量子最適化アルゴリズム

量子最適化アルゴリズムは、最適化問題を解決するために使用される量子アルゴリズムです。 ^{[ 1 ]}数理最適化は、可能な解の集合から（何らかの基準に従って）問題に対する最良の解を見つけることを扱います。ほとんどの場合、最適化問題は最小化問題として定式化され、解に依存する誤差を最小化しようとします。最適な解は誤差が最小になります。さまざまな最適化手法が力学、経済学、工学などのさまざまな分野に適用されており、複雑性と関連するデータ量が増加するにつれて、最適化問題を解くより効率的な方法が必要になります。量子コンピューティングにより、古典的なコンピュータでは実際には実行できない問題を解決できるようになるか、または最もよく知られている古典的なアルゴリズムに比べてかなりの高速化が期待できます。

量子データフィッティング

データフィッティングとは、一連のデータポイントに最もよく適合する数学関数を構築するプロセスです。フィッティングの質は、通常、関数とデータポイント間の距離といったいくつかの基準によって測定されます。

量子最小二乗法

最も一般的なデータ フィッティングのタイプの 1 つは、最小二乗問題を解き、データ ポイントとフィッティングされた関数の差の二乗の合計を最小化することです。

このアルゴリズムは、入力データ点と連続関数が与えられます。このアルゴリズムは、の線形結合である連続関数を求め、出力として返します。 ${\displaystyle N}$ ${\displaystyle (x_{1},y_{1}),(x_{2},y_{2}),...,(x_{N},y_{N})}$ ${\displaystyle M}$ ${\displaystyle f_{1},f_{2},...,f_{M}}$ ${\displaystyle f_{\vec {\lambda }}}$ ${\displaystyle f_{j}}$

${\displaystyle f_{\vec {\lambda}}(x)=\sum _{j=1}^{M}f_{j}(x)\lambda _{j}}$

言い換えると、アルゴリズムは複素係数、つまりベクトル を見つけます。 ${\displaystyle \lambda_{j}}$ ${\displaystyle {\vec {\lambda}}=(\lambda _{1},\lambda _{2},...,\lambda _{M})}$

このアルゴリズムは、次式で表される誤差を最小化することを目的としています。

${\displaystyle E=\sum _{i=1}^{N}\left\vert f_{\vec {\lambda}}(x_{i})-y_{i}\right\vert ^{2}=\sum _{i=1}^{N}\left\vert \sum _{j=1}^{M}f_{j}(x_{i})\lambda _{j}-y_{i}\right\vert ^{2}=\left\vert F{\vec {\lambda}}-{\vec {y}}\right\vert ^{2}}$

ここで、は次の行列として定義されます。 ${\displaystyle F}$

${\displaystyle {F}={\begin{pmatrix}f_{1}(x_{1})&\cdots &f_{M}(x_{1})\\f_{1}(x_{2})&\cdots &f_{M}(x_{2})\\\vdots &\ddots &\vdots \\f_{1}(x_{N})&\cdots &f_{M}(x_{N})\\\end{pmatrix}}}$

量子最小二乗フィッティングアルゴリズム^{[ 2 ]}は、ハロー、ハシディム、ロイドの線形方程式系（HHL）に対する量子アルゴリズムのバージョンを利用し、係数とフィッティング品質の推定値を出力します。このアルゴリズムは、擬似逆演算を実行するアルゴリズム、フィッティング品質の推定ルーチン、そしてフィッティングパラメータを学習するアルゴリズムの3つのサブルーチンで構成されています。 ${\displaystyle \lambda _{j}}$ ${\displaystyle E}$

量子アルゴリズムは主にHHLアルゴリズムに基づいているため、がスパースで、との両方の条件数（つまり、最大固有値と最小固有値の比）が小さい場合に指数関数的な改善^{[ 3 ]}を示唆しています。 ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle FF^{\dagger }}$ ${\displaystyle F^{\dagger }F}$

量子半正定値計画法

半正定値計画法（SDP）は、線形目的関数（最小化または最大化されるユーザ指定の関数）の、半正定値行列の錐とアフィン空間との交差における最適化を扱う最適化のサブフィールドです。目的関数は、（入力として与えられた）行列と変数の内積です。すべての対称行列の空間を と表記します。変数は、半正定値対称行列の（閉じた凸）錐内になければなりません。2つの行列の内積は次のように定義されます。 ${\displaystyle C}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} ^{n}}$ ${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \mathbb {S} _{+}^{n}}$

