準ホップ代数

準ホップ代数は、1989 年にロシアの数学者ウラジミール・ドリンフェルトによって定義されたホップ代数の一般化です。

準ホップ代数とは、次式を 満たすような準双代数 であり、その全単射な反準同型S（対掌体）が存在する。${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}=({\mathcal {A}},\Delta ,\varepsilon ,\Phi )}$ ${\displaystyle \alpha ,\beta \in {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \sum _{i}S(b_{i})\alpha c_{i}=\varepsilon (a)\alpha }$

${\displaystyle \sum _{i}b_{i}\beta S(c_{i})=\varepsilon (a)\beta }$

すべての人のために、そしてどこで ${\displaystyle a\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \Delta (a)=\sum _{i}b_{i}\otimes c_{i}}$

そして

${\displaystyle \sum _{i}X_{i}\beta S(Y_{i})\alpha Z_{i}=\mathbb {I} ,}$

${\displaystyle \sum _{j}S(P_{j})\alpha Q_{j}\beta S(R_{j})=\mathbb {I} .}$

ここで、量とに対する展開は次のように与えられる。 ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle \Phi ^{-1}}$

${\displaystyle \Phi =\sum _{i}X_{i}\otimes Y_{i}\otimes Z_{i}}$

そして

${\displaystyle \Phi ^{-1}=\sum _{j}P_{j}\otimes Q_{j}\otimes R_{j}.}$

準双代数に関しては、準ホップであるという性質はねじりの下でも保存されます。

使用法

擬ホップ代数は、ドリンフェルトツイストの研究や、量子アフィン代数の有限次元既約表現に関連する F 行列による表現の研究の基礎となる。F 行列は、対応するR 行列を因数分解するために使用できる。これは、量子アフィン代数として統計力学への応用につながり、その表現は、さまざまな統計モデルの可解条件であるヤン・バクスター方程式の解を生じさせ、モデルの特性を対応する量子アフィン代数から演繹することを可能にする。F 行列の研究は、代数ベーテ仮説の枠組みの中でハイゼンベルクの XXZ モデルなどのモデルに適用されてきた。これは、量子逆散乱法を使用して2 次元の積分可能なモデルを解く枠組みを提供する。

参照

• 準三角ホップ代数
• 準三角形の準ホップ代数
• リボンホップ代数

参考文献

• ウラジミール・ドリンフェルト、「準ホップ代数」、レニングラード数学誌1（1989）、1419-1457
• JM MailletとJ. Sanchez de Santos, Drinfeld Twists and Algebraic Bethe Ansatz , Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 201 , 2000