クアシノム

線形代数、関数解析、および関連する数学の分野において、準不等式はノルム公理を満たす点でノルムに類似しているが、三角不等式が いくつかの場合に に置き換えられる点 が異なる。$${\displaystyle \|x+y\|\leq K(\|x\|+\|y\|)}$$ ${\displaystyle K>1.}$

意味

あベクトル空間上の準半正規分布^{[ 1 ]}は、以下の条件を満たす 実数値写像である。${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$

1. 非否定性：${\displaystyle p\geq 0;}$
2. 絶対的な同質性：のスカラーに対して${\displaystyle p(sx)=|s|p(x)}$ ${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle s;}$
3. 全ての​${\displaystyle k\geq 1}$ ${\displaystyle p(x+y)\leq k[p(x)+p(y)]}$ ${\displaystyle x,y\in X.}$
   • ならば、この不等式は三角不等式に帰着します。この意味で、この条件は通常の三角不等式を一般化します。${\displaystyle k=1}$

あquasinorm ^{[ 1 ]}は、次も満たす準半正規分布である。

4. 正定値/点分離：を満たす${\displaystyle x\in X}$ ${\displaystyle p(x)=0,}$ ${\displaystyle x=0.}$

ベクトル空間とそれに関連する準半ノルムからなるペアは${\displaystyle (X,p)}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ 準半ノルムベクトル空間。準半ノルムが準ノルムである場合、それはまた準半ノルムとも呼ばれる。準ノルムベクトル空間。

乗数

条件（３）を満たすすべての値の最小値は${\displaystyle k}$ 乗数自身 も条件(3)を満たすので、この条件を満たす唯一の最小の実数となる。-セミノルムは、乗数が${\displaystyle p.}$ ${\displaystyle k}$ ${\displaystyle k.}$

ノルム（それぞれ、セミノルム）は、その乗数が である準ノルム（それぞれ、準セミノルム）です。したがって 、すべてのセミノルムは準セミノルムであり、すべてのノルムは準ノルム（および準セミノルム）です。 ${\displaystyle 1.}$

トポロジー

が上の準正則ならば、ベクトル位相を誘導し、その原点における近傍基底は、正の整数上の範囲 として^{[ 2 ]}の集合で与えられる。このような位相を持つ位相ベクトル空間は、${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle p}$ ${\displaystyle X}$ $${\displaystyle \{x\in X:p(x)<1/n\}}$$ ${\displaystyle n}$ 準ノルム位相ベクトル空間または単に準ノルム空間。

すべての準ノルム位相ベクトル空間は擬似計量化可能である。

完全な準ノルム空間は準バナッハ空間。すべてのバナッハ空間は準バナッハ空間であるが、その逆は成り立たない。

関連する定義

準ノルム空間は${\displaystyle (A,\|\,\cdot \,\|)}$ ベクトル空間が代数 すべてのベクトル空間に対して定数が存在する、 準ノルム代数${\displaystyle A}$ ${\displaystyle K>0}$ $${\displaystyle \|xy\|\leq K\|x\|\cdot \|y\|}$$ ${\displaystyle x,y\in A.}$

完全な準ノルム代数は準バナッハ代数。

特徴づけ

位相ベクトル空間（TVS）は、原点の有界近傍を持つ場合にのみ、準ノルム空間となる。^{[ 2 ]}

例

すべてのノルムは準ノルムであるため、すべてのノルム空間も準ノルム空間です。

${\displaystyle L^{p}}$ スペースのある${\displaystyle 0<p<1}$

の空間は準ノルム空間（実際、 F空間でもある）であるが、一般にはノルム可能ではない（つまり、位相を定義するノルムが存在しない可能性がある）。ルベーグ空間は、局所凸ではない（実際、その凸開集合は自身と空集合のみである）完備計量化可能なTVS（F空間）であり、の唯一の連続線型汎関数は定数関数である（Rudin 1991 、 §1.47）。特に、ハーン・バナッハの定理は、${\displaystyle L^{p}}$ ${\displaystyle 0<p<1}$ ${\displaystyle 0<p<1,}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 0}$ ${\displaystyle L^{p}([0,1])}$ ${\displaystyle 0<p<1.}$

参照

• 計量化可能な位相ベクトル空間 – 計量によって位相を定義できる位相ベクトル空間
• ノルム（数学）  - ベクトル空間における長さ
• セミノルム – 数学関数
• 位相ベクトル空間 – 近接性の概念を持つベクトル空間

参考文献

1. カルトン 1986年、297–324頁。
2. Wilansky 2013、55ページ。

• オール、チャールズ・E.、ロバート・ローウェン（2001年）『一般位相幾何学の歴史ハンドブック』シュプリンガー社、ISBN 0-7923-6970-X。
• コンウェイ、ジョン・B. (1990). 『関数解析講座』 .シュプリンガー. ISBN 0-387-97245-5。
• Kalton, N. (1986). 「擬バナッハ空間上の多元調和関数」(PDF) . Studia Mathematica . 84 (3). ポーランド科学アカデミー数学研究所: 297–324 . doi : 10.4064/sm-84-3-297-324 . ISSN  0039-3223 .
• Nikolʹskiĭ, Nikolaĭ Kapitonovich (1992).関数解析 I: 線型関数解析. 数学百科事典. 第19巻. Springer . ISBN 3-540-50584-9。
• ルディン、ウォルター(1991).関数解析. 国際純粋・応用数学叢書. 第8巻（第2版）. ニューヨーク：McGraw-Hill Science/Engineering/Math . ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC  21163277 .
• シュワルツ、チャールズ（1992年）『関数解析入門』CRCプレスISBN 0-8247-8643-2。
• ウィランスキー、アルバート(2013). 『位相ベクトル空間における現代的手法』 ミネオラ、ニューヨーク: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC  849801114 .