${\displaystyle \langle A,B\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}={\rm {tr}}(A^{T}B)=\sum _{i=1,j=1}^{n}A_{ij}B_{ij}.}$

問題には追加の制約（入力として与えられる）が課される場合があり、これも通常は内積として定式化されます。各制約は、行列（入力として与えられる）と最適化変数の内積が、指定された値（入力として与えられる）よりも小さくなるように強制します。最終的に、SDP問題は次のように記述されます。 ${\displaystyle A_{k}}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle b_{k}}$

${\displaystyle {\begin{array}{rl}{\displaystyle \min _{X\in \mathbb {S} ^{n}}}&\langle C,X\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}\\{\text{subject to}}&\langle A_{k},X\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}\leq b_{k},\quad k=1,\ldots ,m\\&X\succeq 0\end{array}}}$

最良の古典的アルゴリズムは、無条件に多項式時間で実行できることは知られていない。対応する実行可能性問題は、NPとco-NPの複雑性クラスの和集合の外側、またはNPとco-NPの積集合に存在することが知られている。^{[ 4 ]}

量子アルゴリズム

アルゴリズムの入力は、ソリューションのトレースと精度、最適値（最適点における目的関数の値）に関するパラメータです。 ${\displaystyle A_{1}...A_{m},C,b_{1}...b_{m}}$

量子アルゴリズム^{[ 5 ]}は複数の反復処理から構成されています。各反復処理において、実現可能性問題、すなわち以下の条件を満たす解（閾値を与える）を解きます。 ${\displaystyle t}$

${\displaystyle {\begin{array}{lr}\langle C,X\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}\leq t\\\langle A_{k},X\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}\leq b_{k},\quad k=1,\ldots ,m\\X\succeq 0\end{array}}}$

各反復において異なる閾値が選択され、アルゴリズムは（他の制約条件も満たされる）解、またはそのような解が存在しないことを示す出力のいずれかを出力します。アルゴリズムは二分探索を行い、解が存在する最小の閾値を見つけます。これがSDP問題の最小解となります。 ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle \langle C,X\rangle _{\mathbb {S} ^{n}}\leq t}$ ${\displaystyle t}$ ${\displaystyle X}$

量子アルゴリズムは、一般的な場合には最良の古典的アルゴリズムに対して二次的な改善をもたらし、入力行列のランクが低い場合には指数的な改善をもたらします。

量子組合せ最適化

組合せ最適化問題は、有限のオブジェクト集合から最適なオブジェクトを見つけることを目的とする。この問題は、ブール関数の和である目的関数の最大化として表現できる。各ブール関数は、 -ビットの文字列を入力として受け取り、1ビット（0または1）を出力として返す。ビットと節の組合せ最適化問題は、関数を最大化する -ビットの文字列を見つけることである。${\displaystyle \,C_{\alpha }\colon \lbrace {0,1\rbrace }^{n}\rightarrow \lbrace {0,1}\rbrace }$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z=z_{1}z_{2}\ldots z_{n}}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$ ${\displaystyle n}$ ${\displaystyle z}$

${\displaystyle C(z)=\sum _{\alpha =1}^{m}C_{\alpha }(z)}$

近似最適化とは、多くの場合NP困難となる最適化問題の近似解を求める手法です。組み合わせ最適化問題の近似解は、を最大化するのに近い文字列です。 ${\displaystyle z}$ ${\displaystyle C(z)}$

量子近似最適化アルゴリズム

組み合わせ最適化においては、量子近似最適化アルゴリズム（QAOA）^{[ 6 ]が}、特定の問題に対しては、既知の多項式時間古典アルゴリズムよりも優れた近似比を示しました^{[ 7 ]}。しかし、より効果的な古典アルゴリズムが提案されました^{[ 8 ]} 。量子アルゴリズムの相対的な高速化については、未解決の研究課題です。

