準オープンマップ

数学の一分野である位相幾何学において、準開写像（準内部写像とも呼ばれる）は、開写像の概念を一般化する関数です。

意味

位相空間間の関数が準開関数と呼ばれるのは、任意の空でない開集合に対しての内部が空でないときである。^{[1] [2]このような関数は}準内部写像 とも呼ばれる。^[3]${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle U\subseteq X}$ ${\displaystyle f(U)}$ ${\displaystyle Y}$

プロパティ

を位相空間間の写像とします。 ${\displaystyle f:X\to Y}$

• が連続であれば、準開である必要はありません。例えば、によって定義される定数写像は連続ですが、準開ではありません。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=0}$
• 逆に、が準開写像である場合、連続である必要はありません。例えば、かつ が準開写像である場合に定義される写像は、準開写像ですが連続ではありません。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} }$ ${\displaystyle f(x)=x}$ ${\displaystyle x<0}$ ${\displaystyle f(x)=x+1}$ ${\displaystyle x\geq 0}$
• が開関数ならば、は準開関数である。^[2] 逆は一般には成り立たない。例えば、連続関数は準開関数であるが、開関数ではない。${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f:\mathbb {R} \to \mathbb {R} ,x\mapsto \sin(x)}$
• が局所同相写像ならば、は準開写像である。^[4]${\displaystyle f}$ ${\displaystyle f}$
• ２つの準開写像の合成は準開写像である。^{[注 1] [2]}

参照

• ほぼオープンな地図 - オープンな地図と同等の条件を満たす地図
• 閉グラフ – 位相幾何学における関数の性質リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ
• 閉じた線形作用素 – グラフが閉じた線形作用素
• 開写像と閉写像 – 開部分集合（閉部分集合）を開部分集合（閉部分集合）に写す関数
• 固有写像 – 位相空間間の数学的写像
• 商写像（位相）  - 位相空間の構築リダイレクト先の簡単な説明を表示するページ

注記

1. これは、とが両方とも準開関数である場合、関数合成は準開関数であることを意味します。${\displaystyle f:X\to Y}$ ${\displaystyle g:Y\to Z}$ ${\displaystyle g\circ f:X\to Z}$

参考文献

1. Mardešić, Sibe; Papić, Pavle (1962). 「秩序あるコンパクトの連続像、ススリンの性質、そして二項コンパクト」(PDF) . Period. Math.-Phys. Astron., II. Ser . 17 : 3– 22. Zbl  0119.17906.7ページの定義3
2. Kao, Kuo Shih (1983). 「M1空間に関する注記」. Pacific Journal of Mathematics . 108 (1): 121– 128. doi :10.2140/pjm.1983.108.121. Zbl  0487.54029.
3. Blokh, A.; Oversteegen, L.; Tymchatyn, ED (2006). 「ほぼ1対1の写像について」. Trans. Amer. Math. Soc . 358 (11): 5003– 5015. doi : 10.1090/s0002-9947-06-03922-5 .
4. Kim, Jae Woon (1998). 「準開写像に関するノート」(PDF) .韓国数学会誌. B: 純粋・応用数学. 5 (1): 1– 3. 2016年3月4日時点のオリジナル(PDF)からアーカイブ。 2011年10月20日閲覧。