量子グラフ

数学と 物理学において、量子グラフとは、頂点が辺（すなわちグラフ）で接続された線形ネットワーク構造であり、各辺には長さが与えられ、各辺には微分方程式（または擬似微分方程式）が与えられます。例として、変電所（頂点）に接続された送電線（辺）からなる電力網が挙げられます。この微分方程式は各線路に沿った電圧を記述し、各辺の境界条件は隣接する頂点に与えられ、すべての辺に加算された電流が各頂点でゼロになることを保証します。

量子グラフは、1930年代にライナス・ポーリングによって有機分子中の自由電子のモデルとして初めて研究されました。量子グラフは、様々な数学的文脈にも登場します。 ^{[ 1 ]}例えば、量子カオスのモデル系、導波路の研究、フォトニック結晶、アンダーソン局在、あるいは細線収縮の限界などです。量子グラフは、ナノテクノロジーの理論的理解を得るために用いられるメソスコピック物理学において重要なモデルとなっています。量子グラフのより単純な概念は、フリードマンらによって導入されました。^{[ 2 ]}

具体的な応用を目的として量子グラフ上に提示された微分方程式を実際に解くこと以外に、生じる典型的な疑問は、制御可能性(システムを望ましい状態にするためにはどのような入力が必要か。たとえば、電力網上のすべての家に十分な電力を供給する) と識別可能性(システムの状態の全体像を得るためには、どこでどのように測定する必要があるか。たとえば、水道管網の圧力を測定してパイプの漏れがあるかどうかを判断する) に関する疑問です。

計量グラフ

3つの開いた辺を持つ平面に埋め込まれた計量グラフ。破線は2点間の計量距離を表します${\displaystyle x}$ ${\displaystyle y}$

メトリックグラフとは、頂点の集合と辺の集合から構成されるグラフ です。各辺は区間に関連付けられており、区間上の座標が である場合、頂点は に、 はに対応し、その逆も同様です。どの頂点がゼロになるかは任意で、その選択は辺上の座標の変化に対応します。このグラフには自然なメトリックがあります。グラフ上の2点について、グラフの辺に沿って測定された距離における最短距離が となります。 ${\displaystyle V}$ ${\displaystyle E}$ ${\displaystyle e=(v_{1},v_{2})\in E}$ ${\displaystyle [0,L_{e}]}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle v_{1}}$ ${\displaystyle x_{e}=0}$ ${\displaystyle v_{2}}$ ${\displaystyle x_{e}=L_{e}}$ ${\displaystyle x,y}$ ${\displaystyle \rho (x,y)}$

開グラフ：組み合わせグラフモデルでは、辺は常に頂点のペアを結びますが、量子グラフでは半無限辺も考慮されます。半無限辺とは、 単一の頂点に付随する区間に関連付けられた辺です。このような開辺を1つ以上持つグラフは、開グラフと呼ばれます。 ${\displaystyle [0,\infty)}$ ${\displaystyle x_{e}=0}$

量子グラフ

量子グラフは、グラフ上の関数に作用する微分（または擬微分）演算子を備えた計量グラフです。計量グラフ上の関数は、区間上の関数の組 として定義されます。グラフのヒルベルト空間は、 2つの関数の内積が ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |E|}$ ${\displaystyle f_{e}(x_{e})}$ ${\displaystyle \bigoplus _{e\in E}L^{2}([0,L_{e}])}$

${\displaystyle \langle f,g\rangle =\sum _{e\in E}\int _{0}^{L_{e}}f_{e}^{*}(x_{e})g_{e}(x_{e})\,dx_{e},}$

${\displaystyle L_{e}}$ 開辺の場合、無限大となる場合があります。計量グラフ上の演算子の最も単純な例はラプラス演算子です。辺上の演算子は、辺上の座標です。演算子を自己随伴にするには、適切な定義域を指定する必要があります。これは通常、グラフの辺上の関数のソボレフ空間を取り、頂点における適合条件を指定することによって実現されます。 ${\displaystyle -{\frac {{\textrm {d}}^{2}}{{\textrm {d}}x_{e}^{2}}}}$ ${\displaystyle x_{e}}$ ${\displaystyle H^{2}}$