QAOA は次のステップで構成されます。

1. コスト ハミルトニアン を定義して、その基底状態が最適化問題の解をエンコードするようにします。${\displaystyle H_{C}}$
2. ミキサーハミルトニアン を定義します。${\displaystyle H_{M}}$
3. パラメータおよび αを使用して、オラクルおよびを定義します。${\displaystyle U_{C}(\gamma )=\exp(-\imath \gamma H_{C})}$ ${\displaystyle U_{M}(\alpha )=\exp(-\imath \alpha H_{M})}$ ${\displaystyle \gamma }$
4. オラクルおよびを次の順序で繰り返し適用します。${\displaystyle U_{C}}$ ${\displaystyle U_{M}}$ ${\displaystyle U({\boldsymbol {\gamma }},{\boldsymbol {\alpha }})=\coprod _{i=1}^{N}(U_{C}(\gamma _{i})U_{M}(\alpha _{i}))}$
5. すべての可能な状態の重ね合わせである初期状態を準備し、その状態に適用します。${\displaystyle U({\boldsymbol {\gamma }},{\boldsymbol {\alpha }})}$
6. 古典的な手法を用いてパラメータを最適化し、最適化された回路の出力状態を測定することで、コストハミルトニアンの近似最適解を得る。最適解とは、コストハミルトニアンの期待値を最大化する解である。${\displaystyle {\boldsymbol {\gamma }},{\boldsymbol {\alpha }}}$ ${\displaystyle H_{C}}$

3量子ビット回路のサンプルQAOA仮説

アルゴリズムのレイアウト、つまりコスト ハミルトニアンとミキサー ハミルトニアンの使用は、量子断熱定理 からヒントを得ています。量子断熱定理 では、時間依存ハミルトニアンの基底状態から開始して、ハミルトニアンが十分にゆっくりと進化すると、最終状態は最終ハミルトニアンの基底状態になります。さらに、断熱定理は、進化の過程で異なる固有状態間に重なり合い (縮退) がない限り、他の任意の固有状態に一般化できます。初期ハミルトニアンを 、最終ハミルトニアンをと同一視し、その基底状態が対象の最適化問題の解をエンコードすると、最適化問題を、初期ハミルトニアンから最終ハミルトニアンの断熱進化 (その基底 (固有) 状態が最適解を与える) として近似できます。一般に、QAOAは角度（パラメータ）に依存するユニタリ演算子の使用に依存しています。ここで、は入力整数であり、オラクル の層の数として識別できます。これらの演算子は、計算基底内のすべての可能な状態の等重み量子重ね合わせである状態に反復的に適用されます。各反復で、状態は計算基底で測定され、ブール関数が推定されます。次に、角度が古典的に更新され、 が増加します。この手順が十分な回数繰り返されると、 の値はほとんど最適になり、測定されている状態も最適に近づきます。量子コンピュータでQAOAを実装するサンプル回路を図に示します。この手順は、グラフの最小頂点カバーを見つける次の例を使用して強調表示されます。 ^{[ 9 ]}${\displaystyle H_{M}}$ ${\displaystyle H_{C}}$ ${\displaystyle 2p}$ ${\displaystyle p>1}$ ${\displaystyle U({\boldsymbol {\gamma }},{\boldsymbol {\alpha }})}$ ${\displaystyle C(z)}$ ${\displaystyle C(z)}$ ${\displaystyle C(z)}$

グラフの最小頂点被覆を見つけるためのQAOA

ここでの目標は、グラフの最小頂点被覆を見つけることです。最小頂点被覆とは、グラフの各辺が被覆に含まれる頂点の少なくとも1つを含むような頂点の集合です。したがって、これらの頂点はすべての辺を「被覆」します。私たちは、可能な限り最小の頂点数を持つ頂点被覆を見つけたいのです。頂点被覆はビット列で表すことができ、各ビットは対応する頂点が被覆に含まれるかどうかを示します。例えば、ビット列0101は、4つの頂点を持つグラフの2番目と4番目の頂点からなる被覆を表します。

最小頂点カバー問題を説明するためのサンプル グラフ。

図に示すグラフを考えてみましょう。このグラフには4つの頂点があり、最小頂点被覆は2つあります。頂点0と2、頂点1と2です。これらはそれぞれビット文字列1010と0110で表すことができます。アルゴリズムの目的は、これらのビット文字列を高い確率でサンプリングすることです。この場合、コストハミルトニアンは2つの基底状態、|1010⟩と|0110⟩を持ち、これらは問題の解と一致します。ミキサーハミルトニアンは、グラフの各ノードにおけるPauli-X演算の単純で非可換な和であり、次のように表されます。

${\displaystyle H_{C}=-0.25Z_{3}+0.5Z_{0}+0.5Z_{1}+1.25Z_{2}+0.75(Z_{0}Z_{1}+Z_{0}Z_{2}+Z_{2}Z_{3}+Z_{1}Z_{2})}$

