準双代数

数学において、準双代数は双代数の一般化であり、1990年にウクライナの数学者ウラジミール・ドリンフェルトによって初めて定義されました。準双代数は、共結合性が非共結合性を制御する可逆要素に置き換えられている点で双代数と異なります。その重要な性質の一つは、対応する加群の圏がテンソル圏を形成することです。 ${\displaystyle \Phi }$

意味

準双代数とは、代数の射を備えた 体上の代数である。${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}=({\mathcal {A}},\Delta ,\varepsilon ,\Phi ,l,r)}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ ${\displaystyle \mathbb {F} }$

${\displaystyle \Delta :{\mathcal {A}}\rightarrow {\mathcal {A\otimes A}}}$

${\displaystyle \varepsilon :{\mathcal {A}}\rightarrow \mathbb {F} }$

および可逆要素があり、次の恒等式が成り立つ。 ${\displaystyle \Phi \in {\mathcal {A\otimes A\otimes A}}}$ ${\displaystyle r,l\in A}$

${\displaystyle (id\otimes \Delta )\circ \Delta (a)=\Phi \lbrack (\Delta \otimes id)\circ \Delta (a)\rbrack \Phi ^{-1},\quad \forall a\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \lbrack (id\otimes id\otimes \Delta )(\Phi )\rbrack \ \lbrack (\Delta \otimes id\otimes id)(\Phi )\rbrack =(1\otimes \Phi )\ \lbrack (id\otimes \Delta \otimes id)(\Phi )\rbrack \ (\Phi \otimes 1)}$

${\displaystyle (\varepsilon \otimes id)(\Delta a)=l^{-1}al,\qquad (id\otimes \varepsilon )\circ \Delta =r^{-1}ar,\quad \forall a\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle (id\otimes \varepsilon \otimes id)(\Phi )=r\otimes l^{-1}.}$

ここで、 とは共乗法と共単位法と呼ばれ、と はそれぞれ右と左の単位制約と呼ばれ、 はドリンフェルド結合子と呼ばれることもあります。^{[1] : 369–376}この定義は、カテゴリが通常のベクトル空間テンソル積の下でテンソルカテゴリとなるように構築されており、実際には、これは上記の恒等式のリストの代わりに定義として取ることができます。^{[1] : 368}「自然に」現れる多くの準双代数は自明な単位制約、すなわち を持つため、定義はこれを前提として与えられることがあります。^{[1] : 370}双代数は、自明な単位と結合制約を持つ準双代数であることに注意してください。 ${\displaystyle \Delta }$ ${\displaystyle \epsilon }$ ${\displaystyle r}$ ${\displaystyle l}$ ${\displaystyle \Phi }$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}-Mod}$ ${\displaystyle l=r=1}$ ${\displaystyle l=r=1}$ ${\displaystyle \Phi =1\otimes 1\otimes 1}$

編み込み準双代数

編組擬双代数（準三角擬双代数とも呼ばれる）は、対応するテンソル圏が編組である擬双代数である。同様に、編組双代数からの類推により、擬双代数の非可換性を制御する普遍R行列の概念を構築することができる。定義は、結合子の追加によって式が複雑になることを除けば、 編組双代数の場合と同じである。${\displaystyle {\mathcal {A}}-Mod}$

命題:準双代数は、普遍的な R 行列、つまり次の 3 つの恒等式が成り立つような 可逆要素を持つ場合、編組されているとみなされます。${\displaystyle ({\mathcal {A}},\Delta ,\epsilon ,\Phi ,l,r)}$ ${\displaystyle R\in {\mathcal {A\otimes A}}}$

${\displaystyle (\Delta ^{op})(a)=R\Delta (a)R^{-1}}$

${\displaystyle (id\otimes \Delta )(R)=(\Phi _{231})^{-1}R_{13}\Phi _{213}R_{12}(\Phi _{213})^{-1}}$

${\displaystyle (\Delta \otimes id)(R)=(\Phi _{321})R_{13}(\Phi _{213})^{-1}R_{23}\Phi _{123}}$

ここで、任意の に対して、は 番目のスポット内の単項式であり、省略された数はそのスポットにおける恒等式に対応する。最後に、これを線形性によって のすべてに拡張する。^{[1] : 371}${\displaystyle a_{1}\otimes ...\otimes a_{k}\in {\mathcal {A}}^{\otimes k}}$ ${\displaystyle a_{i_{1}i_{2}...i_{n}}}$ ${\displaystyle a_{j}}$ ${\displaystyle i_{j}}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}^{\otimes k}}$