作用素を自己随伴にする適合条件の自明な例としては、任意の辺に対するディリクレ境界条件が挙げられる。有限辺上の固有関数は次のように書ける。 ${\displaystyle f_{e}(0)=f_{e}(L_{e})=0}$

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=\sin \left({\frac {n\pi x_{e}}{L_{e}}}\right)}$

整数 の場合。グラフが無限辺を持たず閉じており、グラフの辺の長さが有理独立である場合、グラフの単一の辺上で固有関数がサポートされ、固有値は となる。ディリクレ条件は区間間の相互作用を許さないため、スペクトルは不連続な辺の集合のスペクトルと同じになる。 ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle {\frac {n^{2}\pi^{2}}{L_{e}^{2}}}}$

辺間の相互作用を許容する、より興味深い自己随伴マッチング条件は、ノイマンマッチング条件または自然マッチング条件である。作用素の領域内の関数はグラフ上のあらゆる場所で連続であり、頂点における出力導関数の和はゼロである。 ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \sum _{e\sim v}f'(v)=0\,}$

ここで、頂点が にあり、が にある場合です。 ${\displaystyle f'(v)=f'(0)}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x=0}$ ${\displaystyle f'(v)=-f'(L_{e})}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x=L_{e}}$

メトリックグラフ上の他の演算子の特性も研究されています。

• これらには、より一般的なクラスのシュレーディンガー演算子が含まれます。ここでは、 はエッジ上の「磁気ベクトルポテンシャル」であり、 はスカラーポテンシャルです。$${\displaystyle \left(i{\frac {\textrm {d}}{{\textrm {d}}x_{e}}}+A_{e}(x_{e})\right)^{2}+V_{e}(x_{e})\ ,}$$ ${\displaystyle A_{e}}$ ${\displaystyle V_{e}}$
• もう 1 つの例はグラフ上のディラック演算子です。これは、電子などの固有角運動量が半分である粒子の量子力学を記述するベクトル値関数に作用する行列値演算子です。
• グラフ上のディリクレ-ノイマン演算子は、フォトニック結晶の研究で生じる擬似微分演算子です。

定理

グラフ上のラプラス作用素のすべての自己随伴マッチング条件は、コストリキンとシュレーダーのスキームに従って分類できます。実際には、変分形式の作用素を自動的に生成する、 クフメント^{[ 3 ]によって導入された形式を採用する方が便利な場合がよくあります}

を頂点とし、そこから辺が伸びているとする。簡単のため、辺上の座標を、で交わる各辺に対してが となるように選ぶ。グラフ上の 関数を とすると、${\displaystyle v}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle x_{e}=0}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle f}$

${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{e_{1}}(0),f_{e_{2}}(0),\dots ,f_{e_{d}}(0))^{T},\qquad \mathbf {f} '=(f'_{e_{1}}(0),f'_{e_{2}}(0),\dots ,f'_{e_{d}}(0))^{T}.}$

におけるマッチング条件は、行列のペア と線形方程式によって指定できる。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle B}$

${\displaystyle A\mathbf {f} + B\mathbf {f} '=\mathbf {0} .}$

マッチング条件は、最大ランクを持ち 、${\displaystyle (A,B)}$ ${\displaystyle d}$ ${\displaystyle AB^{*}=BA^{*}.}$

有限グラフ上のラプラス作用素のスペクトルは、コットスとスミランスキーによって導入された散乱行列アプローチを用いて簡便に記述することができる。^{[ 4 ] [ 5 ]} 辺上の固有値問題は、

${\displaystyle -{\frac {d^{2}}{dx_{e}^{2}}}f_{e}(x_{e})=k^{2}f_{e}(x_{e}).\,}$

したがって、エッジ上の解は平面波の線形結合として表すことができます。

${\displaystyle f_{e}(x_{e})=c_{e}{\textrm {e}}^{ikx_{e}}+{\hat {c}}_{e}{\textrm {e}}^{-ikx_{e}}.\,}$

ここで、時間依存シュレーディンガー方程式において、 は出力平面波の係数であり、は入力平面波の係数である。 におけるマッチング条件は散乱行列を定義する。 ${\displaystyle c}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle {\hat {c}}}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle v}$