${\displaystyle H_{M}=X_{0}+X_{1}+X_{2}+X_{3}}$

最小頂点被覆問題に対するQiskitにおけるQAOA実装の出力。Qiskitはビットの順序を逆順にするため、ビット列|1010>は|0101>に反転されていることに注意してください。

最小頂点カバー問題に対する QAOA の Qiskit 実装。

この4量子ビット回路にQiskitの2層の仮説を用いたQAOAアルゴリズムを実装し（図参照）、最適化すると、図に示す状態の確率分布が得られます。これは、予想通り、状態|0110⟩と|1010⟩が最も高い確率で測定されることを示しています。

QAOAの制約付き組み合わせ最適化への一般化

原理的には、の最適値は任意の精度まで到達可能であり、これは断熱定理^{[ 10 ] [ 11 ]}あるいはQAOAユニタリの普遍性^{[ 12 ]}によって保証されている。しかし、これが実現可能な方法で実現できるかどうかは未解決の問題である。例えば、QAOAは問題の制約と変数の比（問題密度）に強く依存し、対応する目的関数を最小化するアルゴリズムの能力に限界を課すことが示されている。^{[ 13 ]}${\displaystyle C(z)}$

QAOAプロセスの一般化は、本質的には、基礎グラフ上で連続時間量子ウォークを交互に適用し、その後、各解の状態に品質依存の位相シフトを適用するものであることがすぐに認識されました。この一般化されたQAOAは、QWOA（Quantum Walk-based Optimisation Algorithm）と名付けられました。^{[ 14 ]}

arXivに投稿された論文「量子計算の超越性にはどれだけの量子ビットが必要か」^{[ 15 ]}の中で、著者らは、420量子ビットと500の制約を持つQAOA回路を最先端のスーパーコンピュータで実行される古典的なシミュレーションアルゴリズムを使用してシミュレートするには少なくとも1世紀が必要であると結論付けており、その数値は量子計算の超越性には十分であろう。

QAOAと従来のアルゴリズムを厳密に比較することで、量子優位性に必要な量子ビットの深さと数を推定することができます。QAOAとMaxCutアルゴリズムの研究では、スケーラブルな優位性には量子ビットの深さと数が必要であることが示されています。^{[ 16 ]}${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p>11}$

QAOAのバリエーション

QAOAの基本構造にはいくつかのバリエーションが提案されており^{[ 17 ]} 、その中には基本アルゴリズムの仮説のバリエーションも含まれています。仮説の選択は、グラフとして表現される組み合わせ問題やハードウェア設計に強く影響される問題など、問題の種類に応じて異なります。しかし、仮説の設計では、過剰適合を回避し、幅広い問題への適用性を維持するために、特異性と一般性のバランスを取る必要があります。このため、QAOAに最適な仮説の設計は、広範囲に研究され、幅広く調査されているテーマです。提案されているバリエーションには以下のようなものがあります。

1. マルチアングルQAOA ^{[ 18 ]}
2. 表現豊かな QAOA (XQAOA) ^{[ 19 ]}
3. QAOA+ ^{[ 20 ]}
4. デジタル化された反断熱QAOA ^{[ 21 ]}
5. 量子交代演算子仮説^{[ 22 ]}は最適化問題などに制約を与える。

QAOA の別のバリエーションは、パラメータ最適化のテクニックに重点を置いています。これは、特定の問題に対して最適な初期パラメータ セットを選択し、コスト ハミルトニアンのエネルギー ランドスケープ内のプラトーに対応する固有状態につながるパラメータを表す不毛なプラトーを回避することを目的としています。

最後に、トラップイオン、中性原子、超伝導量子ビット、光子量子コンピュータなど、様々なプラットフォームにおいて特定のハードウェアを活用してQAOAの性能を向上させる研究への関心が高まっています。これらのアプローチの目標は、ハードウェアの接続性制限を克服し、ノイズ関連の問題を緩和することで、QAOAの適用範囲を幅広い組み合わせ最適化問題に広げることです。

QAOAアルゴリズムQiskit実装

QAOA量子回路

ここに示す量子回路は、IBMのオープンソース量子コンピューティングソフトウェア開発フレームワークで あるQiskitを使用して、QAOAアルゴリズムをPython ^{[ 23 ]}で実装する方法の簡単な例です。

参照

• 断熱量子計算
• 量子アニーリング

参考文献

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外部リンク

• Classiqを用いたナップサック問題に対するQAOAアルゴリズムの実装