量子の復活
無限二次元ポテンシャル井戸における半ガウス波動関数の時間発展における完全かつ正確な復活。分数的復活は、波動関数のスケールされた形状が井戸領域全体で整数回複製されるときに発生する。

量子力学において、量子復活とは、量子波動関数が時間発展の過程で周期的に繰り返されることである。[ 1 ] これは、空間的に初期波動関数の多重スケールコピー（部分的復活）となる場合もあれば、ほぼあるいは正確に元の形に戻る場合（完全復活）もある。時間的に周期的な量子波動関数は、したがって周期ごとに完全復活を示す。復活の現象は、水素原子のように、時間発展の初期段階で十分に局在化した波束である波動関数で最も容易に観察できる。水素の場合、部分的復活は、元の局在状態の主要な円形状態成分（固有状態展開で最も振幅が大きい成分）の半径方向最大値によって描かれた円の周りの複数の角度のあるガウス隆起、および元のガウスとしての完全復活として現れる。[ 2 ]完全な復活は無限量子井戸、調和振動子、水素原子に対しては正確であるが、より短い時間では水素原子や他の多くの量子系に対しては近似値となる。[ 3 ]

ジェインズ・カミングスモデルにおける原子反転の崩壊と復活の図。[ 4 ]
平均光子数の周りの共鳴スペクトルが光子量子数の多項式で近似される場合の、ジェインズ・カミングス模型における反転の超復活（完全な近似復活が元の形に戻ること）n0＝100{\displaystyle n_{0}=100}n{\displaystyle n}E（n）＝1つのδn2+bδn+c{\displaystyle E(n)=a\delta n^{2}+b\delta n+c}δn＝n−n0{\displaystyle \delta n=n-n_{0}}

例 – 有理エネルギーを持つ量子系の任意の切断波動関数

エネルギーと固有状態を持つ量子系を考えてみましょうE私{\displaystyle E_{i}}ψ私{\displaystyle \psi_{i}}

Hψ私＝E私ψ私、{\displaystyle H\psi _{i}=E_{i}\psi _{i},}

そしてエネルギーをある定数の有理数分数とします。 C{\displaystyle C}

E私＝CM私北私{\displaystyle E_{i}=C{M_{i} \over N_{i}}}

(たとえば、水素原子の場合は、、、および) 。 M私＝1{\displaystyle M_{i}=1}北私＝私2{\displaystyle N_{i}=i^{2}}C＝−13.6eV{\displaystyle C=-13.6eV}

すると、時間依存シュレーディンガー方程式の切断解（状態数till ）は 北メートル1つの×{\displaystyle \mathbb {N} _{max}}

Ψ（t）＝∑私＝0北メートル1つの×1つの私e−私E私ℏtψ私。{\displaystyle \Psi (t)=\sum _{i=0}^{\mathbb {N} _{max}}a_{i}e^{-i{{E_{i}} \over \hbar }t}\psi _{i}.}

をすべての の最小公倍数とし、をすべての の最大公約数とする。すると、各 に対して、量は整数となり、各 に対して、量は整数となり、は角度の倍数となり、 Lcメートル{\displaystyle L_{cm}}北私{\displaystyle N_{i}}Lcd{\displaystyle L_{cd}}M私{\displaystyle M_{i}}北私{\displaystyle N_{i}}Lcメートル/北私{\displaystyle {L_{cm}}/N_{i}}M私{\displaystyle M_{i}}M私/Lcd{\displaystyle {M_{i}}/L_{cd}}2πM私Lcメートル/（北私Lcd）{\displaystyle 2\pi M_{i}{L_{cm}}/(N_{i}L_{cd})}2π{\displaystyle 2\pi }

Ψ（t）＝Ψ（t+T）{\displaystyle \Psi (t)=\Psi (t+T)}

完全な復活の時間が過ぎた後

T＝2πℏLcdCLcメートル{\displaystyle T={2\pi \hbar \over {L_{cd}C}}L_{cm}}。

水素原子や100個程度の小さな量子系では、完全な再生には数千兆年かかることがあります。例えば、水素原子内のトロイ波束は、量子位相の超立方体のほぼ全体を掃引した後、正確に完全な再生時間ごとに同じ状態を繰り返します。 北メートル1つの×{\displaystyle \mathbb {N} _{max}}

有理エネルギーを持つシステム、つまり、完全な復活が存在するシステムでは、その存在によって量子ポアンカレ回帰定理が直ちに証明され、完全な量子復活の時間はポアンカレ回帰時間に等しくなります。有理数は実数で稠密であり、量子数の任意の関数はパデ近似で任意に長い時間に対して任意に近く近似できますが、各量子システムはほぼ正確に復活します。これはまた、ポアンカレ回帰と完全な復活が数学的に同じものであることを意味し、[ 5 ]そして、現実的な装置で検出可能な合理的かつ物理的に測定可能な時間の後に再発が発生する場合、その再発は完全復活と呼ばれることが一般に受け入れられています。これは、エネルギーが任意の（必ずしも調和的ではない）倍数である大きな基本エネルギー間隔ギャップを持つ非常に特殊なエネルギースペクトルによって発生します。

参照

参考文献

  1. ^ JH Eberly; NB Narozhny & JJ Sanchez-Mondragon (1980). 「単純な量子モデルにおける周期的な自発的崩壊と再生」. Phys. Rev. Lett . 44 (20): 1323– 1326. Bibcode : 1980PhRvL..44.1323E . doi : 10.1103/PhysRevLett.44.1323 .
  2. ^ Z. Dacic Gaeta & CR Stroud, Jr. (1990). 「水素原子の準古典状態の古典的および量子力学的ダイナミクス」. Phys. Rev. A. 42 ( 11): 6308– 6313. Bibcode : 1990PhRvA..42.6308G . doi : 10.1103/PhysRevA.42.6308 . PMID 9903927 . 
  3. ^ Zhang, Jiang-Min; Haque, Masudul (2014). 「周期駆動タイトバインディングモデルによる非平滑かつレベル分解ダイナミクスの図示」 . Scienceopen Research . arXiv : 1404.4280 . doi : 10.14293/S2199-1006.1.SOR-PHYS.A2CEM4.v1 . S2CID 57487218 . 
  4. ^ AA Karatsuba; EA Karatsuba (2009). 「ジェインズ・カミングス模型における崩壊と再生の再総和式」. J. Phys. A: Math. Theor . 42 (19): 195304, 16. Bibcode : 2009JPhA...42s5304K . doi : 10.1088/1751-8113/42/19/195304 . S2CID 120269208 . 
  5. ^ Bocchieri, P.; Loinger, A. (1957). 「量子再帰定理」. Phys. Rev. 107 (2): 337– 338. Bibcode : 1957PhRv..107..337B . doi : 10.1103/PhysRev.107.337 .
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