${\displaystyle S(k)=-(A+ikB)^{-1}(A-ikB).\,}$

散乱行列は、 、 における入射平面波係数と出射平面波係数のベクトルを関連付けます。自己随伴整合条件では はユニタリです。の要素は 、有向エッジから エッジへの複素遷移振幅であり、一般に に依存します。しかし、多くの整合条件では、S行列は に依存しません。例えば、ノイマン整合条件では、 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbf {c} =S(k){\hat {\mathbf {c} }}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}}$ ${\displaystyle S}$ ${\displaystyle (uv)}$ ${\displaystyle (vw)}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle A=\left({\begin{array}{ccccc}1&-1&0&0&\dots \\0&1&-1&0&\dots \\&&\ddots &\ddots &\\0&\dots &0&1&-1\\0&\dots &0&0&0\\\end{array}}\right),\quad B=\left({\begin{array}{cccc}0&0&\dots &0\\\vdots &\vdots &&\vdots \\0&0&\dots &0\\1&1&\dots &1\\\end{array}}\right).}$

を式に代入すると、-独立な遷移振幅 が得られる。${\displaystyle S}$ ${\displaystyle k}$

${\displaystyle \sigma _{(uv)(vw)}={\frac {2}{d}}-\delta _{uw}.\,}$

ここでクロネッカーのデルタ関数は、 であれば1、そうでなければ0である。遷移振幅から行列 を定義できる。 ${\displaystyle \delta _{uw}}$ ${\displaystyle u=w}$ ${\displaystyle 2|E|\times 2|E|}$

${\displaystyle U_{(uv)(lm)}(k)=\delta _{vl}\sigma _{(uv)(vm)}(k){\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}.\,}$

${\displaystyle U}$ は結合散乱行列と呼ばれ、グラフ上の量子発展演算子と考えることができる。これはユニタリであり、グラフ の平面波係数のベクトルに作用する。ここで はからへ伝搬する平面波の係数である。位相 は、平面波が頂点 から頂点 へ伝搬する際に得られる位相である。 ${\displaystyle 2|E|}$ ${\displaystyle c_{(uv)}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle {\textrm {e}}^{ikL_{(uv)}}}$ ${\displaystyle u}$ ${\displaystyle v}$

量子化条件：グラフ上の固有関数は、それに対応する平面波係数を通して定義できる。固有関数は量子発展の下で定常であるため、グラフの量子化条件は発展演算子を用いて記述できる。 ${\displaystyle 2|E|}$

${\displaystyle |U(k)-I|=0.\,}$

固有値はの値で発生し、行列は固有値1を持ちます。スペクトルを で並べます 。 ${\displaystyle k_{j}}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle U(k)}$ ${\displaystyle 0\leqslant k_{0}\leqslant k_{1}\leqslant \dots }$

グラフの最初のトレース公式は、ロス (1983) によって導出されました。1997年、コットスとスミランスキーは上記の量子化条件を用いて、遷移振幅が に依存しないグラフ上のラプラス作用素の次のトレース公式を得ました。このトレース公式は、スペクトルとグラフ上の周期軌道を結び付けます。 ${\displaystyle k}$

${\displaystyle d(k):=\sum _{j=0}^{\infty }\delta (k-k_{j})={\frac {L}{\pi }}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{p}{\frac {L_{p}}{r_{p}}}A_{p}\cos(kL_{p}).}$

${\displaystyle d(k)}$ は状態密度と呼ばれます。トレース公式の右辺は2つの項から成ります。ワイル項は固有値の平均間隔、振動項はグラフ上の すべての周期軌道の和です。は軌道の長さ、 はグラフの全長です。より短い基本軌道を繰り返すことで生成される軌道の場合、は再分割の数を数えます。 は軌道の周りのグラフの頂点における遷移振幅の積です。 ${\displaystyle {\frac {L}{\pi }}}$ ${\displaystyle p=(e_{1},e_{2},\dots ,e_{n})}$ ${\displaystyle L_{p}=\sum _{e\in p}L_{e}}$ ${\displaystyle L=\sum _{e\in E}L_{e}}$ ${\displaystyle r_{p}}$ ${\displaystyle A_{p}=\sigma _{e_{1}e_{2}}\sigma _{e_{2}e_{3}}\dots \sigma _{e_{n}e_{1}}}$

用途

ナフタレン分子

量子グラフは1930年代に初めて用いられ、ナフタレンのような有機分子中の自由電子のスペクトルをモデル化するために 用いられました。第一近似として、原子は頂点とみなされ、σ電子は結合を形成し、自由電子が閉じ込められている分子の形状を固定する枠組みを形成します。