再び、編組双代数の場合と同様に、この普遍R行列はヤン・バクスター方程式（の非結合バージョン）を満たします。

${\displaystyle R_{12}\Phi _{321}R_{13}(\Phi _{132})^{-1}R_{23}\Phi _{123}=\Phi _{321}R_{23}(\Phi _{231})^{-1}R_{13}\Phi _{213}R_{12}}$ ^{[1] : 372}

ねじる

準双代数が与えられると、ねじりを加えることでさらに準双代数を生成することができます (以降は と仮定します) 。 ${\displaystyle r=l=1}$

が準双代数であり、が可逆な元であって、 とすれば、 ${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}}$ ${\displaystyle F\in {\mathcal {A\otimes A}}}$ ${\displaystyle (\varepsilon \otimes id)F=(id\otimes \varepsilon )F=1}$

${\displaystyle \Delta '(a)=F\Delta (a)F^{-1},\quad \forall a\in {\mathcal {A}}}$

${\displaystyle \Phi '=(1\otimes F)\ ((id\otimes \Delta )F)\ \Phi \ ((\Delta \otimes id)F^{-1})\ (F^{-1}\otimes 1).}$

すると、集合もFによるねじりで得られる準双代数であり、これはねじり変換またはゲージ変換と呼ばれる。^{[1] : 373}が普遍 R 行列 を持つ編組準双代数であった場合、普遍 R 行列 を持つ編組準双代数でもある（上のセクションの表記法を使用）。^{[1] : 376}ただし、双代数のねじりは一般に準双代数であるにすぎない。ねじりは多くの予想される特性を満たす。たとえば、 をねじってから をねじることはをねじることと等価であり、 をねじってから をねじると元の準双代数が復元される。 ${\displaystyle ({\mathcal {A}},\Delta ',\varepsilon ,\Phi ')}$ ${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}}$ ${\displaystyle ({\mathcal {A}},\Delta ,\varepsilon ,\Phi )}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle ({\mathcal {A}},\Delta ',\varepsilon ,\Phi ')}$ ${\displaystyle F_{21}RF^{-1}}$ ${\displaystyle F_{1}}$ ${\displaystyle F_{2}}$ ${\displaystyle F_{2}F_{1}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle F^{-1}}$

ねじりは、モジュールのテンソルカテゴリにカテゴリ同値性を誘導するという重要な特性を持っています。

定理：、を準双代数とし、を による のねじれとし、同型 が存在するとする。このとき、誘導テンソル関数はとの間のテンソル圏同値である。ここで である。さらに、が編組準双代数の同型である場合、上記の誘導関数は編組テンソル圏同値である。^{[1] : 375–376}${\displaystyle {\mathcal {B_{A}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B_{A'}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B'_{A'}}}}$ ${\displaystyle {\mathcal {B_{A'}}}}$ ${\displaystyle F}$ ${\displaystyle \alpha :{\mathcal {B_{A}}}\to {\mathcal {B'_{A'}}}}$ ${\displaystyle (\alpha ^{*},id,\phi _{2}^{F})}$ ${\displaystyle {\mathcal {A'}}-mod}$ ${\displaystyle {\mathcal {A}}-mod}$ ${\displaystyle \phi _{2}^{F}(v\otimes w)=F^{-1}(v\otimes w)}$ ${\displaystyle \alpha }$

使用法

準双代数は、準ホップ代数の研究、さらには量子アフィン代数の有限次元既約表現に関連付けられたドリンフェルトツイストや F 行列による表現の研究の基礎となります。F 行列は、対応するR 行列を因数分解するために使用できます。これは、量子アフィン代数として統計力学への応用につながり、その表現は、さまざまな統計モデルの可解条件であるヤン–バクスター方程式の解を生成し、モデルの特性を対応する量子アフィン代数から演繹することを可能にします。F 行列の研究は、代数的ベーテ仮説の枠組みの中でXXZなどのモデルに適用されています。

参照

• 双代数
• ホップ代数
• 準ホップ代数

参考文献

1. C. Kassel. 「量子群」. 大学院数学テキスト Springer-Verlag. ISBN 0387943706

さらに読む

• ウラジミール・ドリンフェルト「準ホップ代数」、レニングラード数学誌1（1989）、1419-1457
• JM MailletとJ. Sanchez de Santos, Drinfeld Twists and Algebraic Bethe Ansatz , Amer. Math. Soc. Transl. (2) Vol. 201 , 2000