空気の粘性のハントレー拡張次元はいくらでしょうか？二つの部分の圧力の拡張次元はいくらでしょうか？それらは同じでしょうか、それとも異なるでしょうか？これらの困難さが、ハントレーの有向長さ次元が実際の問題にあまり適用できない原因となっています。

物質の量

ハントリーの2番目のアプローチでは、慣性の尺度としての質量（慣性質量）と物質量の尺度としての質量を区別することが有用な場合がある（例えば、流体力学や熱力学において）と主張している。ハントリーは、物質量は慣性の性質を伴わず、慣性質量にのみ比例する量として定義している。その定義にはそれ以上の制約は加えられていない。

例えば、ポアズイユの法則の導出を考えてみましょう。円管を通る粘性流体の質量流量を求めたいとします。慣性質量と実質量を区別することなく、関連する変数として以下を選択できます。

シンボル変数寸法
m˙{\displaystyle {\dot {m}}}質量流量T −1メートル
px{\displaystyle p_{\text{x}}}パイプに沿った圧力勾配T −2 L −2 M
ρ密度長さ−3メートル
η動的流体粘度T −1 L −1 M
rパイプの半径L

基本変数は 3 つあるため、上記の 5 つの方程式から 2 つの独立した無次元変数が生成されます。

π1=m˙ηr{\displaystyle \pi _{1}={\frac {\dot {m}}{\eta r}}}
π2=pxρr5m˙2{\displaystyle \pi _{2}={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{5}}{{\dot {m}}^{2}}}}

次元を持つ慣性質量と次元を持つ物質量を区別すると、質量流量と密度は物質量を質量パラメータとして用い、圧力勾配と粘性係数は慣性質量を用いる。これで4つの基本パラメータと1つの無次元定数が得られ、次元方程式は次のように書ける。 Mi{\displaystyle M_{\text{i}}}Mm{\displaystyle M_{\text{m}}}

C=pxρr4ηm˙{\displaystyle C={\frac {p_{\mathrm {x} }\rho r^{4}}{\eta {\dot {m}}}}}

ここで、Cのみが未定定数です（次元解析以外の方法では と等しいことが分かっています）。この式を質量流量について解くと、ポアズイユの法則が得られます。 π/8{\displaystyle \pi /8}

ハントリーが物質量を独立した量の次元として認識したことは、それが適用可能な問題においては明らかに成功しているが、彼の物質量の定義は、彼が仮定した2つの要件を超える具体的内容を欠いているため、解釈の余地がある。ある物質について、SI次元の物質量（単位モル）は、物質量の尺度としてのハントリーの2つの要件を満たしており、ハントリーの概念が適用可能なあらゆる次元解析の問題において物質量として用いることができる。

Sianoの拡張：方向分析

角度は慣例により無次元量とみなされる（ただし、この妥当性については異論がある）。[ 55 ]例として、質点が原点（x、y）=（0、0）から速度v、x軸上方角度θで発射され、重力が負のy軸に沿っている場合の発射問題を再度考えてみましょう。質点がx軸に戻る距離Rを求めたいとします。従来の解析では無次元変数π = R g / v 2が得られますが、 Rとθの関係については何も分かりません。

シアーノは、ハントレーの有向次元を、ベクトル方向を表すために方向記号1 x  1 y  1 zと、方向のない記号1 0を用いることで置き換えることを提案した。[ 56 ]したがって、ハントレーのL x はL1 xとなり、 Lは長さの次元、1 x は方向を表す。シアーノはさらに、方向記号が独自の代数を持つことを示している。1 i −1 = 1 i という条件に加えて、方向記号の乗算表は次のようになる。

10{\displaystyle \mathbf {1_{0}} }1x{\displaystyle \mathbf {1_{\text{x}}} }1y{\displaystyle \mathbf {1_{\text{y}}} }1z{\displaystyle \mathbf {1_{\text{z}}} }
10{\displaystyle \mathbf {1_{0}} }10{\displaystyle 1_{0}}1x{\displaystyle 1_{\text{x}}}1y{\displaystyle 1_{\text{y}}}1z{\displaystyle 1_{\text{z}}}
1x{\displaystyle \mathbf {1_{\text{x}}} }1x{\displaystyle 1_{\text{x}}}10{\displaystyle 1_{0}}1z{\displaystyle 1_{\text{z}}}1y{\displaystyle 1_{\text{y}}}
1y{\displaystyle \mathbf {1_{\text{y}}} }1y{\displaystyle 1_{\text{y}}}1z{\displaystyle 1_{\text{z}}}10{\displaystyle 1_{0}}1x{\displaystyle 1_{\text{x}}}
1z{\displaystyle \mathbf {1_{\text{z}}} }1z{\displaystyle 1_{\text{z}}}1y{\displaystyle 1_{\text{y}}}1x{\displaystyle 1_{\text{x}}}10{\displaystyle 1_{0}}