量子導波路を考える際にも同様の問題が生じます。これらはメソスコピック系、つまりナノメートルスケールの幅を持つ系です。量子導波路は、端が細いチューブである太いグラフと考えることができます。この領域におけるラプラス作用素のスペクトルは、ある条件下でグラフ上のラプラス作用素のスペクトルに収束します。メソスコピック系を理解することは、ナノテクノロジーの分野において重要な役割を果たします。

1997年^{[ 6 ]} 、コットスとスミランスキーは、量子カオス（古典的にはカオス的なシステムの量子力学）を研究するためのモデルとして量子グラフを提案した 。グラフ上の古典的運動は確率的マルコフ連鎖として定義することができ、エッジからエッジへの散乱確率は量子遷移振幅の絶対値の2乗で与えられる。ほぼすべての有限連結量子グラフにおいて、確率的ダイナミクスはエルゴード的かつ混合的、すなわちカオス的である。 ${\displaystyle e}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle |\sigma _{ef}|^{2}}$

2次元または3次元に埋め込まれた量子グラフは、フォトニック結晶の研究に現れる。^{[ 7 ]} 2次元におけるフォトニック結晶の単純なモデルは、高密度誘電体の多角形セルと、セル間の狭い界面（空気で満たされている）から構成される。大部分が誘電体内に留まる誘電体モードを研究することで、狭い界面に沿うグラフ上の擬似微分作用素が得られる。

の格子のような周期的量子グラフは周期システムの一般的なモデルであり、量子グラフは、無秩序な状態でスペクトル バンドの端に局在状態が発生する アンダーソン局在現象の研究に適用されてきました。${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$

参照

• 架空の量子グラフ理論を扱った小説『シルトの梯子』
• ファインマン図

参考文献

1. ベルコライコ, グレゴリー; カールソン, ロバート; クフメント, ピーター; フリング, スティーブン (2006).量子グラフとその応用 (現代数学): AMS-IMS-SIAM 合同夏季研究会議「量子グラフとその応用」議事録. 第415巻. アメリカ数学会. ISBN 978-0821837658.
2. Freedman, Michael; Lovász, László; Schrijver, Alexander (2007). 「Reflection positivity, rank connected, and homomorphism of graphs」. Journal of the American Mathematical Society . 20 (1): 37– 52. arXiv : math/0404468 . Bibcode : 2007JAMS...20...37F . doi : 10.1090/ S0894-0347-06-00529-7 . ISSN 0894-0347 . MR 2257396. S2CID 8208923 .   
3. クフメント, ピーター (2004). 「量子グラフ：I. いくつかの基本構造」. Waves in Random Media . 14 (1): S107– S128. Bibcode : 2004WRM....14S.107K . doi : 10.1088/0959-7174/14/1/014 . ISSN 0959-7174 . S2CID 16874849 .  
4. Kottos, Tsampikos; Smilansky, Uzy (1999). 「周期軌道理論と量子グラフのスペクトル統計」Annals of Physics . 274 (1): 76– 124. arXiv : chao-dyn/9812005 . Bibcode : 1999AnPhy.274...76K . doi : 10.1006/aphy.1999.5904 . ISSN 0003-4916 . S2CID 17510999 .  
5. Gnutzmann∥, Sven; Smilansky, Uzy (2006). 「量子グラフ：量子カオスと普遍スペクトル統計への応用」. Advances in Physics . 55 ( 5– 6): 527– 625. arXiv : nlin/0605028 . Bibcode : 2006AdPhy..55..527G . doi : 10.1080/00018730600908042 . ISSN 0001-8732 . S2CID 119424306 .  
6. Kottos, Tsampikos; Smilansky, Uzy (1997). 「グラフ上の量子カオス」. Physical Review Letters . 79 (24): 4794– 4797. Bibcode : 1997PhRvL..79.4794K . doi : 10.1103/PhysRevLett.79.4794 . ISSN 0031-9007 . 
7. クフメント, ピーター; クニャンスキー, レオニード (2002). 「グラフとフォトニック結晶上の微分作用素」.計算数学の進歩. 16 (24): 263– 290. doi : 10.1023/A:1014481629504 . S2CID 17506556 .