量子化包絡代数

数学において、量子包絡代数または量子化包絡代数は、普遍包絡代数のq類似体である。^[1]リー代数が与えられた場合、量子包絡代数は通常 と表記される。この表記法はドリンフェルドによって導入され、独立に神保によって導入された。^[2] ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ ${\displaystyle U_{q}({\mathfrak {g}})}$

応用の中で、極限の研究は結晶基底の発見につながった。 ${\displaystyle q\to 0}$

の場合${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

神保道夫は、 3つの交換子によって関連付けられた3つの生成元を持つ代数を考察した

${\displaystyle [h,e]=2e,\ [h,f]=-2f,\ [e,f]=\sinh(\eta h)/\sinh \eta .}$

のとき、これらは特殊線型リー代数を定義する交換子に簡約されます。対照的に、が非零の場合、これらの関係によって定義される代数はリー代数ではなく、普遍包絡代数の変形と見なせる結合代数です。^[3]${\displaystyle \eta \to 0}$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$ ${\displaystyle \eta }$ ${\displaystyle {\mathfrak {sl}}_{2}}$

参照

• 量子群

注

1. Kassel, Christian (1995), Quantum groups , Graduate Texts in Mathematics , vol. 155, Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94370-1, MR  1321145
2. Tjin 1992, § 5
3. 神保道夫(1985)、「ヤン・バクスター方程式の差の類似」、数理物理学論文集、10 (1): 63– 69、Bibcode :1985LMaPh..10...63J、doi :10.1007/BF00704588、S2CID  123313856${\displaystyle q}$ ${\displaystyle U({\mathfrak {g}})}$

参考文献

• Drinfel'd, VG (1987)、「量子群」、国際数学者会議紀要 986 , 1、アメリカ数学会: 798– 820
• Tjin, T. (1992年10月10日). 「量子化リー群と量子代数入門」. International Journal of Modern Physics A. 07 ( 25): 6175–6213 . arXiv : hep-th/9111043 . Bibcode :1992IJMPA...7.6175T. doi :10.1142/S0217751X92002805. ISSN  0217-751X. S2CID  119087306.

外部リンク

• nLabにおける量子化包絡代数
• MathOverflowにおけるq = 1 {\displaystyle q=1}における量子化包絡代数
• 量子包絡代数U q ( g ) {\displaystyle U_{q}(g)}に埋め込まれた「量子リー代数」は存在するか？MathOverflowにて