方向記号はグループ（クラインの4元群、または「Viergruppe」）を形成します。このシステムでは、スカラーは常に単位元と同じ方向を持ち、「問題の対称性」とは無関係です。ベクトルである物理量は、期待される方向を持ちます。つまり、z方向の力または速度は1 z の方向を持ちます。角度については、z平面にある角度θを考えます。θを鋭角の1つとして、z平面に直角三角形を形成します。すると、その角度に隣接する直角三角形の辺は1 x の方向を持ち、反対側の辺は1 y の方向を持ちます。（方向の等価性を示すために~を使用） tan( θ ) = θ  + ... ~ 1 y /1 xであるため、xy平面の角度は1 y /1 x = 1 zの方向を持つと結論付けられます。これは不合理ではありません。同様の推論から、 sin( θ )は1 zの方向を持ち、cos( θ )は 1 0の方向を持つという結論が導かれます。これらは異なるため、例えば、aとbが実スカラーであるとき、a cos( θ ) + b sin( θ )という形式の物理方程式の解は存在しないという結論が（正しく）得られます。 のような式は、角度の和の公式の特殊なケースであるため、次元的に矛盾しておらず、正しくは次のように記述されます。 sin⁡(θ+π/2)=cos⁡(θ){\displaystyle \sin(\theta +\pi /2)=\cos(\theta )}

sin⁡(a1z+b1z)=sin⁡(a1z)cos⁡(b1z)+sin⁡(b1z)cos⁡(a1z),{\displaystyle \sin \left(a\,1_{\text{z}}+b\,1_{\text{z}}\right)=\sin \left(a\,1_{\text{z}})\cos(b\,1_{\text{z}}\right)+\sin \left(b\,1_{\text{z}})\cos(a\,1_{\text{z}}\right),}

およびは⁠ ⁠となります。Siano は、3 次元空間に向きがある幾何学的角度と、空間的な向きがなく、つまり位相角の向きが⁠ ⁠である、時間ベースの振動に関連付けられた位相角を区別しています。 a=θ{\displaystyle a=\theta }b=π/2{\displaystyle b=\pi /2}sin⁡(θ1z+[π/2]1z)=1zcos⁡(θ1z){\displaystyle \sin(\theta \,1_{\text{z}}+[\pi /2]\,1_{\text{z}})=1_{\text{z}}\cos(\theta \,1_{\text{z}})}10{\displaystyle 1_{0}}

物理量に方向記号を割り当て、物理方程式が方向的に同次であるという要件は、実際には次元解析と似た方法で使用して、物理的問題の許容可能な解に関するより多くの情報を導き出すことができます。 このアプローチでは、次元方程式を可能な限り解きます。 物理変数の最小のべきが分数の場合、解の両辺を、すべてのべきが整数になるようにべき乗して、正規形にします。 次に、方向方程式を解いて、方向記号の未知のべきに対してより制限的な条件を与えます。 そうすることで、次元解析のみで得られる解よりも完全な解が得られます。 多くの場合、追加情報は、特定の変数のべきの 1 つが偶数または奇数であるということです。

例えば、発射体の問題では、方向記号θを使用すると、 xy 平面にあるため次元は1 zとなり、発射体の射程範囲Rは次のようになります。

R=gavbθc which means L1x∼(L1yT2)a(LT)b1zc.{\displaystyle R=g^{a}\,v^{b}\,\theta ^{c}{\text{ which means }}{\mathsf {L}}\,1_{\mathrm {x} }\sim \left({\frac {{\mathsf {L}}\,1_{\text{y}}}{{\mathsf {T}}^{2}}}\right)^{a}\left({\frac {\mathsf {L}}{\mathsf {T}}}\right)^{b}\,1_{\mathsf {z}}^{c}.\,}

次元同次性は正しくa = −1およびb = 2を導き、方向同次性は⁠ ⁠1x/(1ya1zc)=1zc+1=1{\displaystyle 1_{x}/(1_{y}^{a}1_{z}^{c})=1_{z}^{c+1}=1}を要求します。言い換えれば、cは奇数でなければなりません。実際、必要な theta の関数はsin( θ )cos( θ )となり、これはθの奇数乗からなる級数です。

上記の乗算表を使用すると、sin( θ )とcos( θ )のテイラー級数は方向的に同次であることがわかりますが、 cos( θ ) + sin( θ )やexp( θ )などの式は方向的に同次ではなく、(正しく) 非物理的であると見なされます。

シアーノの方向解析は、角度量を無次元とみなす従来の概念と整合しており、方向解析においては、ラジアンは依然として無次元単位とみなされる。量方程式の方向解析は、通常の次元解析とは別に行われ、次元解析を補完する情報が得られる。

参照

注記

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参考文献

さらに読む

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ウィキブック流体力学には次元解析に関するページがあります。
ウィキメディア コモンズには、次元解析に関連するメディアがあります。
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